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电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)PPT第4章 恒定电场与恒定磁场


《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

第4章
? ? ? ? ? ? ? 主要内容

恒定电场与恒定磁场
? ? 基本要求 媒质的分类

电磁场的分类 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

恒定电场基本方程与边界条件 恒定电场的电位与静电比拟法 恒定磁场基本方程与边界条件 矢量磁位和标量磁位 恒定磁场的能量和载流回路的电感
4-1

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

主要内容
电荷在外电场作用下做定向运动就形成电流。本

章重点讨论的是由恒定电流所产生的恒定电场和恒定
磁场。不仅讨论恒定电场和恒定磁场的基本方程和边 界条件,而且也要讨论分析恒定电场和恒定磁场的各 种位函数。最后,还要介绍恒定磁场的能量和载流回 路的电感。

4-2

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

基本要求
? 掌握恒定电场的基本方程和边界条件;

? 掌握静电比拟法以及简单恒定电场的求解;
掌握磁感应强度、标量位、矢量位、磁场强 度等量的基本概念; ? 掌握恒定磁场的基本方程和边界条件; ? 会利用矢量位的求解简单的恒定磁场问题;

? 掌握恒定磁场的能量和载流回路的电感的基
本概念。

4-3

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

电磁场的分类

4-4

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

媒质的分类

4-5

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.1

恒定电场基本方程与边界条件

?

4.1.1

恒定电场的基本方程

?

4.1.2

恒定电场的边界条件

4-6

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.1.1

恒定电场的基本方程

?

导体外部恒定电场的基本方程

?

导体内部恒定电场的基本方程

4-7

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

导体外部恒定电场的基本方程
? 当导体中的电流恒定时,电荷就处于动态平稳状态,其电 荷分布不随时间而变化。这种恒定电荷分布在导体外部所 产生的恒定电场和静止电荷所产生的静电场没有什么区别。 因此,导体外部恒定电场基本方程应与无源区静电场基本 方程相同,即

4-8

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

导体内部恒定电场的基本方程
? 当导体内部流过恒定电流时,导体内部的电荷密度和电流

密度均不随时间而变化。导体内部的电场应为无旋场,导
体内部的体电流密度的散度应为零,即

4-9

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

导体内部恒定电场的基本方程
? 导体内部恒定电场的微分方程 (4.1.1) (4.1.2) ? 导体内部恒定电场的积分方程 (4.1.4) (4.1.5) ? 微分形式的欧姆定律

(4.1.3)
——媒质的电导率
4-10

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.1.2 ? ? ?

恒定电场的边界条件

导体外部恒定电场的边界条件 导体内部恒定电场的边界条件 边界条件的两个应用

?

导体内部恒定电场的电位移矢量

4-11

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

导体外部恒定电场的边界条件
? 导体外部恒定电场的边界条件与无源区静电场中两种不同 电介质的分界面的边界条件是相同的。

? 此时,在两种不同电介质的分界面是没有自由面电荷的, 即

4-12

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

导体内部恒定电场的边界条件
? 导体内部恒定电场的边界条件可由基本方程的积分形式导出。

(4.1.6)

(4.1.7) ? 电场强度的切向分量和电流密度的法向分量是连续的。 ? 电场强度的法向分量和电流密度的切向分量是不连续的。
4-13

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

边界条件的两个应用
(1)接地良导体——

? 不良导体中的电流近似地与良导体表面垂直。

4-14

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

边界条件的两个应用
(2)理想介质中的良导体——

? 良导体的表面只有切向电流。细导线如何弯曲,电流线如 何弯曲。

4-15

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

导体内部恒定电场的电位移矢量
? 与静电场中的电位移矢量满足同样的基本方程

? 后面将会证明:在线性和各向同性的均匀媒质中是不存在 体电荷的,即 。 ? 导电媒质分界面上的面电荷密度

4-16

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.2

恒定电场的电位与静电比拟法

?

4.2.1

恒定电场的电位

?
?

