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数学竞赛中的等比数列问题


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2 0 0 4 年第 1 O 期 

数 学 通 讯 

4 1  

数 学 竞 赛 中 的 等 比 数 列 问 题 
张群芳   赵 小云  
3 1 0 0 3 6 )  

( 浙江富阳二中, 浙江

3 1 1 4 0 0 )  ( 杭州师范学院。 浙江

和等差数列一样 , 等比数列也是 高中代数 中的  基本问题. 等 比数列包括项数  , 首项 a 。 , 通项 a   ,   公比 g和前  项和 S   这五个基本元素 , 它们之间满 
足n   =n 1   g ’ l I 1 和S   =   两个关系式, 只要 

事 实 上, n ≥1 3 时,   l n   l ≤ n 1 3 = 詈. Ⅱ 1 2 是Ⅱ  
中的最大值 .   评注  积的大小确定 , 先判断正负, 再从正项中   去比较大小 .   思考题 2 ( 1 9 9 9 年全 国高中数学联赛试题 ) 给  定公 比为 g ( g ≠1 ) 的等比数列 { a   } , b I =a I   4 - a 2 +  
n   3 , 6 2= n 4+ n5+ n 6 , … , b  = a3  一 2+ a   3   一1 +a 3  ,  

知道其中任意三个元素 , 便可以求出其它两个元素.   学习数列要注意培养熟练地求 出其中任意一个元素  的运算能力和把一个具体问题转化为数列问题 的逻  辑思维能力 .   例I  ( 1 9 9 8 年全国高中数学联赛试题) 各项均  为实数的等比数列 { a   } 前  项之 和为 S   , 若S , 。 =   1 0 , ¥ 3 o =7 0 , 则S 4 0 为  (   )  
( A) 1 5 0 .   ( B ) 一 2 0 0 .   ( C ) 1 5 0或 一 2 0 0 .   ( D ) 4 0 0 或 一1 5 0 .   解 记 b 1 =S 1 0 , b 2 =S 2 0 一S 1 0 , b 3 =S 3 0 一S 2 0 ,   b 4 =S 4 0 一S 3 0 . 设 g为{ a   } 的公比, 则b 1 , b 2 , b 3 , b 4 构  成以 r =q l O 为公比的等 比数列 . 于是 7 0 =¥ 3 o =b ,   +b 2 +b 3 =b 1 ( 1 +r +r   ) =1 0 ( 1 +r +r 2 ) ,  

则数列 { b   } 为  (   )   ( A) 等差数列 .   ( B ) 公比为 g的等 比数列 .   ( C ) 公比为 g  的等 比数列.   ( D ) 既非等差又非等 比数列.   例 3 已知 a , b , C , d , e 均为 正数 , 其中a , b , c   成等比数列, 且a =b +C , b =C +d, C =d+  .   证 明: a , b , C , d, e 成等 比数列 , 并求其公 比 q .  




解 设  = { } = q , 则b = a q , c = b q = a q   .  
由  a =b +C 得 a =a q +a q   。   故  1 一g =g   ( 1 )   由  b =C +d得  q3 d   b —C =a q—a q   =a q ( 1 一g )  a 由  C =d+e 得  =a q 4   e =c — d=a q   一a q   =a q   ( 1 一g ) :   综上可知 , a, b , C , d, e 成等 比数列  再由( 1 ) 得  g   g一1=0 , 解 之  g=  
. 


故 r   +r 一6 =0 , 解之得 r =2 或r =一3 .   又r =g 加>0 , 故r = 2 . 从而 S 4 0 =l O ( 1 + 2 + 2  
+ 2   ) =1 5 0 , 选( A ) .   评注 这是一 个常规性 问题 , 主要运用了相同   项数 的和顺次构成等 比数列的性质.   思考题 1  ( 2 0 0 0 年全 国高中数学联赛试题) 等  比数 列 a+l o g 2 3 , a+1 o g 4 3 , a+l o g s 3的 公 比是 

例2 ( 1 9 9 6 年全国高中数学联赛试题) 等 比数 



 

1+.   二


.  

一 1  

又口 > 0 , 故 g =  

.  

