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数学奥林匹克高中训练题


4〇




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等 数 学 ? ?

? ? 镙外例 链

瓠 t 奥翁 逛
中 图分 类 号


销錄龜




2〇 2

? ? )

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G4 24



79

?文 献 标 识 码

A ?文 章 编 号





005 ?



?

64 1 6



20 1 6



04 ?



?

00 40 ?



?

06 ? ?

m? ^ ^? ^


?
?






? ? 连 续 掷 三 次 色 子 所得 点 数 的 乘 积 被

? ? .
?



整 除 的 概率 为




填 空 题 每 小 题 8 分 共 64 分 ?7 在 方 程 '
( )



1? =



的 所有 复 根 中

? ? ,

1?



?y

、z

>0



且 ?模长 为




的有
?

?



? ? .

^ ?+



? ?? 设4 ?? ? ? ? ?位的 正 整 数




8?

?= ?1

00 1 0 1



0 2 1 03


?

7 9 87 99
?









?

2? 1 00 ? ?

7 + 2? 0 1 6



+ 2? 0 1 6



其由



00
26



7 99

的 三位 数顺序 ? ?
? ? .
?



/ +?




?连 接 而 成 则 4 被




除 的 余 数为
? ? )

? V? ? 二 解答题 共 5 6 分 + +2 的 取 值集 合 为 6 分 数列 U ?9 则 ? ? J 满足 ^Z ? ? X






_



?







?(





2.

多 项式 ? ?






?


_

22 4



?:

+ 2 ?0 1 6 ? ?

_

c?

的 三 个 根 成等 比数 列 则


的值为

? a

? ? 2


?

?



a a




n +
?



?









_



+ a

n +







_



? ? ?+

若 曲 线 ? ? 9 上 的 点 尸 到 直 线? 证 明 a應 > 6 三 象? 的距 离 为 2 〇 6 则 点 尸 到 第 厂 2 在抛 物 线 ? ? ?1 0 2 0 分 已 知点 P 限 角 平 分线 的 距离 为 腳 上 问 ? ? 而 是 否 存 在定 点 经 过点 4 设A 仙 C 的 边长 分别 为 6 ¥ 2i 则 其 ?/ 使得 的 壬U 线 ? ? ?与 抛 物 线 交 于 点 面 积 s 的 最 大值 为 5 在 四 面体 中 ?Z ? 的 外 角 平 分 线 为 抛 物 线 的 切 线
2a












? +
?

?



?
? ? -







02)

? ? -













?(











?





?

?







(?

















?

?



? ? ?



A B ?= ? \



BC
AC









?



CD








?

11



?(

2 0?

分 求 函数 ? ?
) 2


DA



1?





BD





?f



x)



^x

A x + 3? +? ^x



?+

4^ + 5 ? ?

则 其体 积为


?

的 值域

? ? .

调 性和 值 域 知 存 在 唯








? e


2 (












使?










)?







mm x

























?< 0

?
?
?

= >











?



?

? ? i




? ? =

4%

?








?4 e ? ?

/O




为减 函数 当


?

X ?6

















? )? > 〇



?
? ? i

u 为增 函数 ? 与 〇 < a < i矛 盾 x? 则 /〇 _ /〇


?

? ? .

?





?











综上 ? G




x ? 0







e? )



?

斗士

1?

? ? .

? ? .



吴丽 华

提供

? ? )

20 1 6

年第





期?4

? ? 1




试? ^








y?


?





X? +













? ? .



、 (

40

分 设整 数 瓜 彡 2 证 明 ? 2 7 29 ?设 多 项 式 的 三 个根 为

? ? .

























ac

? ? .



















? ? ? 由 韦 达定理得


二 、 ( 40

分 求所有 的 自 然数 n 使

/1





1 1





为 五次方数
三 、 ( 30
?
?

= 2? 0 1 6 ? ? ab + b c + c a ?


?

a + 6 + c ? = 2 24


? ? ,

? ? ,

分 如图


?





