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全国中学生物理竞赛课件3:平衡问题探骊


O

? ? ?

稳定平衡
不稳定平衡

稍微偏离原平衡位 置后能回到原位置 稍微偏离原平衡位置 后不能回到原位置
O

随机平衡

能在随机位置保持平衡

对由重力与支持力作用下的平衡 偏离原平衡位臵.

* 设计

一个元过程,即设想对物体施一微扰,使之稍

或从能量角度考察受扰动后物体重心位臵的高度变 * 化,根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本 是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡; 或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量, 即重力对扰动后新支点的力臂,从而判断物体原来的 平衡态属于哪一种.

为比较扰动前后物体的受力与态势,要作出直观明 * 晰的图示;由于对微扰元过程作的是“低细节”的描述, 故常需运用合理的近似这一数学处理手段.

依问题的具体情况,择简而从.

专题3-问题1

如图所示,一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半 径分别为a、b且长轴的长度为l,蛋圆的一端可以在不光滑的水平 面上稳定直立.求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直 立,碗的半径r需满足的条件.

考察质心位置的高度变化
蛋圆在水平面处稳定平衡,应满足 低细节 蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足 描述

R> l ?a

B l R

b

C ?M ? ? cos ?? ? ? ? + NM ?

???
2

> CM

??? b b bR R ? cos ?? ? ? ? ? + r? ? < > R r< 2 b b ?R ?? 1? ? b 2 ? ?? 1 ? ? ? r? ? > R ?1 ? cos ?? ? ?l?? ? 2 R sin a ? 2 R 22
碗的半径 r <
b?l ? a? l ?a?b
?? ? ? ? ? 2R ? ? 2 ? ?

微扰情况下α、β为小量,整理得

A C

a

续解

蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足
C ?M ? ? sin ?? ? ? ?

续解

O βC A
C ?M ? ? cos ?? ? ? ?

C?

α
? ?? NM ? NM NM ? ? r ? ? b?

B
M?
2

α-β
???
2

?
2

N

?

M

NM ?

续解

考察质心位置侧移量

蛋处于稳定平衡的条件是:重力对扰动后新支 点N的力矩可使蛋返回原位,即满足 低细节
C ?M ? ? sin ?? ? ? ? < MN R ? ?? ? ? ? < r ?
? r? ? R?? ? ? ? < r? ? b ? b bR ? b < r< b b 1? R?b 1?
碗的半径 r <
描述

b?l ? a? l ?a?b

R

l?a

专题3-问题2

如图所示,杆长l=a+b,质心在C点,杆的A、B两端 分别支于互相垂直的两个光滑斜面上而处于平衡.试问在图示位臵 时,此杆的平衡是稳定平衡、随遇平衡还是不稳定平衡?并证明之.

先研究三力杆平衡时的几何位置特点:
在△BOC中由正弦定理:

O FA α C b B α G FB

? a ? b ? sin ?0 b ? sin ? sin ? 90? ? ? ? ?0 ?
cos ?? ? ? 0 ? sin ? 0 sin ? ?

A φ0
a

? a ? b?
b

cos ? cos ? 0 ? sin ? 0 sin ? ? a ? b ? ? sin ? 0 sin ? b cos ? cos ? 0 a ? sin ? 0 sin ? b

b cos ? tan ? 0 ? a sin ?
证明

考察质心位置的高度变化
扰动后当杆处于与右斜面成夹角φ方位 时 y ? a ? b cos? ? sin? ? b ? sin ? ? ?

?

?

?

?

A α

C φ

B y

? a sin ? ? cos ? ? bcos? ? sin ?
2 2 2 2

? ? a sin ? b cos ? ? a sin ? ? b cos ? ? ? ? cos ? ? ? sin ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? a sin ? ? b cos ? ? a sin ? ? b cos ? ?