4.2.2
4.2.3

恒定电场的功率损耗与电容器的漏电导
恒定电场的静电比拟法

4-17

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.2.1
? 恒定电场的位函数

恒定电场的电位

(4.2.1) ? 恒定电场的位函数的拉普拉斯方程 线性各向同性的均匀导电媒质中 ,且 为常数

(4.2.2) ? 线性和各向同性的均匀媒质中的体电荷密度恒为零,亦即 在线性和各向同性的均匀媒质中是不存在体电荷的。
4-18

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.2.1

恒定电场的电位

? 恒定电场电位的边界条件 利用 和 ,可以直接由电场强度和电流密度 的边界条件得到电位的边界条件,即

? 一般来说导电媒质的分界面上是存在面电荷的,即

(4.2.3)
4-19

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.2.2 恒定电场的功率损耗与电容器的漏电导

?

1. 恒定电场的功率损耗

?

2. 电容器的漏电导

4-20

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

1.

恒定电场的功率损耗

? ? ?

恒定电场的功率损耗的基本概念 焦耳定律的微分形式和积分形式 欧姆定律的微分形式和积分形式

4-21

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

恒定电场的功率损耗的基本概念
当导电媒质中的电子在外电场作用下做恒定的运动而

形成恒定电流时,电子在运动的过程中要不断的与原子晶
格点阵上的质子发生碰撞,把自身的能量传递给质子,使 晶格点阵的热运动加剧,导体温度上升,产生了热能。这 就是电流的热效应,这种由电能转换来的热能称为焦耳热。 所以虽然电场对电子做了功,但是电子的动能和势能并没

有增加,也就是说,电子在运动过程中产生了能量损耗。
并且,这种从电能到热能的转换是一种不可逆转的能量转 换。
4-22

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

焦耳定律的微分形式和微分形式
? 功率损耗——导电媒质中电场在单位时间内的功率损耗 (4.2.4) ? 焦耳定律的微分形式——功率损耗密度 (4.2.5) ? 总的功率损耗 (4.2.6) ? 焦耳定律的积分形式

4-23

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第4章恒定电场与恒定磁场

欧姆定律的微分形式和微分形式
? 欧姆定律的微分形式

? 欧姆定律的积分形式

4-24

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

? 一小段电流均匀分布的导电媒质

(4.2.7)

? 电阻定律
4-25

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

2. 电容器的漏电导
? 漏电流——电容器中填充的介质材料具有一定的损耗时, 在导体之间存在的电流 ? 电容器的损耗可以用电流通过电阻或电导时所产生的热损 耗来等效。 ? 电容器的漏电导——导体之间的漏电流与电位差的比值的 大小,即

(4.2.8)
式中, 方向; 是导体的表面积, 的方向是导体表面的外法线

是导体之间的任意一条路径。

4-26

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.2.3

恒定电场的静电比拟法

? 导体内(源区除外)恒定电场基本方程以及边界条件与理 想介质内(源区除外)静电场的基本方程和边界条件 源外的恒定电场 场方程 结构方程 位函数方程 无源区的静电场

边界条件

4-27

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.2.3

恒定电场的静电比拟法

? 静电比拟法——由于导体内恒定电场的电场强度、电流密 度、电导率分别与电介质中静电场的电场强度、电位移、 介电常数是一一对应的,且电位又都满足拉普拉斯方程, 所以可以借助静电场的计算方法或者计算结果来得到导体 内恒定电场问题的解答。反之亦然。这一解题思路称为静 电比拟法。
恒定电场 静电场

