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2015届高三第五次月考数学试卷(理科)


2015 届高三第五次月考数学试卷(理科)
一、选择题 1.若复数 z 满足 (1 ? 2i ) z ? 3 ? i ,则复数 z 的虚部为( A. ) D.

7 i 5

B. ?

7 i 3

2.设全集 U=R,若集合 M= y y ? 2 ( ) A. (-3,2)

?

C. ?
2 x ? x 2 ?3

7 3

?

7 5

? ? ,N= ? x y ? lg x ? 3 ? ,则 (CU M ) ? N = 2 ? x? ?
)D. (-3,0) )

B. (-3,1)

C. (-∞,1)∪ (4,+∞)

3.由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( 10 16 A. B.4 C. D.6 3 3 4. 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ) B.48 D.80 A.48+8 17 C.32+8 17

5. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x (a、 b 为常数, a ? 0, x ? R ) 在x?

?
4

处取得最小值,则函数 y ? f (

3? , 0) 对称 2 B. 奇函数且它的图象关于点 (? , 0) 对称 C. 偶函数且它的图象关于点 (? , 0) 对称 3? D. 偶函数且它的图象关于点 ( , 0) 对称 2
A. 奇函数且它的图象关于点 ( 6.下列命题中是假命题 的是( ...
2

3? ? x) 是( 4




m ? 4 m ?3

A. ?m ? R, 使f ( x) ? (m ? 1) ? x 是幂函数,且在 (0, ??) 上递减 B. ??? R, 使得函数 f ( x) ? sin(2 x ? ?) 是偶函数; C. ??, ? ? R, 使得 cos(? ? ?) ? cos ? ? cos ? ; D. ?a,b ? R , lg(a ? b) ? lg a ? lg b ; 7. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f (? x) , 当 x ? (0, ] 时,f ( x) ? log 1 (1 ? x) ,
2

?

1 2

3 则 f ( x) 在区间 (1, ) 内是( 2 A.减函数且 f ( x) ? 0 C.增函数且 f ( x) ? 0
8. 已知函数 f ( x) ? x ? 4 ?

) B.减函数且 f ( x) ? 0 D.增函数且 f ( x) ? 0

9 , x ? (0, 4), 当 x ? a 时, f ( x) 取得最小值 b ,则在直角坐 x ?1


标系中函数 g ( x) ? ( )| x ?b| 的图像为(

1 a

9.如右图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1D1 中,点 E , F 分别是棱 BC , CC1 的中点, P 是侧面 BCC1 B1 内一点,若 A1 P / / 平面 AEF , 则线段 A1 P 长度的取值范围是( )

3 2 5 D. [ 2, 3] , ] 4 2 10.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R 的单调函数,且对任意的
A. [1, B. [ C. [ 实数 x、y,等式 f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) 恒成立,若数列 ?an ? 满足 a1 ? f (0) ,且 f (an ?1 ) ?

5 ] 2

5 , 2] 2

1 (n ? N * ) ,则 a2011 的值为( f ( ?2 ? a n )

)

A.4017 B.4018 C.4019 D.4021 11. ΔABC 中,?BAC ? 120 , AB=2, AC=1, D 是边 BC 上的一点 (包括端点) , 则 的取值范围是( ) A. [1,2] B.[0,1] C. [﹣5,2] D. [0,2] 12.已知函数 f ? x ? ?

?

1 2 x ? 2ax, g ? x ? ? 3a 2 ln x ? b 设两曲线 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 有公共 2 点,且在该点处的切线相同,则 a ? (0, ??) 时,实数 b 的最大值是( )
A.

3 2 e3 2

B.

13 6 e 6

C. e 6

1 6

D.

7 2 e3 2

二.填空题 13 、在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c , S 表示 ?ABC 的面积,若

a cos B ? b cos A = c sin C , S ?
14. ?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ), 则?B = 4

S9= -------------15.下列四个命题: ① 函数 y ? f (a ? x)( x ? R ) 与 y ? f (a ? x)( x ? R ) 的图像关于直线 x ? a 对称; ② 函数 f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? a ) 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围为 [0,1] ;
2

? n? ? 表示不超过 n 的最大整数. ? ? ? ? ? S1 ? ? ? 1? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? 3 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? S2 ? ? ? 4 ? ? ? 5 ? ? ? 6 ? ? ? 7 ? ? ? 8 ? ? 10 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S3 ? ? ? 9 ? ? ? 10 ? ? ? 11 ? ? ? 12 ? ? ? 13 ? ? ? 14 ? ? ? 15 ? ? 21 ,那么