? ?1 b cos ? ? 已有 ? a sin ? ? b cos ? ? cos ? ? ? tan ? 结论 a sin a ? ?
2 2 2 2

? a2 sin2 ? ? b2 cos2 ? ? cos ?? ? ?0 ?
2 2 2 2 当? ? ? 0时 质心C的高度有最大值 ymax ? a sin ? ? b cos ?

受扰动后杆质心降低,属 不稳定平衡

续解

考虑质心对杆的瞬时转动中心的侧移量
原平衡位臵时杆的瞬时转动中心为O
O? O
A
a C C? ? φ0
1

此时,重力对O的力矩为0
如示扰动后杆的瞬时转动中心为O′

此时, x ? ? a ? b ? cos ??1 ? ? ?

B

b ?

1

则x ? x? ? b cos ?1 cos ? ? a sin ?1 sin ?

x? ? a cos ?1 ? cos ? ? b sin ?1 ? sin ?
2 2 2 2

α

x x?

? a sin ? ? b cos ? ? sin ??0 ? ?1 ?
? ? 1 > ?0

sin ?? 0 ? ?1 ? < 0

x < x?

<0

? 重力对O的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位臵 !

不稳定平衡

专题3-问题3

如图所示,课桌面与水平面夹角成α,在桌面 上放一支正六棱柱形铅笔,欲使铅笔既不向下滚动、又不向下滑 动.试求:⑴在此情况下铅笔与桌面的静摩擦因数μ.⑵铅笔的 轴与斜面母线(斜面与水平面的交线)应成多大的角度放臵?

考虑不滑动
mg sin ? = fmax ? ? mg cos ?
铅笔在斜面上恰不滑动,有
φ α

? ? tan ? 摩擦角恰为斜面倾角
若满足

? ? tan ?

笔不会因滑动而破坏平衡!

考虑不滚动 笔所受重力作用线不超出斜面对笔的支持面! cot ? 应满足 a 3a ? cos ? ? ? tan? 3 2cos? 2 cot ? 放臵笔时笔的轴线与斜面母线所成角 ? > cos ?1 低细节 3 笔不会因滚动而破坏平衡! 描述

续解 过笔质心的横截面

C 重力作用线
B A a
?

O
?

B1

α

CO ? a sin60
OB ? a cos60

?

临界状态下

?

OB ? CO ? tan? cos?0

专题3-问题4

飞檐问题:如图所示,建造屋顶边缘时,用 长度为L的长方形砖块,一块压着下面一块并伸出砖长的1/8,如 果不用水泥粘紧,则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒?这样 的几层砖最多可使屋檐“飞”出多长?

若共堆n层、每块伸出1/8的砖而恰未翻倒 n
L全 L 7L ? L ? ? n ? 1? ? 2? 8 8

L 最上1层砖恰不翻倒,最多伸出 2 最上2层砖恰不翻倒,最多伸出 L ? L 2 4 最上3层砖恰不翻倒,最多伸出 L L
G L L 2 x ? ? ? 以此类推, 7层砖的最大伸出 2G ? G 2 6

n? 7

1

2

3

C全

?
L L 8 8

?

L 8

L nG
? L 6
7 2

1

?

4

?

G

L L x L 2 G 6 4G

Lmax

1 ? ?1 1 1 ? ? ? ? ?? ? L 14 ? ?2 4 6

2G 3G

如图所示,一矩形导电线圈可绕其中心轴 O转动.它处于与轴垂直的匀强磁场中,在磁场的作用下, 线框开始转动,最后静止的平面位臵是图中的
B O O B

O

B

O

B

A

B

C

D

不稳定平衡
稳定平衡

不稳定平衡

不稳定平衡

图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的 线联结起来,问每一种情况各属哪种平衡?

随机平衡

稳定平衡

不稳定平衡

给两小球线绳系统一扰动,从受力角度考 察受扰动后,两小球重力沿绳方向力的合 力指向,从而判断平衡种类!

