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1.2.1任意角的三角函数


任意角的三角函数
基础归纳:
1、设 α 是一个任意角,它的始边与 x 轴的非负半轴重合,顶点在原点,终边与单位圆的交 点为 P(x,y). (1)y 叫做 α 的正弦,记作 sinα,即 sin_α=y; (2)x 叫做 α 的余弦,记作 cosα,即 cosα=x; y y (3) 叫做 α 的正切,记作 tanα,即 tanα= (x≠0). x x 2

、三角函数的值在各象限的符号如图所示.

3、已知角 α 的终边位置,角 α 的三条三角函数线如图所示.sin α=MP,cos α=OM,tan α =AT.

4、熟记各特殊角的三个三角函数值 0° 30° 45° 角度 α π π 0 弧度 α 6 4 1 2 sin α 0 2 2 3 2 cos α 1 2 2 3 tan α 0 1 3

60° π 3 3 2 1 2 3

90° π 2 1 0 不存在

180° π 0 -1 0

270° 3π 2 -1 0 不存在

360° 2π 0 1 0

知识点一

对三角函数定义的理解
r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0)

三角函数定义:在直角坐标系中,设α 是一个任意角,α 终边上任意一点 P (除了原 点)的坐标为 ( x, y ) ,它与原点的距离为 ,那么

y y sin ? ? r; 1、比值 r 叫做α 的正弦,记作 sin ? ,即
x x cos ? ? r; 2、比值 r 叫做α 的余弦,记作 cos? ,即

y y tan ? ? x; 3、比值 x 叫做α 的正切,记作 tan ? ,即
所以正弦、余弦、正切、是以角为自变量,一比值为函数值的函数,以上三种函数 统称为三角函数。 注意:
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的非负半轴重合.?

(2) α 是任意角,射线 OP 是角 α 的终边,α 的各三角函数值(或是否有意义)与 ox 转了几圈,按什么 (3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样. 方向旋转到 OP 的位置无关.

例 1.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的三个函数制值。

例 2.求下列各角的三个三角函数值: (1) 0 ; (2) ? ;

3? (3) 2 .

例 3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的三个三角函数值。

知识点二

三角函数值在各象限内的符号

由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

y ①正弦值 r 对于第一、 二象限为正 ( y ? 0, r ? 0 ) , 对于第三、 四象限为负 ( y ? 0, r ? 0 ) ; x ②余弦值 r 对于第一、 四象限为正 ( x ? 0, r ? 0 ) , 对于第二、 三象限为负 ( x ? 0, r ? 0 ) ; y x , y 同号) x , y 异号) ③正切值 x 对于第一、三象限为正( ,对于第二、四象限为负( .
说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。

sin ?
为正 全正

正弦 、余割
y

余弦 、正割 正切 、余切
y y

tan ?
为正

cos ?
为正

+ o -

+ x

o

+ + x

+ o x +

知识点三

三角函数线
x 2 ? y 2 ? 1 时,有三角函数正弦、余弦、正切

当角的终边上一点 P( x, y ) 的坐标满足 值的几何表示——三角函数线。

1.单位圆:圆心在原点 O ,半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 3.三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O , 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交与 P ( x, y ) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反

向延长线交与点 T .

y

y A
T
P

P
M

T
M

o
(Ⅰ)

x

o
(Ⅱ)

A

x

y

T

y
A

M

o

x

o

MA

x
(Ⅳ)

P
由四个图看出:

(Ⅲ)

P T

当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ? tan ? ?

y y ? ? y ? MP , r 1 y MP AT ? ? ? AT . x OM OA

cos ? ?

x x ? ? x ? OM , r 1

我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明:
①三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦线在 x 轴上;正切 线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外。 ②三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向 垂足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点 ③三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或

y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向的为负值。

④三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。

4.三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值, 三角函 数线的长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负,具体地说,正弦线、正 切线的方向同纵坐标轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同横坐标轴一致,向右为 正,向左为负,三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了,使得问题更形象直观,为 从几何途径解决问题提供了方便. 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1)

5? ? 2? ; (2) ; (3) ? ; 6 3 3

(4) ?

