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第8讲几何概型


几何概型
1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称 这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2.几何概型中,事件 A 的概率的计算公式 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性. 自我检测: 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( ) (2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该 区域中的每一点被取到的机会相等.( ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ) ) ) )

(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( 1 (6)从区间[1,10]内任取一个数,取到 1 的概率是 P=9.(

1.在线段[0,3]上任投一点,则此点坐标小于 1 的概率为( ) 1 1 1 A.2 B.3 C.4 D.1 2. (2014· 辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内 的概率是( ) π π A.2 B.4 π π C.6 D.8 3.(2014· 福建)如图,在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子,有 180 粒落到 阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.

4.(2013· 山东)在区间[-3,3]上随机取一个数 x 使得|x+1|-|x-2|≥1 成立的概率 为________.

题型归纳与讲解: 题型一 与长度、角度有关的几何概型 π (1)在区间[-1,1]上随机取一个数 x,求 cos 2x 的值介 1 于 0 到2之间的概率. (2)如图所示, 在△ABC 中, ∠B=60° , ∠C=45° , 高 AD= 3, 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率. 例1

(2014· 湖南)在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为多 少?

题型二 与面积、体积有关的几何概型

?0≤x≤2, (1)设不等式组? 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个 ?0≤y≤2 点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( ) π-2 4-π π π A.4 B. 2 C.6 D. 4 例2 (2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心,在 这个圆柱内随机取一点 P,求点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率.

跟踪训练 2(1)在区间[-π,π]内随机取出两个数分别记为 a,b,则函数 f(x)=x2 +2ax-b2+π2 有零点的概率为( ) π π A.1-8 B.1-4 π 3π C.1-2 D.1- 4 (2)在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 O 为底面 ABCD 的中心, 在正方 体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ________. 题型三 生活中的几何概型问题 例 3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该 码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为 1 h,乙船停泊时间为 2 h,求它们 中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.

专项基础训练 1.(2014· 陕西)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点 的距离不小于该正方形边长的概率为( ) 1 2 3 4 A.5 B.5 C.5 D.5 p 1 2.设 p 在[0,5]上随机地取值,则方程 x2+px+4+2=0 有实根的概率为( ) 1 2 3 4 A.5 B.5 C.5 D.5 1 3.在区间[-1,4]内取一个数 x,则 2x-x2≥4的概率是( ) 1 1 2 3 A.2 B.3 C.5 D.5 4. 已知△ABC 中, ∠ABC=60° , AB=2, BC=6, 在 BC 上任取一点 D, 则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) 1 1 A.6 B.3

1 C.2

2 D.3 5.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直 径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分 的概率是( ) 2 1 1 A.1-π B.2-π 2 1 C.π D.π 6. (2011· 南阳调研)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并且以线段 AM 为 边作正方形,则这个正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为( ) 1 1 4 4 A.4 B.3 C.27 D.15

7.(2013· 福建)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) 1 1 1 2 A.4 B.3 C.2 D.3 nπ 8.已知集合 A={α|α= 9 ,n∈Z},若从 A 中任取一个元素均可作为直线 l 的倾斜 角,则直线的斜率小于零的概率是________. 5 9.(2013· 湖北)在区间[-2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率为6,则 m=________. 10.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若 1 1 此点到圆心的距离大于2,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于4,则去打 篮球;否则,在家看书.则小波周末不 在家看书的概率为________. . 11.已知函数 f(x)=-x2+ax-b. (1)若 a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率; (2)若 a,b 都是从区间[0,4]任取的一个数,求 f(1)>0 成立时的概率.


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