如图所示装臵,它是由一个长L的木钉、从木钉 上端向左右斜伸出两个下垂的、长为l的细木杆,以及在木杆的末 端装有质量同为m的小重球而组成.木钉及木杆的质量可忽略,木 杆与木钉间夹角为α,此装臵放在硬质木柱上,则l、L、α间应当满 l cos? ? L关系才能使木钉由垂直位臵稍微偏斜后,此装臵 足______________ 只能以O点为支点摆动而不致倾倒. 为满足题意即系统处于稳定平衡, 给系统一扰动, 两小球重力对O的力 l 矩应能使系统回到原位! 原平衡位臵时 l cos? < L 受一微扰后
m O

α L α

l m

不能回到原位
l cos? > L

2mg 2mg

原平衡位臵时 受一微扰后

能回到原位

如图所示,长度为2L、粗细均匀的杆,一端靠在 铅直的墙上,而另一端靠在不动的光滑面上.为了使杆即使没有摩 擦仍能在任意位臵处于平衡,试写出这个表面的横截线的函数表达 式Y(x) (杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内) y 为满足题意即杆处于随遇平衡,应 (0,) 使杆的重心始终在x轴! 表面的横截线满足 O
2 2
(x,y)

C

x

x + ? 2 y ? ? ? 2 L?
2

x2

? 2L?

2

+

y2 L
2

?1

该表面为椭球面的一部分

如图所示,两个质量分别为m1和m2的小环能沿着 一光滑的轻绳滑动.绳的两端固定于直杆的两端,杆与水平线成角 度θ.在此杆上又套一轻小环,绳穿过轻环并使m1、m2在其两 边.设环与直杆的接触是光滑的,当系统平衡时, 直杆与轻环两 tan ? m2 ? m1 ? 边的绳夹角为φ. 试证: tan ? m1 ? m2 同一光滑绳上张力处处相同设为FT,

两小环平衡,分析受力如图: 由力矢量三角形:
FT ? 2cos 90 ? ? ? ?
?

φ

φ

m1 m2 ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ?

?

m1 g

?

?

2cos 90? ? ? ? ?

?

m2 g

?

m2 90? ? ?? ? ? ? FT
m1g m2g

θ

m1

90? ? ?? ? ? ?

FT

sin? cos? ? sin? cos? m2 tan ? m2 ? m1 ? ? sin? cos? ? sin? cos? m1 tan ? m1 ? m2

一根质量为m的均匀杆,长为L,处于竖直的位 臵,一端可绕固定的水平轴转动.有两根水平轻弹簧,劲度系数相 同,把杆的上端拴住,如图所示,问弹簧的劲度系数k为何值时才 能使杆处于稳定平衡?

为使杆处于稳定平衡,给杆一扰
动,弹簧拉力对O的力矩应大于杆重 力矩!

FT FT
??

即 其中 得

L 2FT ? L > mg ? ? ?? 2
FT ? k ? ? L ? ?? ?

mg

mg k> 4L

如图所示,一块厚d的木板位于半径为R的圆柱上, 板的重心刚好在圆柱的轴上方.板与圆柱的一根摩擦因数为μ.试 求板可以处于稳定平衡状态的条件. 令板从原平衡位臵偏转一小角度α

板处于稳定平衡条件是重心升高! d 以圆柱轴为参照,原板重心高度 R ? 2 d 扰动后重心高度 R cos ? ? cos ? ? ? Rsin? 2 应有 R cos? ? ? R sin? ? d cos? > R ? d 2 2 d ?? d ? 2? ? ? R ? 2 ?? 1 ? 2sin 2 ? ? ? R sin? > R ? 2 ? ?? ? 2 ? ? dd ?? ? 2 2? 且 ?sin R? >> ? ? ? ? 2sin ?R ?R ?R 2 2? 2 ? ? 2? ? 考虑到 ? 很小,sin? ? ?

C α
M

?

Rcos? ?

C? d 2 M?

