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21.两条直线的交点与直线系


两直线A1 x ? B1 y ? C1 ? 0( A1 , B1不同时为0) 和A2 x ? B2 y ? C2 ? 0( A2 , B2不同时为0) 平行的条件: 垂直的条件:

3.3.1两条直线的
交点坐标

1 .两条直线的交点坐标
思考: 几何元素及关系 代数表示 A(a,b) l:Ax+By+C=0 Aa+Bb+C=0 点A的坐标是方程组 A1 x? B1 y ?C1?0 A2 x? B 2 y ?C 2?0 的解

点A
直线l 点A在直线l上

直线l1与l2的交点是A

?

结论1:求两直线交点坐标方法-------联立方程组

2. 二元一次方程组的解与两条直线的位置关系

?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? ? A1x ? B1 y ?C1?0? ? ? ?l1 , l2重合 无穷多解 ? ? A2 x ? B2 y ?C 2?0 ? ?l , l ? ? 无解 ? 1 2平行

例1:求下列两条直线的交点: l1:3x+4y-2=0;l2:2x+y+2=0.
解:解方程组

M -2

y 2

3x+4y-2 =0 2x+y+2 = 0



x= -2 y=2

0
l1 l2

x

∴l1与l2的交点是M(- 2,2)

例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
x= 2 x-2y+2=0 得 y=2 解:解方程组 2x-y-2=0 ∴l1与l2的交点是(2,2) 设经过原点的直线方程为 y=k x 把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为 x-y=0

练习1:下列各对直线是否相交,如果相交,求出交点的

坐标,否则试着说明两线的位置关系: ? (1)l1:x-y=0, l2:x+3y-10=0; ? (2)l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0; ? (3)l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;
解:(1)x=5/2,y=5/2,两直线有交点(5/2,5/2) (2)方程组无解,两直线无交点。 l1‖l2

(3)两方程可化成同一个方程,两直线有无数个交点。 l1与l2重合

当?变化时, 方程 3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0 表示什么图形 ?图形有何特点 ?
?=0时,方程为3x+4y-2=0 =1时,方程为5x+5y=0 =-1时,方程为x+3y-4=0
y l1 l3 l2
?

x 由此可以看出,当 ? 取不同值时,各直线经过了同一点。

0

?

发现:此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线束(直线集合)

3.共点直线系方程:
A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0是过直线A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。 回顾例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 方程:l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0. 解:设直线方程为x-2y+2+λ(2x-y-2)=0, 因为直线过原点(0,0),将其代入上式可得: λ=1 将λ=1 代入 x-2y+2+λ(2x-y-2)=0得: 3x-3y=0即x-y=0为所求直线方程。

练习2:求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点, 且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程。
解法一:解方程组

x=3 x+2y-1=0, 得 y= -1 2x-y-7=0 ∴这两条直线的交点坐标为(3,-1)

又∵直线x+2y-5=0的斜率是-1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3(x-3)即 3x-y-10=0
解法二:所求直线在直线系2x-y-7+λ(x+2y-1)=0中 经整理,可得(2+λ)x+(2λ-1)y-λ-7=0 2+λ ∴ - ———— =3 解得 λ= 1/7 2λ-1 因此,所求直线方程为3x-y-10=0

巩固训练:
1.两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0的交 点 在第四象限,则k的取值范围是
2.已知不论m取何实数值, 直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过一定点, 则这点的坐标为

3.若直线x-y+1=0和x-ky = 0相交,且交点在 第二象 限,则k的取值范围是 (A)(-∞,0) (B)(0,1] (C)(0,1) (D)(1,+∞)

两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? y y
P1 P2 P2 P1

o

x

o

x

|P 1P 2 |?| x2 ? x1 |

|P 1P 2 |?| y2 ? y1 |

两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? Q (x2,y1) y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)

|P ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1P 2 |?
2

o

x

2

特别地, 原点O与任一点P( x, y )的距离 : | OP |? x ? y
2 2


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