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选修2-3《1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》评估训练


第一章 1.1

计数原理

分类加法计数原理与 分步乘法计数原理

1.从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持本班的某次主题班会, 则不同的选法种数为( A.6 解析 B .5 ). C.3 D.2

“完成这件事”即选出一人作主持人,可分选女主持人和

男主持人两类进行,分别有 3 种选法和 2 种选法,所以共有 3+2=5 种不同的选法. 答案 B

2.已知集合 A ?{1,2,3},且 A 中至少有一个奇数,则这样的集合 有 ( A.2 个 解析 ). B.3 个 C.4 个 D.5 个

满足题意的集合 A 可以是{1},{3},{1,2},{1,3},{2,

3}共有 5 个,故选 D. 答案 D

3.5 名同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中一个小 组,则不同的报名方法共有( A.10 种 解析 B.20 种 ). C.25 种 D.32 种

5 名同学依次报名,每人均有 2 种不同的选择,所以共有

2×2×2×2×2=32 种报名方法.
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答案

D

4. 如图所示为一电路图,从 A 到 B 共有________ 条不同的线路可通电. 解析 ∵按上、中、下三条线路可分为三类:

上线路中有 3 条;中线路中有 1 条;下线路中有 2×2=4(条).根据 分类加法计数原理,共有 3+1+4=8(种). 答案 8

5.在 2012 年奥运选手选拔赛上,8 名男运动员参加 100 米决赛.其 中甲、乙、丙三人必须在 1、2、3、4、5、6、7、8 八条跑道的 奇数号跑道上,则安排这 8 名运动员比赛的方式共有_____种. 解析 分两步安排这 8 名运动员.

第一步:安排甲、乙、丙三人,共有 1、3、5、7 四条跑道可安排, 所以安排方式有 4×3×2=24(种). 第二步:安排另外 5 人,可在 2、4、6、8 及余下的一条奇数号跑 道安排,所以安排方式有 5×4×3×2×1=120(种). ∴安排这 8 人的方式有 24×120=2 880(种). 答案 2 880

6.某校高三共有三个班,其各班人数如下表: 班级 高三(1) 高三(2) 高三(3) 男生数 30 30 35
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女生数 20 30 20

总数 50 60 55

(1)从三个班中选一名学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从 1 班、2 班男生中或从 3 班女生中选一名学生任学生会生活 部部长,有多少种不同的选法? 解 (1)从三个班中任选一名学生,可分三类:

第一类:从 1 班任选一名学生,有 50 种不同选法; 第二类:从 2 班任选一名学生,有 60 种不同选法; 第三类;从 3 班任选一名学生,有 55 种不同选法. 由分类加法计数原理知,不同的选法共有 N=50+60+55=165 种. (2)由题设知共有三类: 第一类:从 1 班男生中任选一名学生,有 30 种不同选法; 第二类:从 2 班男生中任选一名学生,有 30 种不同选法; 第三类:从 3 班女生中任选一名学生,有 20 种不同选法; 由分类加法计数原理知, 不同的选法共有 N=30+30+20=80 种. 7.设 P,Q 是两个非空集合,定义 P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},若 P={0,1,2},Q={1,2,3,4},则 P*Q 中元素的个数是( A.4 解析 B.7 C.12 D.16 ).

a 有 3 种取法, b 有 4 种取法, 由分步乘法计数原理有 3×4

=12(种)不同取法,生成 12 个不同元素. 答案 C

8.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其 中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分
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配方案有 A.16 种 解析

(

). C.37 种 D.48 种

B.18 种

自由选择去四个工厂有 43 种方法,甲工厂不去,自由选择

去乙、丙、丁三个工厂有 33 种方法,故不同的分配方案有 43-33= 37(种). 答案 C

9.把 9 个相同的小球放入编号为 1,2,3 的三个箱子里,要求每个 箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有 ________种. 解析 第一个箱子放入 1 个小球则共有 4 种情况,第一个箱子放

入 2 个小球则共有 3 种情况, 第一个箱子放入 3 个小球则共有 2 种情 况,第一个箱子放入 4 个小球则共有 1 种情况,据分类加法计数原理 共有 10 种情况. 答案 10

10.如图所示,用不同的五种颜色分别为 A、B、 C、D、E 五部分着色,相邻部分不能用同 一种颜色,但同一种颜色可以反复使用,也 可不使用,则符合这些要求的不同着色的方法有________种. 解析 按照分步乘法计数原理,先为 A 着色共有 5 种,再为 B 着

色有 4 种(不能与 A 相同),接着为 C 着色有 3 种(不与 A,B 相同), 同理依次为 D、E 着色各有 3 种.所以种数为:N=5×4×33=540. 答案 540
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11.一个袋子里装有 10 张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装 有 12 张不同的中国联通手机卡. (1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡,共有多少种 不同的取法? (2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡,供自己今后选 择使用,问一共有多少种不同的取法? 解 (1)任取一张手机卡, 可以从 10 张不同的中国移动卡中任取一

张,或从 12 张不同的中国联通卡中任取一张,每一类办法都能完 成这件事,故应用分类加法计数原理知,有 10+12=22(种)取法. (2)从移动、联通卡中各取一张,则要分两步完成:从移动卡中任 取一张,再从联通卡中任取一张,故应用分步乘法计数原理知, 有 10×12=120(种)取法. 12.设有 5 幅不同的国画,2 幅不同的油画,7 幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间,有几种不 同的选法? (3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间,有几种不同的 选法? 解 (1)利用分类加法计数原理:5+2+7=14 种不同的选法;

(2)国画有 5 种不同选法,油画有 2 种不同的选法,水彩画有 7 种 不同的选法,利用分步乘法计数原理得到 5×2×7=70 种不同的 选法;
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(3)三类分别为选国画与油画,油画与水彩画、国画与水彩画,再 利用分类加法计数原理和利用分步乘法计数原理知共有 5×2+ 2×7+5×7=59 种不同的选法.

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