?A

?



abc





? ? .

△ M C? 的 内 切 圆 与 ?/\

边 5C
?



C4


v4 5?

于 点 ?D

E、

分别 切 ? 故心咖 F BF


?则 ?
a ?+
?

〇 “ 6 c + ac




? ? 9



+ c ?a + b + c ? ?
?=



紙%⑶ 的中 点分

?1 ? m









729

? ? .

^^


c? 3





? ? .




交于

存 Z 证

?设点 P
?为
V2














其 到 直线




=?







的距 离 ? ?

lC 的外 接 圆 明 A Zf ?图

与 A MC 的 内 切 圆
- -

?

? ? ? 41 m? + ?^

到 直线 y




的 距离 为




? ? ^
? ? ?9

? ? '



相 切 ?则



?m





?



m?







?
=?
?





?







分 凸 多 面体 的每个 面均为 三角 ? ? 且每 个 形 每条 棱 上 均 标 记 字 母 a 6 之 麵 三条 边 上 恰 a 6 各 有 个 对 每 个

、 (



?

—  ̄








50














高 ? ? 从 而 所求 的 距 离 为


?4

的 距 离为

? ? ,















面 当 旋转 多 面 体使 该 面 在我 们 眼 前时 按 照




字母 顺 序 a










观 察其 三 边 若 是 逆 时 针方 ?4 ?


? | ^ ?^

?

? ? .

?

向 则 称 其为 正 面 否 则




称其为皮 亩 怔 明




?二



? ? 2
A ? 0?< ? ?

设?綱 随长 为 6
?



? ? .

? ? 参 考 答 案?由 余弦 定 理 有






试?

3 6?








?

+ 4x

?




4a



?

c os ?A ? ?



1.







? =>

cos





? ? 务


假设 尤


>y



则?
= 1 1



* ? > y?

? ? ? =

?



2 01 6 ?

%T2 m 6




^ y >



?^ ?


> ? si

n A ? =? 1?






?9




? ? 2



?

?[

?

? ? ? I



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- r










6 ^hr

? ? ?卦
S ?



= >?



>?

?则




?



? ? 2



?=
?(




2*



si n

>l
? ? )

矛盾



?
x <y





9? l





9 ?9


? ? \

mc
于是

?





?(













? ? \

? ? )

类似 地




y?<








??

<*



也矛 盾




?/


?x








*?= y

进而



y?



?




?4







?

?


? ? )

42

?中 等 数 学 ? ?
9?


?



?




?

_





?
= 1







? ? .

^9

— - ̄

??

?|


?2 ?


44





? 则 /V


?设


































1?





? ? ?



?

=?



?



?











= 1

? ? .

^?S ^







?结 合 2 VS G 2 6 时 上 式 等 号成 立 ?单 位 虚 根










= 1




/? =
? ? .

<? >



为 三次 ? ?





















? =? 1


3 5?







_







? ? ?于 是 方 程 变 为


? 2?


遵?







4 ?
2 ? ? Z





+? 1
?











+z









? ? 0

由 仙
BC




iC f










?+ ? (

2 v^





25



yl






?






?( z

?+ z ? + ? l z ) (



?



z ?+ ? l

)?





? ? .

? + ?C

D ? =? ( Z/6




? +? 5 ?= ?4 9? = ?BD









丄 5C



iC f



Ci)



?


?易 知



共有 4 个 根 〇 ? ? 经 检 验 _ 足原 方


?

?



、<







<〇 、







? ? .



如图

作 矩 形 仙 C£ ? D




AE

三一

? l X? 注 意 到 ? /4 ?^

? ? '



1 26 ? =

2 x 9 x 7

? ? ,







m〇 d 2

? ?




±

CD

?



( / j








?



? ? ,

純 0? +



?1

0 1 ?+





—9

x 3 50 ? ?

c?=

m od 9



? ? ,





丄面



?




?= ?1

00 x


l?

0 00 0





0 1 ?x

l?