13? . 6

例 2.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 1、 sin

2? 4? 与 sin 3 5

2、tan

2? 4? 与 tan 3 5

例 3.利用单位圆寻找适合下列条件的 0?到 360?的角 1? sin?≥

1 2

2? tan? ?

3 3

例 4.利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围。 (1) sin x ? ? (3) | cos x |?

1 ; 2 1 ; 2

(2) cos x ? (4) sin x ?

1 ; 2
1 且 tan x ? ?1 . 2

巩固练习: 一、选择题 1.以下四个命题中,正确的是( ) A.在定义域内,只有终边相同的角的三角函数值才相等 B. {?|?=k?+

?
6

,k∈Z}≠{?|?=-k?+

?
6

,k∈Z}

C.若?是第二象限的角,则 sin2?<0 D.第四象限的角可表示为{?|2k?+

3 ?<?<2k?,k∈Z} 2
D.sin??cot?>0

2.若角?的终边过点(-3,-2),则( ) A.sin??tan?>0 B.cos??tan?>0 C.sin??cos?>0 3.角?的终边上有一点 P(a,a),a∈R,且 a≠0,则 sin?的值是( ) A.

2 2

B.-

2 2

C.±

2 2

D.1

2 5 4.α 是第二象限角,其终边上一点 P(x, ) ,且 cosα= 4 x,则 sinα 的值为( 10 6 2 10 A. 4 B. 4 C. 4 D.- 4 5.使 lg(cosθ·tanθ)有意义的角 θ 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第二象限角 D.第一、二象限角或终边在 y 轴上



? ? ? 6.设角 α 是第二象限角,且|cos 2 |=-cos 2 ,则角 2 是(
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 二、填空题 1.已知角?的终边落在直线 y=3x 上,则 sin?=________. 2.已知 P(- 3 ,y)为角?的终边上一点,且 sin?=

) D.第四象限角

13 ,那么 y 的值等于________. 13

3.已知锐角?终边上一点 P(1, 3 ),则?的弧度数为________. 4. (1)sin

9? 7? tan _________ 4 3

三、解答题 1.已知角?的终边过 P(-3?,4),求?的三种三角函数值

2.已知角?的终边经过点 P(x,- 3 )(x>0).且 cos?=

x ,求 sin?、cos?、tan?的值. 2

答案: 一,1.c 2.c 3.A 4.A 5。C 6.C 二. 1. ?

1 ? 3 10 6 2. 3. 4. 2 3 10 2 4 3 4 cos a ? ? , tan a ? ? 5 5 3
2. sin ? ? ?

三,1. sin a ?

