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2.3.2双曲线的简单几何性质2


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§2.3.2 双曲线简单的几何性质 (2) 学习目标:掌握双曲线的定义,标准方程,几何性质,并运用有关性质解决实际问题。 重点: 直线与双曲线的位置关系 难点: 相交弦长、中点问题 自主预习案 1、直线与双曲线位置关系 代数法:由直线方程与双曲线的方程联立消去 y 得到关于 x 的方程. (1)方程组有一组解?直线与双曲线 (2)方程组有两组解 ? 直线与双曲线 (3)方程组无解 ? 直线与双曲线 2、若设直线与双曲线的交点(弦的端点)坐标为 对所得两式作差,得到一个与弦 差的方法为“点差法” 。 3、若直线 l 。 。

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,将这两点代入双曲线的方程并

AB 的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作

: y ? kx ? b 与双曲线相交与 A 、 B 两点, A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则

弦长 [预习自测]

AB ? _____________
y2 ? 1 ,过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L 的条数共有( 4
C.2 条 D.1 条 ) )

1、 已知双曲线方程为 x 2 ? A.4 条

B.3 条

2、过点(2,-2)且与双曲线 -y =1 有公共渐近线的双曲线方程是( 2 A. - =1 2 4

x2

2

y2 x2

B. - =1 4 2

x2 y 2

C. - =1 4 2

y2 x2

D. - 2 4

x2 y2

3、若双曲线的渐近线方程为

y ? ? 3x ,求它的离心率________________

x2 y 2 4、设双曲线 2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a,0),(0, b) 两点,已知原点到直线 l 的 a b
距离为 3 c ,则双曲线的离心率____________ 4 5、设点 P 在

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上,双曲线两焦点 F1 , F2 , PF ? 4 PF2 ,则双曲线离 1 a 2 b2

心率的范围________________

6、 已知 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B a 2 b2

两点,若 ?ABF2 为锐角三角形,则双曲线的离心率 e 的取值范围是

1

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合作探究案 探究一:直线与双曲线的问题

例1 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,倾斜角为 30o 3 6

的直线交双曲 线于 A, B 两点,求

(1) A, B 两点 是否位于双曲线同支上?. (2)求弦AB的长 (3)求△AF1B 的周长

变式 1:直线 l 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 上截得的弦长为 4 ,其斜率为 2 ,求直线 l 在 y 轴上的截距 m 3 2

2

班级: 例 2.若直线 (若改为 x
2

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y ? kx ? 2 与双曲线 x2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,求实数 k 的取值范围

? y2 ? 2 呢?)

变式:已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F a 2 b2

,若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲

?

线的右支有且仅有一个交点,试求此双曲线离心率的取值范围

探究二:中点问题 例 3、过点 M (3,?1) 且被点 M 平分的双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的弦所在直线方程。 4

3

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y2 变式:已知双曲线 C : x ? ? 1 与点 P(1, 2) 2
(1) (2) (3) 斜率为 k 且过点 P 的直线 l 与 C 有两个公共点,求 k 的取值范围; 是否存在过点 P 的弦

AB ,使得 AB 的中点为 P ?

试判断以 Q(1,1) 为中点的弦是否存在。

4


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