00 0



?+ ?



. .

? ? +

又 由 狀 丄 仰 及? 图

?
e I

7 9 8? x

1?

勾 股 定 理得

OO x
?x













+ 799 ? ?
? +? 1 0 1 ? x ?(
698


699

?1

?



?+ ?



? ? +





再 由 A 五⑶ 的 边 长 为



?7 9 8 5 5 知 其 面积









? ? + 7 99

?





1 00





0 1?



02? +
? ? .

?1

03

?

? ? 79 8? + 7 99




?= 3 5 0 = 0 (
?

m od 7





?故




?


?





?(

m o d ? 1 26 )

? ? .

则? P三 棱锥
^ V m m m BC D


?



x 2 V^
?


?



?

?

?

^?









注 意到
an

?

? ? ,



°n ?





?







an?




an








?

? ? +









?









e + r





?+
l f

??





_









?① ? ?




6 n ?= a b b




n?




O 多2
bn 6






则 式 ①变 为 ? ?





?





n?



n +

?+

?



? ? .


的 概率








P6

分别 表 示

? 假设
积被



?

6?

= +











?






? ? .





整除

?进 而



6? ?t

?

6?

?2 ?

=?




… ,

6 2 ?= ? 0



? ? 与

? ? ?j















1 6 ? ?2




? 黑? 于是 A #


? ? 2





?





a r















? ? ?

将乘 积 被

?

P3




整 除 而 又 为 奇数 的 概 率 记 ? b ? ? 6 故 ? tl ? ?


?
" +







?

M f

P6


f?










?七 如




















? ? _



?

?





3?





? ?由 &


?=





知^



?=

?/i

?

恒 成乂

? ? .

20 1 6

年第



? ? 期? 43

因此



6 ?=



丄 r t n?





. ??

2? 3





? 方 向 即点 5 不存 在 ? 行 于对 称 轴 的 直 线




此 时 直线
, ,



可 视 作平 ? ?






且直线




过点



? ? 点


=>

% "









?
?
?










?





丄? 尸 与



_

关 于 x 轴 对 称 直线


与切线



的交 ? ?
? ? .



?x ?

?


?点 为








2 *





猜测 定点
















满 足要 求


2 〇1 6?



1?





?(



?



?设 4
?

















?



B 0 K2 y2 )




( lB









+3



? ? ?





? 1? 1? I ? ? 与

6?




?=

4*
6k

联立 消 去 y 得 ? ?






















+?





?


?k







?+

?(

?+

4k
4k





2 )

x + 9k

+? 1 2 k ?+ 4




? ? 0








?1? ? ?4




?



51 3

5 14 ?



^4



?

_

?


?

?4 W






6 k



? 9k




Uk


? ? +4



 ̄ —

?







—  ̄ — ? ?











? 2? 4?5 1 2 ?








* "





?8

r^ 4

?





,? 1



Xl

W ?1
) (







x2



?
=?



6 ( A ?+ ? l


? ? )
? ? ’



— -






= l






? ? f 备 2?k ? ?











?



?I

?

+ )?






8/











?l





?

? ? .

10 .

由?y




?=



过点


?

P(
















?









?T



?+



? ? 2 ?y2 ?+

易 知 拋 物线







在点



的 切线



? ? 的


倾斜 角 为 f 如 图 4




?





?J





+ 3




+ 4

HX



+3)


+4 ? ?

?x



?



? x 2?

i r

? ? l




?/ y? ??





4 +



i ±I l


?1

?

J? L

?丨

A +



i±i i


? ? i

2?

?1

? ? J




/? Q?



?+




?





?W



k? + ? l



k(

? ?

?H


?





? ? ?+

? ? 1



?



6( k +












2 )

? ? )








?+



?(



2k

?+ k

?+

? ? k



?



于是


的 斜率 互 为 倒 数

? ? .

的 内 角 平分线 与 第
? ? .





? ? 三

l f



? 象 限 角 平 分线 平 行

?3


的 外 角 平 分线 的 斜率为
tc ? ?