? 只有无源区的静电场才能与恒定电场相比拟,并且还要有 类似的边界条件。
? 电容器的漏电导与电容也有类似的对应关系。
4-28

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.2.3

恒定电场的静电比拟法

? 常见简单电容器的电容和电导

? 同轴电容器的电容和电导是指单位长度的电容和电导。
4-29

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

? 例4.1.1 设在电导率为

的无限大均匀导电媒质中存在着 。若在此媒质中放入一

均匀恒定电流,其体电流密度为

个半径为
线与

,电导率为

的无限长直的导体柱,柱体的轴

的方向垂直。试求该导体柱内的电流密度 。

解:采用静电比拟法来求解这一恒定电场问题。 ? 相对应的静电场问题——在介电常数为 介质中放入一个半径为 、介电常数为 的无限大的理想 的无限长直的介

质柱。当外加的均匀静电场 试求介质柱内电场强度。

的方向与圆柱体的轴线垂直时,

3-30

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

? 该静电场问题与例3.6.3题是类似地,对比可得介质柱内电 场强度为

? 根据静电比拟关系可得导体柱内的电场强度

? 利用欧姆定律可知导体柱内的电流密度为

3-31

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.3 ? ?

恒定磁场基本方程与边界条件 4.3.1 恒定磁场的基本方程 4.3.2 恒定磁场的边界条件

?
?

恒定磁场中的理想导磁体
恒定磁场边值问题的求解

? 恒定磁场基本方程与边界条件可以直接从第2章的麦克斯韦 方程和边界条件得到,也可以对由比奥-沙伐尔定律给出的 体电流所产生的恒定磁场直接计算旋度和散度得到。
4-32

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.3.1

恒定磁场的基本方程

? 恒定磁场的积分方程 (4.3.1) (4.3.2) ? 上述两式分别是磁通连续性定律和安培环路定律。 ? 恒定磁场的微分方程 (4.3.3) (4.3.4) ? 恒定磁场的结构方程 (4.3.5)
4-33

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.3.1

恒定磁场的基本方程

? 恒定磁场与静电场的比较

? 方程 描述了恒定磁场的旋度特性。它表明,在空 间的任一点上,磁场强度的旋度等于该点的恒定电流密度, 即恒定磁场是一个有旋场。在静电场中,电场强度的旋度 处处为零,是一个无旋场。
? 方程 描述了恒定磁场的散度特性。它表明,在空间 的任一点上,磁感应强度的散度都等于零,即恒定磁场是 一个无源场。在静电场中,电位移的散度等于该点的体电 荷密度,是一个有源场。 ? 也就是说,在静电场中,电力线起于正电荷止于负电荷, 是一些有头有尾的曲线。在恒定磁场中,不存在作为“源” 的磁荷,磁力线是一些无头无尾的闭合曲线。
4-34

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.3.2

恒定磁场的边界条件

? 不同磁介质分界面上恒定磁场的边界条件的一般形式 (4.3.6) (4.3.7)

? 磁感应强度的法向分量永远是连续的,而磁场强度的切向 分量仅仅当界面上不存在面传导电流密度时才是连续的。

4-35

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.3.2

恒定磁场的边界条件

? 不存在恒定的面传导电流密度时的边界条件

(4.3.8) (4.3.9)

? 即使不存在面传导电流,磁场强度的法向分量和磁感应强 度的切向分量也是不连续的。

4-36

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.3.2

恒定磁场的边界条件

? 恒定磁场的折射定律——在分界面上,若磁导率发生突变,

则磁场的方向将发生突变。
? 当分界面上不存在面电流时,有 ——恒定磁场折射定律 (4.3.10)

4-37

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

恒定磁场中的理想导磁体
? 理想导磁体——磁导率为无限大的媒质。 ? 在理想导磁体中不可能存在磁场,就像在理想导电体中不 可能存在静电场一样。 ? 理想导磁体表面不存在磁场强度的切向分量。磁场永远垂 直于理想导磁体的表面,就像电场永远垂直于理想导电体 的表面一样。 ? 理想导磁面:处处与磁力线垂直的曲面(包括理想导磁体 的表面)。

? 在现实世界中,理想导磁体是不存在的。但是可以将磁导 率非常大的铁磁物质近似视为理想导磁体,就像将导电率 很大的金属材料近似视为理想导电体一样。
4-38

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

恒定磁场边值问题的求解
? 恒定磁场的求解与静电场一样,也可以分为分布型问题和 边值型问题。 ? 对于简单的分布型问题,只要直接利用比奥-沙伐尔定律就

可以求出无限大空间内各种电流分布所产生的恒定磁场。
? 对于恒定磁场的边值问题,就可以采用在求解静电场边值 问题所采用的各种分析方法来求解。例如,直接积分法、 分离变量法、镜像法以及数值计算等等。 ? 在分析恒定磁场时,也可以像静电场一样,通过引入位函