α

R

d < 2R
< tan ?
?1

如图所示,用均匀材料制成的浮子,具有两个半径均为R的 球冠围成的外形,像一粒豆子.浮子的厚度h<2R,质量为m1.沿浮子对称轴向 浮子插入一细辐条,穿过整个厚度.辐条长l>h,质量为m2.当将浮子辐条向上 地浸于水中时,浮子只有少部分没于水中.浮子的状态是稳定的吗?

先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点-重心位臵:
m2 ? l ? h ? ?l?h ? 由 m1 g ? x ? m2 g ? ? ? x? ? x ? ? m1 ? m2 ? ? 2 ? ? 2 ? m2 ? l ? h ? h 故 lC ? ? ? 2 m1 ? m2 ? 2 ? ?
l lC 2

浮子偏转小角度 低细节
描述

C

m m1 h L? 2 2R ? L ? h ? 当当 lC ? = ? = R 随遇平衡! h x ? ? 浮子为 2 m ? m 2 m2 2R ? h 2 ? 1 2? m1g m1 L ? 2 R 当 < m2 2 R ? h 浮子为不稳定平衡! m1 L ? 2 R 当 > 浮子为稳定平衡! m2 2 R ? h

m2g 至题9

若 lC > R

若 lC = R

若 lC < R

续解

C

C C C C

如图所示,儿童玩具不倒翁高h=21cm,质量m=300g,相对 轴KD对称分布.不倒翁的下部是半径R=6cm的球面,如果不倒翁放在与水平面 成角α=30°的粗糙面上,当它的轴KD与竖直方向倾角β=45°,则处于稳定平衡 状态.为了使它在水平面上失去稳定平衡,试问最少需在头顶K加多少塑泥? K K

先求原重心位臵:

在三角形OCD中运用正弦定理:

h

OC sin30
?

?

R sin45
?

OC ?

R 2

R O D

OC α Δm K
βD

? 3 2 cm

K 在水平面上: 不倒翁失去稳定平衡条件

是重心高于O!
即 ?m ? ? h ? R ? > m ? OC OC 3 2 ?m > ?m ? ? 300 g h? R 21 ? 6
C?

O
30?

O

C
45?

? 84 g

C
30?

D?

有一长为0.2 m、截面积为2 cm2的均匀细棒,密 度为5×102 kg/m3. ⑴在细棒下端钉上一小铁片(不计体积),让细棒竖立在水面, 若细棒露出水面部分的长为0.02 m,则小铁片质量为多少? ⑵不拿去浸在水中的小铁片,在上端要截去多少长度,恰好使上 端面与水面齐平? ⑶要使细棒竖在水面是稳定平衡,下端小铁片至少要多重? ⑴分析此时受力: ? LSg ? mg ? ?水 0.9 LSg

? ?16g 0.9 ? 0.5? ? 10 m ? 0.9?水 ? ? LS ?

?

?

3

4 ? 0.2 ? 2 ? 10?? kg 水 L1 Sg

?水 ? 0.9 LSg

⑵此时态势为: ? L1 Sg ? mg ? ?水 L1 Sg m 16 ? 10?3 L1 ? ? m=16 cm 3 ? 4 ? 水 ? ? S 0.5 ? 10 ? 2 ? 10

C1

?

? L ? 4 cm ?

? L1 Sg

CM C总 ? LSg

低细节 描述
mg

mg ! ⑶ 系统为稳定平衡条件是浮心高于合重心

M L M?m 即 ? < M ? m 2 2?水 S

m > 20

0.02 0.02 ? m mmin ? 8 g ? 0.1 < 0.02 ? m 2 ? 103 ? 2 ? 10?4

?

2 ?1 g

?

至题11

续解

C总 C总 C总

不稳定平衡

随机平衡

稳定平衡

两个相同长方体处于图示位臵.问当α角为多少 时它们才可能平衡?长方体与水平面间摩擦因数为μ,长方体长b宽 a.长方体间无摩擦. a 分析受力: 在此条件下,对右物块由力矩平衡

a 系统可能平衡条件是 ? > ? ? tan b
?1

F ? f0

bG
G

α?
f 0 ? ?G f0

F?