? ? ,

考虑 两 种 极 端情 形






当 /m 的 方 向 通趋 近 于 纖 m



? ? p

3 2 满 足 要求 趋 近于? 综 上 存在 定 点 ? ? 切 线 ?1 1 易 知 函 数 / * 的 定 义 域 为 或 i 为 水平 ⑵ 当 以 的 倾斜 角 为 f 时 Pf +描 忍 撕 ? ? 2 ?当 * 多 3 时 / * 为增 函数



A vB
Z.

均趋 近 于点

从而 直 线






( ? (





? ? .











?



、 )





? ? ,

44
_

中 等
?
?

数 学 ? ?


fi



)?

5 /( 3




?



?V ^ 6 ?



a >a ?故 r

4 ?

+a





?

+ a

?

+ a ?+ ?1 ? > a ?





彡1



?

>n

? ? ,







矣1

时 记


f?



?



多0



则?矛 盾


? ? -

x )? =? ^t





+ 2 ) ?+


?于 是 〇 ?则
7 ( 3?


?+ 1


















? ? .

n (





?l l



+ a


+ a



+ a ? +? l





? ? 且
^a ? ?















7i





^a






? => ? n ?+? l





?





+ 0 ?+
2 2




?

















?
=〇


4 =

? 5



n? +?l




^ 5a
1?

?>

a ?+? a ? +? o ? + ? a ?+

? ? 1





^3





?=

7 I 〇? /










?^ 1





?=

?(











?② ? ?

故 函 数 /U 的 值域 为 #





?若


多4





? ? 则


? ? 4

1?



力卩





> C

^?






? ? 4





x 坟 设? n

A 丄? ?肩 AU ?


?
?
?

^?

( !









%?



C: x











n ? +? 1



?5


n? +? 1



_





n? n

?n



2?n

?




?1 0

? ? 4

? ? n ? + ? l? n? +? l ? n ? +? l ? n ? +? l ? 1 20


^3

x2












?
?





1:





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4 ?x








?1 ?





? ? l


?


? 3?






? ? ? 3? 6 3

?8



?

?(

¥? T





< L

64

?



=>

?(











> 5 ( n ? +? l



? ? ,

假设 已 得

?+



hA
?




?



03)










?n
?

+? l

均 小 于 ? 与 式 ②矛 盾 a 5 ?故 当 r
? ? . ?






时 方 程 ①无 解



? ? .






¥ ?n


+? 1






?对












检验 知








满 足 要求

? ? .





a? + r



?^

?


3? \ ? 8? /

a + ?综上 ?r
?



a r



〇?

或2
?

? ? .

e ?t 8 r n?+
8n

2 \?

?n

?

+ ? l?






?三 先 证 明




个结 论
?

? ? ?


_



?

l )

? Sn ?


?^



n +



^p








2 \



?

?n?若点 A
?

分别 在 A?的 边
, ?

?7





rC ? ?

n?+



?





?上



且 ?/ i C 则 A? 的 外 接 圆 与 ? ? / f
TB C ?


=?



n ? +? l



?+



n ?+? l




_





?A



的 外 接圆 相 切

? ? .

?证 明



如图





只需考虑 其 中



? ? 个 圆过

注意 到




,n + 3




得? 点




的 切线 M 与 顶? T ? ?





+X



+X


n +



r ^







< ^ ^





^ < h

? ?

的夹角 为 弦 憾
?

iA / 由 f ze c 则




故对?均 有
二 、设


?3 C





?乙


?

TC B




?Z?


?b ? ? ? /? \ ? ? \
? ? 图4

? ? ^ 2



?TCB
_

? ? ?B? C





i i













?① ?于 是




它 们 同 时?
? ? _



71

?


?









a ? =? 1



?等 于 弦切 角


下设


a >
?=



l l

?(



则? 从 而 也 为 另 +a + a + a + ?故 两 圆 切 于 点 a




个圆 的切线

? ? .