列{ n   } 中, n 1 = 1 5 3 6 , 公比 g =一 ÷, 用Ⅱ   表示它  
的前  项之积 , 则 Ⅱ  ( ” ∈N + ) 最大的是 
( A ) n 9 .  
,   1   、 n一 ■  

(  

)  

( B ) 1 - [ 1 1 .   ( c ) n1 2 .   ( D ) n1 3  

解 等 比数列 { a   } 的通项公式为 a   =1 5 3 6×  

( 一 ÷)   , 前   项的 积  

评注 本题的 已知条件较多 , 意 味着有较多的  信息供利用和选择 . 按道理 , 这对解 题是十分有利  的. 然而多个条件 , 在实际运用时会 出现顾此失彼和  交叉干扰 . 为此我们引进辅助元素( 公比 q ) , 用它联  络众多条件 , 使题设条件共 同发挥整体的作用 .   思考题 3 ( 第1 O 届“ 希望杯” 全 国数 学邀请赛  试题) 已知等比数列 { a   } 中, 公比 g ∈N+ , 对于某个  >6 , 有a l +a n :1 0 9 4 ,  
a月一2  
— —

Ⅱ   _ 1 5 3 6 一 × ( 一 下 1 )   ,  
易见 n 9 , Ⅱ1 2 , Ⅱ1 3 为正 , Ⅱ1 0 , Ⅱ1 1 为负数 , 故只需比较  n 9 , Ⅱ1 2 , Ⅱ1 3 的大小 .  

:  

, 则 n   3 +  

?  

由 于n 1 。 : 1 5 3 6 × ( 一   1   9 = 一 3 , n 1 1 = n 1 。 .  

例 4 已知数列 { a   } 中, a 1 =1 , 且a n a   + 1 =4   ,   试求其前  项之和S   .   解 由已知有 

( 一 号 ) = 导 ,  =  ? ( 一   1 ) = 一 手 ,  =  ‘   ( 一   1 ) = 詈 , 且 a l o . a l 1 . a l 2 = ( 一 3 ) ?   3 ? ( 一 号 ) =   詈 >   .  
’ . .

{ n   + 1 =4  

( 2 )  

f   n   + 1 n   + 2 = 4  
显然有 n   ≠o , 故( 3 ) ÷( 2 ) , 得 
于是  和  a 1 , a   3 , a 5 , …, a 2   一 1 , …   a 2 , a 4 , a 6 , …, 0 2 月 , … 

( 3 )  
=4 ,  

兀 l 2 =a 1 0 ? a l l a 1 2 " n 9 >n 9 , 又O <n 1 3 <1 且1 - I 1 3  

a 1 3 ‘ I I 1 2 ,  
‘ . .

都是公 比为 4的等比数列 , 且a 1 =1 , a 2 =4 .   1 ) 当 n为奇数时 ,  
S  =n 1 +n 2 +… +n   =( n 1 +n   3 +…n   ) +( a 2  

I I 1 3 <I I 1 2 , 故选( C ) .  

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数 学 通 讯 

2 0 0 4 年第 1 0 期 

+ n   + …

+ n  

1 - 了 4 " - f + - - l   +生   ) =— 1


— l  



=一a l g   [ a 1 一f ( 1 一g ) ] .   注意到 a 1 g ” ≠O , 故只能有 a l —f ( 1 一q ) = 0 , 即  
( ‘l  
’  

:  

≥ 3  +  3  : T 3 1   . ( 2  _ 5 … ) .  
+. . ~   +  

2 ) 当   为偶数时 
S  =a l +a 2 +… +a   =( a l +a 2 +… +a   一 1 )  

此时 , c >0 , a   >0 , 故

0 <g <1 .  

芋 

但o <g <1 时, S  一c =  
一  

一  

=  



÷ ( 5 . 2 ~ 5 ) = ÷  _ 1 ) .  
1( 2 - + 2
_

<0 , 不满足( 5 ) . 即不存在常数 >0 , 使结论 
q  

成立 .  

5 )  

(   为奇数)   (   为偶数)  

综合可知, 同时满足( 4 ) , ( 5 ) 的常数 c >0不存  在, 即不存在常数 c >0 , 使 

s  

【  

1 )

半 

: l g ( s 川一   ) .  

即   S   = ÷[ ( 9 +( 一1 )   ) ? 2   一 。 一 5 ] .  
思考题 4   已知等 比数列前  项的和为 2 , 其后  2  项的和为 1 2 , 试求再后面 3  项 的和.   例5 设 { a   } 是由正数组成的等 比数列 , S  为  
其前  项之和.   1 ) 证明 :   <l g S 川 .  

