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初速度为0的匀加速直线运动的推论


第二章

匀变速直线运动的研究

专题一 初速度为0的匀变速直线运动 的推论

学习目标
? 1.能正确推导初速度为0的匀变速直线运动的

几个常用比例公式 ? 2.能灵活应用这些比例公式巧解初速度为0或 末速度为0的运动学习题

若物体是做初速度为零的匀加速直线 运

动还具备以下几个特点 : ①1T秒末、2T秒末、3T秒末、…、nT 秒末,速度之比为

v1:v2:v3: …:vn ? 1 : 2: 3: …:n

若物体是做初速度为零的匀加速直线 运动还具备以下几个特点 : ② 1T秒内、2T秒内、3T秒内、… 、 nT秒内,位移之比为

s1:s2:s3: …:sn ? 1 : 2: 3: …:n
2 2 2

2

若物体是做初速度为零的匀加速直线
运动还具备以下几个特点 : ③第1个T内、第2个T内、第3个T 内、… 、第n个T内,位移之比为

s :s2 :s3 : …:sn ? 1 : 3: 5: …: (2n ?1)
'

' 1

'

'

1.做初速度为零的匀加速直线运动的物体,将其运动时间顺次 分成1∶2∶3三段,则每段时间内的位移之比为( C ) A.1∶3∶5 C.1∶8∶27 B.1∶4∶9 D.1∶16∶81

1 1 解析 :由x ? at 2得 : xⅠ ? x1 ? at 2 , xⅡ ? x 2 ? x1 ? 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 a ? 3t ? ? at ? 4at , x Ⅲ ? x 3 ? x 2 ? a ? 6t ? ? a ? 3t ? 2 2 2 2 27 2 ? at , 则xⅠ ∶xⅡ ∶x Ⅲ ? 1 ∶ 8 ∶ 27. 2

2、一小球以某一初速度沿光滑斜面匀减速上 滑,到达顶端时速度为0,历时3s,位移9m, 求其第1秒内的位移。( 答案 :5m ) ? (用两种方法解)
解法一:基本公式求加速度a 解法二:能不能用推论呢? v0 0 a 5m 1s

初速度为0的 匀加速直线运 动 用推论,OK!
0 3m 2s 1m 3s

从左往右运动,是匀减速至0的运动,逆过来看呢?

若物体是做初速度为零的匀加速直线 运动还具备以下几个特点 : ④ 从静止开始通过连续相等的位移 所用的时间之比为

t1:t2:t3: …:tn ? 1: ( 2 ? 1): ( 3 ? 2 ): …: ( n ? n ? 1)

? 广州至北京的T16次火车于16:48正从广

例3

州站发出,做匀加速直线运动,小敏站在 第一节车厢前端的站台上,观测到第一节 车厢通过他历时4s,全车共有25节车厢, 车厢之间的间隙忽略不计,求: ? 1)全部车厢通过他历时多少? ? 2)第9节车厢通过他需时多少?
20s, 0.69s

知识总结
初速度为0的匀加速直线运动中 1、时间t、2t、3t……nt内的位移之比为: x1 : x2 : x3 : …… :xn=1 : 4 : 9 : …… : n2 2、第1个t内,第2个t内,第3个t内……的位移之比为: S1 : s2 : s3 : …… :sn=1 : 3 : 5 : …… : (2n-1)

o o T1

t1

t2 T2

t3
T3

t4
T4

t5
T5

t6
T6

x

2x

3x

4x

5x

6x

从运动起点划分为连续相等位移x,则:
3、位移x、2x、3x……nx内的时间之比为:

t1 : t2 : t3 : …… :tn= 1 : 2 : 3 : …… : n
4、第1段位移x、第2段位移x、第3段位移x内的时间之比为:

T1 : T2 : T3 : …… = 1 : ( 2 ?1) : ( 3 ? 2) :

……

例4:汽车紧急刹车后经 7s停止,设汽车匀减速直 线运动,它在最后1s内的 位移是2m,则汽车开始刹 车时的速度各是多少?
2015/11/2

? 分析:首先将汽车视为质点,由题意画

出草图

从题目已知条件分析,直接用匀变 速直线运动基本公式求解有一定困 难.大家能否用其它方法求解?

?解法一:用基本公式、平均速度.

质点在第7s内的平均速度为:
6

则第6s末的速度:v =4(m/s) 求出加速度:a=(0-v )/t= -4(m/s2) 求初速度:0=v +at, v =-at=-(-4)×7=28(m/s)
6 0 0

千万不要忘了 :
?末速度为

零的匀减速直线

运动也可以认为是反向的 初速度为零的匀加速直线 运动

?解法二:逆向思维,用推论.

倒过来看,将匀减速的刹车过程看作初速 度为0,末速度为28m/s,加速度大小为 4m/s2的匀加速直线运动的逆过程. 由推论:s1∶s7=1∶72=1∶49 则7s内的位移:s7=49s1=49×2=98(m)

v =28(m/s)
0

?解法三:逆向思维,用推论.

