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奥林匹克及自主招生辅导材料第二集(强烈推荐)第十五讲:放缩法


第十五讲 放缩法 所谓放缩法,要证明不等式 A<B 成立,有时可以将它的一边放大或缩小,寻找一 个中间量,如将 A 放大成 C ,即 A<C ,后证 C<B ,这种证法便称为放缩法。其主要的 理论依据是主要理论依据 ( 1 )不等式的传递性; ( 2 )等量加不等量为不等量; ( 3 )同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较。 放缩法是贯穿证明不等式始终的

指导变形方向的一种思考方法 。 放缩法是不等 式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法。在证明过程中,适当地进行放缩,可 以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握,常常出现放缩之后 得不出结论或得出相反结论的现象。因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要。要 想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点。在使用放缩法应注意以下 事项: ( 1 )放缩的方向要一致。 ( 2 )放与缩要适度 ( 3 )用放缩法证明极其简单,然而,用放缩法证不等式,技巧性极强,稍有不慎, 则会出现放缩失当的现象。 利用放缩法证明不等式时,常用的技巧主要有以下几种: 一.添加或舍弃一些正项(或负项) 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。 例 1.已知 an ? 2 ? 1(n ? N ). 求证: n * a n 1 a1 a2 ? ? ? ? ... ? n (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, 证明: ? k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2 ? a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , 2 2 3 2 2 3 a2 a3 an ?1 2 3 2 2 a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). an ?1 2 2 3 a2 a3 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值 142 变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利 用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了 2 ? 2 ,从而是使和式得到化 k 简. 探究1: 已知 a、b、c 不全为零,求证: a2 ? ab ? b2 ? b2 ? bc ? c2 ? c2 ? ac ? a2 > 3 (a ? b ? c) 2 二.分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。 例2. 已知 a、b、c 为三角形的三边,求证: 1< a + b + c <2 。 b?c a?c a ?b 证明:由于 a、b、c 为正数,所以 b a > a b > , , b?c a ?b?c a ?c a ?b?c a + b + c > c > c c a b + + =1 , ,所以 b?c a?c a +b +c a+b+c a +b +c a ?b a ?b a ?b?c 又 a , b , c 为三角形的边,故 b+c > a ,则 a 为真分数,则 a < 2a ,同理 b?c b?c a ?b?c

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