数(下一节介绍)使得求解过程变得更简单。
4-39

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

? 例4.3.1 如在理想导磁体平面上方放置一根与之平行的无 限长直导线,该导线与导磁平面的距离为 。设导线上流有 恒定电流 ,试求导磁平面上方的磁场强度。 解:类似静电场的镜像法,在 导磁平面下方的镜像位置上放

置一根与原线电流相平行的恒 定电流 ,用来取代导磁平面, 等效地计算导磁平面上方的磁 场。

3-40

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

? 可以证明,为确保恒定磁场边界条件得到满足,即在导 磁平面上总磁场的切向分量为零,镜像电流与原电流大 小相等、方向相同,即 (4.3.12) ? 导磁平面上方任意点的磁场强度为

? 可以验证在导磁平面上磁场的切向分量为零,即



3-41

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.4

矢量磁位和标量磁位

?

4.4.1

恒定磁场的矢量磁位

?

4.4.2

恒定磁场的标量磁位

4-42

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.4.1

恒定磁场的矢量磁位

? ? ?

1. 矢量磁位的定义 2. 矢量磁位的积分表示式 3. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程

4-43

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

1. 矢量磁位的定义
? 要在空间唯一地确定一个矢量场,必须同时知道这个矢量 场的旋度和散度。 矢量磁位的旋度 矢量磁位的散度 ? 矢量磁位的散度可以任意给定。 ? 要唯一地确定矢量磁位,还必须选定零位参考点。 ? 矢量磁位没有物理意义,仅仅是一个计算的辅助量。 ——库仑条件或库仑规范

4-44

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

2. 矢量磁位的积分表示式
? 由比奥-沙伐尔定律可得 (4.4.7) ? 与基本方程 比较,可得矢量磁位的积分表示式为

——待定常矢量。 ? 当产生磁场的源分布在有限的区域内时,可以取无穷远处

为零位参考点。这样一来,就有



? 不同的零位参考点,矢量磁位不同,但是磁场是唯一的。
4-45

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

2. 矢量磁位的积分表示式
? 有限的区域内不同电流分布的矢量磁位( ) (4.4.8) (4.4.16) (4.4.17) ? 矢量磁位和电流是同方向的。

? 上式的推导还不够完整,我们还必须证明


4-46

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

? 两个例子: (1)磁偶极子 磁偶极距矢量 对于场点 的磁场

4-47

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

(2)无限长直线电流
对于 平面上的场点

的磁场

4-48

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

若取零矢量磁位的参考点距细导线为

,则可得到

由此可得

可以看到,只有矢量磁位与参考点的位置有关,磁场强度和 磁感应强度的大小与参考点的位置是无关的。
4-49

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

3. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程
?将 和 代入矢量恒等式

可以得到
? 线性各向同性的媒质



4-50

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

3. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程
? 线性各向同性的均匀媒质 ——矢量磁位的泊松方程

? 线性各向同性的均匀媒质的无源区

——矢量磁位的拉普拉斯方程

4-51

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

3. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程
? 在直角坐标系中的泊松方程和拉普拉斯方程

4-52

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

3. 矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程
? 利用矢量磁位求解恒定磁场的几点说明: ? 矢量磁位的求解也可以分为分布型问题和边值型问题。 ? 对于简单的分布型问题,直接利用矢量磁位的积分表示式 可以求出无限大空间内各种电流分布所产生的矢量磁位, 然后对矢量磁位求旋度就可以求出恒定磁场的分布。 ? 对于边值问题,可以采用直接积分法、分离变量法以及数 值方法对矢量磁位所满足的微分方程进行求解,得到包括 待定常数的一般解。 ? 待定常数的确定同样也需要用到边界条件。不过,一般情 况下,并不是直接利用矢量磁位的边界条件,而是根据磁 场强度和磁感应强度的边界条件来确定有用的待定常数。
4-53