G ? ??
G α

b G? sin ?? ? ? ? ? F ? ? b cos? ? ?G ? b cos? 2cos? sin? cos? ? cos? sin? ? 2? tan ? ? 2 ? ? tan ? cos? cos?
在此条件下,对左物块由力矩平衡

a? ? ? tan ? 2? ? ? b? ?

?1 ?

a b G ? ? F ? b cos ? ? G ? sin ?? ? ? ? 2 2cos?

sin? ? sin ?? ? ? ?
?1

a ? ? 2? ? 2tan b

? ?1 ? a? ?1 ? a ? ? tan < ? < min ?tan ? 2? ? ? ,2tan ? ?? b b? ? ? b ?? ?
?1 a

在互相垂直的斜面上放臵一匀质杆AB,设各接 触面的摩擦角均为φ(μ=tgφ),求平衡时杆AB与斜面AO交角θ的范 围.已知斜面BO与水平面交角为α.

三力杆平衡时的几何位臵特点: 不稳定平衡 A 杆两端约束力与重力三力汇交

当θ=α时 结论:

fA=0

fB=0
A θ

O1

θ

B α O

平衡时杆AB与斜面 AO交角θ的范围为α

G B α O 续解

? ? 2? ? ? ? ? ? 2?

当θ<α时

杆平衡位置与左斜面的夹角

?O?AG ? O??AG ? ? 90? ? ? ? ? ,
?AO?G ? AO??G ? ? 90? ? ? ? ?

? ? ? ? 2?

?O?G = AG O??G < AG

φ

fB=f m fA < f m O??? O? fA=f m fA=f m
α O??

A θ

fA=f m fB < f m
φ φ-δ

? 90? ? ? ? ? ? 90? ? ? ? ?

? ? ? ? 2?
?O???BG ? ? ? ? , ?BO???G ? ? ? ?
G

G

?O???G > BG

α B O 续解

? > ? ? 2?

当θ>α时 杆平衡位置与左斜面的夹角 ? ? ? ? 2? ?O?AG ? O??AG ? ? 90? ? ? ? ? , fA=f m fB < f m ?AO?G ? AO??G ? ? 90? ? ? ? ? O?? fA=f m fA=f m ?O?G = AG O??G > AG O?
90? ? ? ? ? ? 90? ? ? ? ?

返回

? ? 2? ? ?
?O???BG ? ? ? ?, ?BO???G ? ? ? ?

90? ? ?

O???

fB=f m fA < f m
φ φ-δ

φ

A

θ

G G

θ

B α O

?O???G < BG

? < ? ? 2?

4个半径均为R的光滑球静止于一个水平放臵的半 球形碗内.该4球球心恰在同一个水平面上,现将相同的第5个球放 在前述4球之上,而此系统仍能维持平衡,求碗的半径为多少?

几何描述

G 上球对下各球压力由对称性得 N = ? 2 4
各球三力构成闭合三角形

由力三角形与几何三 角形相似求碗半径!

E A
T

G 4

C

N G = sin ? sin 45? ? ?

?

使系统平衡碗半径 r?R 2 R r ? 1 ? 2 13 R = max 1 ? 2 13 ? sin ? sin 45 R ? r ? 1 ? 2 13 R 1 ? 2 13 26 rmin = r sin? ? R 动态分析 26

碗半径r由几何三角形

1 ? ? ? tan 5

θ
45?
N

G

结论:

?

?

?

?

俯视图
R? r
D E N P A B P C

剖面图
θ T

续解

E
C

A
G

2R

rmin
D

E C

球心与 切点空 间位置

A P

B

E
A C

碗半径增大,平衡破坏!

续解

E A C

P

碗半径减小,平衡可维持至此!


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