1 ”的充分不必要条件; 2 ④ 数列 {an } 的通项公式为 an ? n 2 ? λn ? 2???(n ? N ? ) , 若 {an } 是单调递增数列, 则实数 λ 的 取值范围为 (?3, ??) 。
③ 在 ?ABC 中,“ A ? 30 ? ”是“ sin A ? 其中真命题的序号是_________ 16.已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x 在区间 (0,1) 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q ,不等式
2

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为_____________. p?q
三.解答题(共 70 分)

17(本小题满分 12 分)已知集合 A ? x x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,集合 B ? y y ? x 2 ? 2 x ? a , 集合 C ? x x 2 ? ax ? 4 ? 0 .命题 p : A ? B ? ? ,命题 q : A ? C , (I)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (II)若命题 p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

?

?

?

?

?

?

18.(本小题满分 12 分)在 ?ABC中,角A , B, C 所对的边分别为 a,b,c,且 cos A=

2 3

B+C +cos2 ? B+C ? ; 2 (2)若 a ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值.
(1)求 2sin 2

19.(本小题满分 12 分)如图:正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (1)求证:A1C//平面 AB1D; (2)求点 C 到平面 AB1D 的距离. (3)求二面角 B—AB1—D 的大小;

20. (本题满分 12 分)
m , g ( x) ? 2 ln x . x (1)当 m ? 1 时,判断方程 f ( x) ? g( x) 在区间 ?1, ?? ? 上有无实根;

已知函数 f ( x) ? mx ?

(2)若 x ? ?1, e? 时,不等式 f ( x) ? g ( x) ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,并且 a2 ? 2 , S5 ? 15 ,数列 {bn } 满足: b1 ?

n ?1 bn ???(n ? N ? ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . 2n (1)求数列 {an } 的通项公式 an 及前 n 项和公式 S n ; bn ?1 ?
(2)求数列 {bn } 的通项公式 bn 及前 n 项和公式 Tn ; (3)记集合 M ? {n |

1 , 2

2 S n (2 ? Tn ) ? λ, n ? N ? } ,若 M 的子集个数为 16,求实数 λ 的取值 n?2

范围。

22、 (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x) = |x + a| + |x-2|. (1)当 a =-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。

2015 届高三第五次月考数学试卷(理科)答案 1.2 DBCAB DABCD CA 13. 45° 14. 171 15. ② ④ 16.

2 B+C A cos A ? , 且2sin 2 +cos2 ? B+C ? =2 cos 2 ? cos 2 A 3 2 2 4 2 14 ? ?1 ? cos A ? +2 cos 2 A ? 1 ? 2 ? ? ? 9 3 9 2 2 2 2 (2)由a ? b ? c ? 2bc cos A得 2 4 2bc 3=b 2 ? c 2 ? 2bc ? ? 2bc ? bc ? ? 3 3 3 9 即? bc ? 2
17.解: (1)

1 1 9 9 5 3 5 ?2? ? S ?ABC ? bc sin A ? ? ? 1 ? ? ? ? ? = 2 2 2 4 3 4 ?3?
? ?ABC 面积的最大值为
18.

2

3 5 4

19.(1)连接 A1B,设 A1B∩AB1=E,连结 DE, ∵ ABC—A1B1C 是正三棱柱且 AA1=AB, ∴ 四边形 A1ABB1 是正方形,∴ E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点,∴ DE//A1C ……………………3 分 DE ? 平 面 AB1D , A1C ? 平 面 AB1D , ∴ A1C// 平 面 AB1D ……………………4 分 ( 2 )∵平面 B1BC1⊥平面 ABC 且 AD⊥ BC ,∴ AD⊥平面 B1BCC1, 又 AD ? 平面 AB1D,∴ 平面 B1BCC1⊥ 平面 AB1D, 在平面 B1BCC1 内作 CH⊥ B1D 交 B1D 的延长线于点 H,则 CH 的长度就是点 C 到平面 ABCD 的距离 由△ CDH∽ △ B1DB 得: CH ? 即点 C 到平面 AB1D 的距离是