仍看作初速为0的逆过程,用另一推论: s ∶s ∶s ∶…=1∶3∶5∶7∶9∶11∶1
Ⅰ Ⅱ Ⅲ

3

s =2(m) 则总位移:s=2(1+3+5+7+9+11+13) =98(m) 求v 同解法二.
Ⅰ 0

?解法四:图像法

作出质点的速度-时间图像,质点第7s内的位 移大小为阴影部分小三角形面积
小三角形与大三角形相似, 有v6∶v0=1∶7, v0=28(m/s) 总位移为大三角形面积:

练习. 初速为0 的匀加速运动的物体
1、第3秒内通过的位移为15米,则第5秒内通过的位

米,最初5秒内的位移为 75米 。 27 2、通过三段连续的位移所用的时间依次为1秒、2秒 、3秒,则各段位移之比依为 1 : 8 : 27 。
3、开始运动18米,分成三段相等的时间,则各段位 2米、6米、10米 米。 移依次为 2. 解 : A1 B 3 1s 5 2s C 7 9 3s

移为

11

D

4.如右图所示,在水平面上固 定着三个完全相同的木块,一 粒子弹以水平速度 v 射入.若 子弹在木块中做匀减速直线运 动,当穿透第三个木块时速度恰好为零,则子弹 依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块 所用时间之比分别为( D ) A.v1∶v2∶v3=3∶2∶1 B.v1∶v2∶v3= 3∶ 2∶1 C.t1∶t2∶t3=1∶ 2∶ 3 D.t1∶t2∶t3=( 3- 2)∶( 2-1)∶1

5、一质点做从静止开始做匀加速直线运动,则 质点在第一个2s,第二个2s和第5s内的三段位 移之比为________ 4:12:9 。
6、一物体做匀减速直线运动,3.5秒后停下来, 则第1秒内,第2秒内,第3秒内的位移之比为 _________ 。 3:2:1

7、做匀减速运动的物体经4s停止运动,若在第1s

内位移是14m,则最后1s内的位移是(
A.3.5 m B.3 m C.2 m
V(m/s)



D.1 m

0 1

2

3

4

t/s

答案:C

提高题 1 [2013· 山东济南测试] 如图 2-2 所示, 小球沿足够长的斜面向上做匀变速直线运动,依次经 a、b、c、d 到达最高点 e. 已知 ab=bd=6 m, bc=1 m, 小球从 a 到 c 和从 c 到 d 所用的时间都是 2 s, 设小球 经 b、c 时的速度分别为 vb、vc, 则( )

图 2-2 A.vb=2 C.de=3 m 2 m/s B.vc=3 m/s D.从 d 到 e 所用时间为 4 s

ad BD [解析] 对 ad 段, 经 c 时为中间时刻, 则 vc= 2T =3 m/s,选项 B 正确;由 Δx=aT2,则 a=0.5 m/s2;经 d vd 时的速度 vd=vc-aT=2 m/s,d 到 e 的时间 t= =4 s, a vd+0 de= 2 t=4 m,选项 C 错误,选项 D 正确;经 a 时的 速度 va=a(2T+t)=4 m/s,经 b 时的速度 vb= 10 m/s,选项 A 错误.
2 v2 + v a d = 2

提高题 2 [2013· 十堰统考] 如图 2-3 所示,光 滑斜面的 AE 段被分成四个相等的部分,一物体由 A 点从静止释放,下列结论中正确的是( )

-3 A . 物 体 到 达 各图 点2的 速 率 vB∶vC∶vD∶vE = 1∶ 2∶ 3∶2
2 B.物体到达各点所经历的时间 tE=2tB= 2tC= tD 3 C.物体从 A 点到 E 点的平均速度- v =vB D.物体通过每一部分时,其速度增量 vB-vA=vC- vB=vD-vC=vE-vD

ABC [解析] 物体由 A 点从静止释放,做初速度为 零的匀加速直线运动, 从运动开始取几段相等的位移, 则 物 体 到 达 各 点 所 经 历 的 时 间 比 tB∶tC∶tD∶tE = 1∶ 2∶ 3∶2,选项 B 正确;由 v=at 可得物体到达各 点的速率比等于时间比,选项 A 正确;由于到达 B 点的 时刻是从 A 到 E 所经历时间的中间时刻,A 到 E 的平均 速度- v =vB, 选项 C 正确; 物体通过几段相等的位移的时 间比 tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶tⅣ=1∶ 2-1 ∶ 3- 2 ∶ 2- 3 ,其 速
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?


? A? ?

增 ∶
? ? ? ? ?


? B? ? ? ?

Δv ∶
? ? ? ?

= vD-v
? C? ?

aΔt ∶
? ? ?

, vE-v
? D? ?

则 =

vB-v
?

vC-v

1∶?? 2-1??∶?? 3- 2 ??∶??2- 3??,选项 D 错误.


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