?

?

?

?

?

?l







? ? .



l l

















a ?+ a ? + a ? +? a ?




则? 回 到 原题 + 5 mod ?如 图 5 设 A AB C 的 内 心 为
? ? .

?





(?

?1 1




?



?

?

?

J , /B ?



?

? ? MV




> ?1 1















且 ^


+ 〇



+〇

+ ??+

?









?交 于 点



? ? ?

2 0 16 ?

年第 4 期
?

45


?

?

??

?

? ? ^



?外 接圆





? ? .

四 考虑 标记




的棱 将其 中点





染红


? ? ,

于是 得 到 若 干 个 红 点 任 取



条 含红 点 的 ? ?



条棱 含 红 点 用 虚 线 联 结这 两个红 点 再取另 ? ? 面 左 也会有 另 个红点 与点 P 相 连 图 ?于 是 任 红 点 均 连 出 两条 线 与 别 的 红 点 相 ? ? 注 意 到 ? 连 从 而 形 成 若干 个 以 红 点 为顶 点 的圈






棱 有 两个 面 以 其为 条边 如 图 6 面 右 该 面另 两条 边有 条标 记






? ? 个











? ? .

考虑 以 棱





为边 的 另



个面 该面有


? ? 一

X?







? ? .









? ? .



XB




?=

L B




?



XL


2?



再考虑 棱






也 会得 到 若 干 以 蓝 点 蓝 点 ? ?

? ? .


?(

LB




LN








XL





LN





?为 棱



的 中 点 为 顶 点 的圈


=?

NB


=?

其中





?由 于 红 圈 蓝 圈 的 边 均 要 穿 过 条 棱 X ? ? \ ? 将 椟 根 据 其 被 穿 过 的 情 形 分 为如 图 7 的 三 为 内 切 圆 ? 的 半径 ? 种类 型 ?
?+
?(

XI









?



Nlf ?+ XI











? ? ,















? ? ;

故 ZB 等 于 点 类似 地






对 ? / 的 幂 ?^ ?c ? ?






等 于点



对? / 的 幂
?



延 长 现 与 ? / 交 于点





? < T r? > ? ?
?

?y ^


? ? b

^?

>?

A X TB ?A XBD A XTC

?

co

?

A X CD

?




乙 ? 丙



? ? )

Z B TC
Z?TC

?


?

Z XTB

?

+?



XT C ? ?

? ? 7

=>

?

+?

Z? c





在厶 麗 的 外 接 圆 上 相 交 且 其交点 不 是 现 有 的 红点 或 蓝 点 ? c 设 r ir a 再 结 合 b zc x 平 分 Z f ? ? 则 ?设三 种 类 型 的 数 目 分 别 为 / ? 交于 点 t Q c分 r 内 且 ? ?正 酿 目 为 2 H ? + % 反 酿 目 为 2 n + n ?


其 中 图 ■ 的 两 个红 点 同 上 或 同 下 连 线 ? ? ? ? ?时 让 它 们 不 相 交 而 图 7 甲 乙 连 线 时





















? ? ?

















则 @? h ?+ " 为 红 圈 与 蓝 圈 的 交点数 i C 为 ? J 在 点 D 处 的 切 线 所 以 ?因 为 圈 与 圈 的 交 点 数为 偶 数 因为f

?
? ? -

^ ,








2?







2A









所以

? ? ,

B CJ / B C ? 正 面数




反面 数















? ? )

iC 的 内切 圆 恰为 △ 而A Af
, ,



B C



的 外?







ai ?+ M r

2 )

4?

4A



4 /i 2

? ? .

接 圆 据 所 证 结 论 知 它 与 △ f BC 的 外 接 圆? 故 正 面 数与 反 面 数之差 能 被 4 整 除 相切 因 为 △ 狀C 的 外接 圆 也 为 A 7B C 的 ? 杨 运 新 陕 西 省 西 安 铁 中 7 005 4
?J
? ? .







?







? ? )


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