思考题 5 已知等 比数列 { a   } 的公比 g >1 , 第  1 7 项的平方等于第 2 4项 , 求使 a 1 +a 2 +… +a   >   +   +…+   成立的自然数  的取值范围.   例6 ( 2 0 0 3年“ 通讯杯” 高中数 学综合应用能  力竞赛试题) 已知 { a   } 是 等差数列 , S 1 =2 。 t , S   =   2 。 l + 2 。 2 +…+2   n (  ≥2 ) , 是否存在常数 c , 使得数  列{ S   +c } 为等 比数列.   解 设a  的公差为d, a 1 =a , 则 
S  =2   l +2   2 +… +2 “  
2 。+ 2 “   d+ … + 2   a  (  — 1 ) d  

2 ) 是否存在常数 f >0 , 使得 

掣 
g>0.  

: l g ( s …一   ) 成 立 ?  

并证明你的结论 .   解 不妨设 { a   } 的公 比为 g , 由已知有 a 1 >0 ,   1 ) 当g =1 时, S   =n a l , 从而 

2   [ 1 +2   +( 2   )   +…+( 2   )   一 。 ]  
f  ‘ 2 。 , d  0 ,  
0.  

s   + 1 一s   ? s   + 2 = (  +1 )   a } 一n a l (  + 2 ) a l   = a ; > 0 ;  
当g ≠1 时, g >。 , 且s   =  
s 2   + 。 一 s   ? s   +   = =  

1 ) 当 d=0 时, 若存在常数 c , 使得{ S   +c } 是等  
比数歹 Ⅱ , 贝 0 ( S   +c )   =( S   一 l +f ) ( S   + 1 +f ) ,   记t =2 “ , 贝 Ⅱ 有 ( n t +f )   =[ (  一1 ) t +f ] [ (   +1 ) t +f ] ,  
。 . .  

, 从而  

t  + 2n t c+ f  =  t  一 t  +2  r c+ f  .  


。 . .

地 




, ’   ,T  ’ ) l -  


. 

t   =0 , 即2 。 =0 , 矛盾 !   此时不存在 c , 使{ S   +c } 成等 比数列.  

( 1 一口 )  

~  

2 ) 当d ≠0  
:  

. 。 s   一  

综上可知
即 

s   + 1 >S   ? S   + 2 ,  
<l g S … .  
2 a一 1’  

2 ) 这样的常数 c 并不存在 . 事实上 ,  



s   +r - - - 2  


要 使  

半 

: l g ( s   +  
一  



( 2   )   ,  

S   + 1 一f ) 成立 , 则有 



f ( s   一c ) ( s   + 2 一 f ) = ( s   + 1 一f )   I   S   一f >0  

( 4 )   ( 5 )  

我们分两种情形讨论( 4 ) .   当口 :1 时,   ( S   一f ) ( S   + 2 一f ) 一( S   + 1 一f )  =( n a 1 一f )   [ (  +2 ) a 1 一f ] 一[ (   +1 ) a 1 一 c ]   =一a   <0 .   可见不满足条件( 4 ) , 即不存在常数 c 使结论成 
立;  

2   , 故存在常数 f , 使{ S   +f } 是 以公比为 2  的等比  
数列 .   思考题 6 .( 1 9 9 2年全 国高中数 学联赛试题) 设 

筹 
‘ 正   Y  

z, . ) J , z为实数 , 3 z, 4 . ) J , 5 z成 等 比数列 , 且  ,   ,  
1   一  .  

上成等差数列 , 则土 +三 的值是 
思考题答案和提示  2. C .  


.  

当g ≠1 时, 若条件( 4 ) 成立 ,   由于  ( S   一f ) ( S   + 2 一f ) 一( S   + 1 一f )  

一【 [   — — 1 _ =  一   c ] j [ 【   — — — _ i _ =  一   j   [ L  1     — g  一 c ] J  


3. 1 2 6 . 4. 1 1 2或 
6.   3 4
. 

3 7 8 .  

5.  ≥ 2 0 .  

( 收稿 日期 : 2 0 0 4 — 0 3 —1 8 )  


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