3 1 , cos ? ? , tan ? ? ? 3 2 2

任意角的三角函数
【例 1】 已知角 α 的终边经过点 P(-4a,3a)(a≠0),求 sin α、cos α、tan α 的值. 思路点拨:先求出点 P 到原点的距离,再利用任意角三角函数的定义,求 sin α,cos α, tan α 的值. 解:r= ?-4a? 2 +? 3a? 2 =5|a|. 若 a>0,则 r=5a,角 α 在第二象限, y 3a 3 x -4a 4 y 3a 3 sin α= = = ,cos α= = =- ,tan α= = =- . r 5a 5 r 5a 5 x -4a 4 3 4 3 若 a<0,则 r=-5a,角 α 在第四象限,sin α=- ,cos α= ,tan α=- . 5 5 4 4 变式训练:角 α 的终边过点 P(-8m,-6cos 60° )且 cos α=- ,则 m 的值是( ) 5 1 1 3 3 (A) (B)- (C)- (D) 2 2 2 2 -8m 4 1 解析:P(-8m,-3),cos α= =- .∴m= . 故选 A. 5 2 64m2+9 【例 2】 判定下列各式的符号: (1)tan 191° -cos 191° ;(2)sin 2cos 3tan 4. 解:(1)∵191° 是第三象限角,∴tan 191° >0,cos 191° <0,∴tan 191° -cos 191° >0. π π 3π (2)∵ <2<π, <3<π,π<4< ,∴2 是第二象限角,3 是第二象限角, 2 2 2 4 是第三象限角.∴sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0.∴sin 2cos 3tan 4<0. 变式训练:若 sin 2α>0,且 cos α<0,试确定 α 的终边所在象限. π 解:∵sin 2α>0,∴2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z),∴kπ<α< +kπ(k∈Z). 2 π 当 k 为偶数,设 k=2m(m∈Z)有:2mπ<α<2mπ+ (m∈Z); 2 3π 当 k 为奇数,设 k=2m+1(m∈Z)有:2mπ+π<α<2mπ+ (m∈Z). 2 ∴α 为第一或第三象限角.又∵cos α<0,∴α 的终边在第三象限 【例 3】 求下列各式的值

(1)a2sin(-1350° )+b2tan 405° -(a-b)2tan 765° -2abcos(-1080° ); 11π 12 (2)sin(- )+cos π·tan 4π. 6 5 解: (1) 原式= a2sin( - 4× 360° + 90° ) + b2tan(360° + 45° ) - (a - b)2tan(2× 360° + 45° )- 2abcos(-3× 360° )=a2sin 90° +b2tan 45° -(a-b)2tan 45° -2abcos 0° π 12 π 1 =a2+b2-(a-b)2-2ab=0. (2)原式=sin(-2π+ )+cos π·tan 0=sin = . 6 5 6 2 变式训练:求值: 23 17 (1)sin(-1320° )cos 1110° +cos(-1020° )· sin 750° +tan 495° ; (2)cos(- π)+tan π; 3 4 sin? α -2π? ·cos? 2π +α? 1 π (3)已知 tan α= ,且 0<α< ,求 的值. 3 2 tan? α -4π? 解:(1)原式=sin(-4× 360° +120° )cos(3× 360° +30° ) +cos(-3× 360° +60° )sin(2× 360° + 3 3 1 1 30° )+tan(360° +135° )=sin 120° cos 30° +cos 60° sin 30° +tan 135° = × + × -1=0. 2 2 2 2 π π π π 1 3 (2)原式=cos[ +(-4)×2π]+tan( +2×2π)=cos +tan = +1= . 3 4 3 4 2 2 1 (3)由 tan α= 可设 α 的终边上一点为(3x,x),x>0, 3 x 10 3x 3 10 ∴sin α= = ,cos α= = , 10 10x2 10 10x2 10 3 10 × 10 sin? α -2π? ·cos? 2π +α? sin α·cos α 10 9 ∴ = = = . tan α 1 10 tan? α -4π? 3 【例 4】 求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1;(2)y=lg(3-4sin2 x) 1 π π 解:(1)如图(1).∵2cos x-1≥0,∴cos x≥ .∴函数定义域为[- +2kπ, +2kπ](k∈Z). 2 3 3

3 3 3 (2)如图(2).∵3-4sin2x>0,∴sin2x< , ∴- <sin x< . 4 2 2 π π 2π 4π π π ∴函数定义域为(- +2kπ, +2kπ)∪( +2kπ, +2kπ)(k∈Z), 即(- +kπ, +kπ)(k 3 3 3 3 3 3 ∈Z). 【例 5】 求函数 y= cos x· tan x的定义域. cos x≥0, ? ?tan x≥0, 解:要使函数有意义,需? π ? ?x≠2+kπ, cos x≤0, ? ?tan x≤0, 或? π ? ?x≠2+kπ,

π π ? x∈[2kπ, +2kπ)∪( +2kπ,π+2kπ],k∈Z 2 2


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