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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第1届)无答案


国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 1 届) 1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n 都是最简分数. 2. 设 ( x ? (2 x ? 1)) ? ( x ? (2 x ? 1)) ? A , 试在以下 3 种情况下分别求出 x 的实数解: (a) A= 2 ;(b)A=1;(c)A=2. 3. a、b、c 都是实数,已知 cos x 的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程,使它的根与原来的方程一样.当 a=4, b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式. 4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c,斜边上的中线是两直角边的几何平均值. 5. 在线段 AB 上任意选取一点 M,在 AB 的同一侧分别以 AM、MB 为底作正方形 AMCD、 MBEF, 这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P、 Q, 设这两个外接圆又交于 M、 N. (a.) 求证 AF、BC 相交于 N 点; (b.) 求证:不论点 M 如何选取 直线 MN 都通过一定点 S; (c.) 当 M 在 A 与 B 之间变动时,求线断 PQ 的中点的轨迹. 6. 两个平面 P、Q 交于一线 p,A 为 p 上给定一点, C 为 Q 上给定一点,并且这两点 都不在直线 p 上.试作一等腰梯形 ABCD(AB 平行于 CD) ,使得它有一个内切圆,并 且顶点 B、D 分别落在平面 P 和 Q 上. 1

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