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

?例4.4.1 已知一空间电流分布,其体电流密度用圆柱坐标 给出为

试通过矢量磁位求算空间任一点的磁感应强度。 解:空间分为有源区 和无源区 两部分,其矢量

磁位分别满足矢量泊松方程和拉普拉斯方程,即

3-54

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

由对称性可知,矢量磁位仅存在 也即

分量且亦仅与

坐标有关,

在圆柱坐标系下, 方程分别为



所满足的泊松方程和拉普拉斯

3-55

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

将上述两常微分方程的两边对

直接积分,得

或写为

式中,



为待定常数。

3-56

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

在有源区域内,磁感应强度为



的地方,

不可能成为无限大,则必有

,即

在无源区域内,磁感应强度为

3-57

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

依恒定磁场边界条件,在有源区与无源区的分界面上,磁场

强度的切向分量应当连续,即

解的

由此可得无源区域内磁感应强度为

3-58

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.4.2 ?

恒定磁场的标量磁位

1. 标量磁位的定义和标量磁位差

?

2. 标量磁位的拉普拉斯方程和边界条件

? 只有在不存在传导电流的无源区域内,恒定磁场的旋度等 于零,才可以定义标量磁位。

4-59

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

1.

标量磁位的定义和标量磁位差

? 标量磁位的定义

(4.4.27)

? 标量磁位 ?

只是一个计算的辅助量,单位是安培 对应的是等磁位面。



? 磁场的方向垂直于等磁位面,指向标量磁位减小的方向。

4-60

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

1.

标量磁位的定义和标量磁位差

? 标量磁位差——恒定磁场中两点之间的标量磁位差定义为 磁场强度在两点之间的线积分,即

? 与静电场的电位差不同,标量磁位差是一个多值函数。 ? 磁位差不仅与两点的位置有关,还与积分路径有关。

4-61

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

1.

标量磁位的定义和标量磁位差

? 标量磁位——场中任一点与零标量磁位参考点之间的磁位差

(4.4.30)
? 标量磁位亦为多值函数。 ? 标量磁位对应的恒定磁场总是一样的。

? 标量磁位没有积分表示式。不能直接用电流分布来表示。
? 标量磁位只有拉普拉斯方程。

4-62

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

2. 标量磁位的拉普拉斯方程和边界条件
? 标量磁位的拉普拉斯方程 线性各向同性的均匀媒质的无源区

(4.4.31)

4-63

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

2. 标量磁位的拉普拉斯方程和边界条件
? 标量磁位的边界条件 若在两种不同磁介质的分界面上不存在传导电流,则用标 量磁位的边界条件和静电场中的电位边界条件类似,即

(4.4.32)
(4.4.33) 式中, 为标量磁位沿正法线方向的方向导数。界面的

正法线方向规定为由第2介质指向第1介质。

4-64

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

? 例4.4.2 设有一根横截面呈圆环形状长直的均匀金属管, 其内外半径分别为 和 ,导体中流有轴向的恒定电流 。 当选定 处为零标量磁位的参考点时,试求空间各处的 标量磁位。 解:如图4.4.2所示,因为电流为 方 向,所以磁力线必为一系列环绕 轴 的同心圆,而等标量磁位面为一系列 以 为边界的半无限大平面。它表明

3-65

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

标量磁位拉普拉斯方程可简化成为 (4.4.34) 若设导体管内外的标量磁位分别为 和 ,则可以得到

它们的通解为

因为设定 即有

处为零标量磁位参考点,可以得出



3-66

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法



时,其标量磁位应为

由此可得

于是有

3-67

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

根据标量磁位可计算得出无源空间区域内的磁场强度为

(4.4.39)

? 可以证明,这一计算结果与利用安培环路定律计算得出的 结果是一致的。

? 在导体区域内

,由于存在着传导电流,因而不能

计算这一区域内的标量磁位。

3-68

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.5

恒定磁场的能量和载流回路的电感

?