BB1 ? CD 5 , ? B1 D 5

5 5

……………………………………8 分

(或者等体

积法) (3)在平面 ABC 内作 DF⊥ AB 于点 F,在平面 A1ABB1 内作 FG⊥ AB1 于点 G,连结 DG。 ∵ 平面 A1ABB1⊥ 平面 ABC, ∴ DF⊥ 平面 A1ABB1,FG 是 DG 在平面 A1ABB1 上的射影, ∵ FG⊥ AB1, ∴ DG⊥ AB1, ∴ ∠ FGD 是二面角 B—AB1—D 的平面角 ……6 分

3 3 3 2 ,在△ ABE 中,FG= BE ? 4 4 8 DF 6 在 Rt△ DFG 中, tan ?FGD ? , ? FG 3 6 ∴ 二面角 B—AB1—D 的大小为 ……………………12 分 3
∵ A1A=AB=1,在正△ ABC 中, DF ?

21. 解: (1) m ? 1 时,令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x ? ? 2 ln x ,
1 2 ? x ? 1? ? ? ? 0 ,? h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数 x2 x x2 又 h(1) ? 0 ,所以 f ( x) ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 内无实数根 。 。 。 。 。 。5 分
2

1 x

h '( x) ? 1 ?

(2) mx ?

?1 ? x ? e ,? ln x ? 0 ,? 当 x ? ?1, e? 时 G ' ? x ? ? 0 ,

m ? 2 ln x ? 2 恒成立, 即 m ? x 2 ? 1? ? 2 x ? 2 x ln x 恒成立, x 2 x ? 2 x ln x 又 x 2 ? 1 ? 0 ,则当 x ? ?1, e? 时, m ? 恒成立, x2 ? 1 2 x ? 2 x ln x 令 G ? x? ? ,只需 m 小于 G ? x ? 的最小值, x2 ? 1 ?2( x 2 ln x ? ln x ? 2) G '? x? ? 2 ? x 2 ? 1?

? G ? x ? 在 ?1, e?上单调递减,? G ? x ? 在 ?1, e?的最小值为 G ? e ? ?
则 m 的取值范围是 ? ??,
? ? 4e ? ? e2 ? 1 ?

4e , e2 ? 1

。 。 。 。 。 。 。12 分

20.解析: (1)设数列 {an } 的公差为 d ,

? a1 ? d ? 2 ?a1 ? 1 n2 ? n ,解得 ? ,∴an ? n ,∴S n ? 。 2 ?d ?1 ?5a1 ? 10d ? 15 b 1 n ?1 (2)由题意得 n ?1 ? ? , bn 2 n b b b 1 n n ?1 2 n 叠乘得 bn ? n ? n ?1 ? ? 2 ? b1 ? ( ) n ( ? ? ? )? n . bn ?1 bn ? 2 b1 2 n ?1 n ? 2 1 2 1 2 3 n 由题意得 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n ① 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n ② Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1? ? n ? 2 ② —① 得: Tn ? ? ? ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 4 8 2 2 2n ?1 2 n ?1 1? 2 n?2 ∴Tn ? 2 ? n 2 2 S (2 ? Tn ) n 2 ? n n2 ? n ? f ( n ) ? (3)由上面可得 n ,令 , n?2 2n 2n 3 3 5 15 则 f (1) ? 1 , f (2) ? , f (3) ? , f (4) ? , f (5) ? 。 2 2 4 16 n2 ? n 下面研究数列 f (n) ? 的单调性, 2n
由题意得 ?

(n ? 1) 2 ? n ? 1 n 2 ? n (n ? 1)(2 ? n) , ? n ? 2n ?1 2 2n ?1 ∴n ? 3 时, f (n ? 1) ? f (n) ? 0 , f (n ? 1) ? f (n) ,即 f (n) 单调递减。 ∵ 集合 M 的子集个数为 16,∴M 中的元素个数为 4, n2 ? n ∴ 不等式 ? λ , n ? N ? 解的个数为 4, n 2 15 ∴ ? λ ?1 16 x?2 ? ?? 2 x ? 5 22、解:当 a =-3 时, f ( x) ? ? 1 2 ? x ? 3, ? x?3 ? 2x ? 5 不等式 f(x)≥3 的解集为 ?x x ? 1, 或x ? 4 ? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分
∵ f (n ? 1) ? f (n) ? (Ⅱ ) |x + a| + |x-2|≤|x-4|,有|x + a| ≤|x-4|-|x-2|, 当 x ? [1,2] 有|x + a| ≤(4-x)-(2-x)=2, 即 ? 3 ? a ? 0 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分


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