4.5.1

恒定磁场的能量和能量密度

?

4.5.2

载流回路的电感

4-69

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.5.1

恒定磁场的能量和能量密度

? 磁场和电场一样具有能量,因为磁场能够推动运动电荷或 载流导体做功。
? 磁场的能量是在建立磁场时,由外力或外加的电源做功转 变而来的。 ? 讨论磁场能量时,要涉及到法拉第电磁感应定律,过程较 为复杂。可以类比于静电场,直接得到恒定磁场的能量和 能量密度。 ? 磁场储能和能量密度的单位分别与电场储能和电场能量密 度的单位一样,为焦耳和焦耳每立方米。

? 磁场存在于导体回路的外部,也存在于导体回路的内部。 所以,磁场能量也将分布在载流回路的内部和外部。
4-70

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.5.1

恒定磁场的能量和能量密度

? 静电场的储能和能量密度 能量密度 电场储能

? 恒定磁场的储能和能量密度 能量密度 磁场储能 (4.5.1) (4.5.3)

4-71

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

4.5.2

载流回路的电感

?

载流回路的电感的基本概念

?
? ? ?

单一载流回路的自感
两个相邻的载流回路互感 诺伊曼公式 自感的计算

4-72

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

载流回路的电感的基本概念
? 电容——导体系统储存电场能量的能力。

? 电感——导体载流回路储存磁场的能力。

4-73

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

单一载流回路的自感
? 单一载流回路的自感 ——该磁场的磁力线穿过回路 所

包围的面积

所交链的磁通

与电流

比值
(4.5.4)

? 曲面的正法线方向与回路的环绕方向符合右手螺旋关系。 ? 自感仅与回路的形状以及周围磁介质有关,与电流的大小 无关。 ? 如果回路是有 是 ,则有 匝的线圈,并且通过每一匝的磁通量都

(4.5.5)
4-74

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

两个相邻的载流回路互感

? 互感 ——回路 中的电流 产生的磁场穿过回路 围的面积 所交链的磁通 与电流 的比值



(4.5.6)

4-75

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

两个相邻的载流回路互感

? 互感 ——回路 中的电流 产生的磁场穿过回路 围的面积 所交链的磁通 与电流 的比值



(4.5.7)

4-76

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

计算互感的诺伊曼公式
? 利用矢量磁位计算回路所交链的磁通

4-77

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

计算互感的诺伊曼公式
? 诺伊曼公式 (4.5.10) (4.5.11) ? 符合实验结果

? 互感只与两个回路的形状、相对位置以及周围的磁介质有 关,而与两个回路中的电流无关。

4-78

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

自感的计算
? 利用诺伊曼公式计算自感

(4.5.12) ? 以上自感只是考虑了导线外部磁链,故又称为外自感 。

? 当导线具有一定截面时,导线内部同样存在磁链,而由这 部分磁链与电流之间的比值定义的自感就称为内自感 。 ? 两者之和即为总自感,即
4-79

《电磁场与电磁波理论》

第4章恒定电场与恒定磁场

自感的计算
? 利用磁场储能计算电感 ? 磁场储能与电感的关系式为

(4.5.14) ? 只要求出了磁场的储能,利用上式就可以计算出载流回路

的电感。
4-80

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

? 例题4.5.1 试求无限长同轴线的单位长度电感。已知同轴 线的内导体的半径为 ,外导体的半径为 ,外导体的厚 度忽略不计。 解:设同轴线通过的电流为 。应用安培环路定律,求得同 轴线中的磁感应强度为

同轴线单位长度内导体中所储存的磁场能量为

4-81

《电磁场与电磁波理论》

第3章静电场及其边值问题的解法

在内外导体之间的区域,同轴线每单位长度所储存的磁场能 量为

由此可得同轴线单位长度的总电感为

?



分别是同轴线的内电感和外电感。

? 如果外导体的厚度不能忽略,那么还必须考虑外导体中的 储能及其对应的电感。
4-82


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