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立体几何基础题题库1—50


立体几何基础题题库一(有详细答案)
1、二面角 ? ? l ? ? 是直二面角, A ? ?,B ? ? ,设直线 AB 与 ?、? 所成的角分别为∠1 和∠ 2,则 (A)∠1+∠2=900 ∠2<900 解析:C
? ?1

(B)∠1+∠2≥900

(C)∠1+∠2≤900

(D)∠1+

r />
A

?2 B ?

如图所示作辅助线,分别作两条与二面角的交线垂直的线,则

∠1 和∠2 分别为直线 AB 与平面 ? , ? 所成的角。根据最小角定理:斜线和平面所成的角, 是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

??ABO ? ?2 ? ?ABO ? ?1 ? 90? ??2 ? ?1 ? 90?
2. 下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点中不共 .. 面 的一个图是 .
S P
S P R Q Q Q Q S R P P S S P P S

P P R
Q R P Q

S S
P RR
P S Q R

S

P

Q

R

P

Q

Q

R

R

Q P

P S
S

R Q
R

P S Q

S

S Q

Q
R

R

R

S

Q

R

(A) D

(B)

(C)

(D)

解析: A 项: PS ?底面对应的中线,中线平行 QS,PQRS 是个梯形

D'
P

S

C'

A'

B'
R

D A

C

B 项: 如图

Q

B

17

C 项:是个平行四边形 D 项:是异面直线。 3. 有三个平面 ? ,β ,γ ,下列命题中正确的是 (A)若 ? ,β ,γ 两两相交,则有三条交线 β ∥γ (C)若 ? ⊥γ ,β ∩ ? =a,β ∩γ =b,则 a⊥b 则 ? ∩γ = ? D 解析:A 项:如正方体的一个角,三个平面相交,只有一条交线。 B 项:如正方体的一个角,三个平面互相垂直,却两两相交。
a ? ?

(B)若 ? ⊥β , ? ⊥γ ,则

(D)若 ? ∥β ,β ∩γ = ? ,

?

C 项:如图

b

4. 如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 AB 与直线 B1C1 的距离相等,则动点 P 所在曲线的形状为
A B O P A1 B1
A1 A P B1 B

A P A1

B O B1

A

B
A

D B

C

P A1

O B1
A1

P D1

C1 B1

C

D' A' B'

C'

P

D

C

解析: B1C1

? 平面 AB1? B1C1 ? PB, ,如图:

A B

P 点到定点 B 的距离与到定直

线 AB 的距离相等,建立坐标系画图时可以以点 B1B 的中点为原点建立坐标系。 5. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中与 AD1 成 600 角的面对角线的条数是 (A)4 条 10 条 (B)6 条 (C)8 条 (D)

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C
D' A' B' C'

D' A' B'

C'

D A

C
A

D

C

解析:如图 有 4 条,共 8 条。

B

这样的直线有 4 条,另外,这样的

B

直线也

6. 设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? 0 , AC ? AD ? 0 , AB ? AD ? 0 ,则 △BCD 是 (A)钝角三角形 确定 C 解析:假设 AB 为 a,AD 为 b,AC 为 c,且 a ? b ? c 则,BD=
A

(B)直角三角形

(C)锐角三角形

(D)不

a 2 ? b2

,CD=

c 2 ? b2



a c

b

B

D

BC=

a2 ? c2

如图

C

cos ?DCB ?

?

a2 ? c2

? ?
2

?

c2 ? b2

? ?
2

则 BD 为最长边,根据余弦定理

?

a 2 ? b2

?

2

2 a 2 ? c2 ? c2 ? b2

? 0 ??DCB 最大角为锐

角。所以△BCD 是锐角三角形。 7.设 a、b 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列四个命题 ①若 a ? b, a ? ? , 则b // ? ②若 a // ? ,? ? ? , 则a ? ? ( )

③ a ? ? ,? ? ? , 则a // ? 其中正确的命题的个数是 A.0 个 B.1 个

④ 若a ? b, a ? ? , b ? ? , 则? ? ? ( C.2 个 D.3 个 )

B 解析:注意①中 b 可能在α 上;③中 a 可能在α 上;④中 b//α ,或 b ? ? 均有 ? ? ? ,

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故只有一个正确命题

8.如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 2 ,底

面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异面直线 BE 与 SC 所成角的大小为 A.90° C.45° B.60° D.30° ( )

B 解析:平移 SC 到 S ?B ,运用余弦定理可算得 BE ? S ?E ? S ?B ?

2.

9. 对于平面 M 与平面 N, 有下列条件: ①M、N 都垂直于平面 Q; ②M、N 都平行于平面 Q; ③ M 内不共线的三点到 N 的距离相等; ④ l, M 内的两条直线, 且 l // M, m // N; ⑤ l, m 是异面直线,且 l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件的 个数是 ( ) A.1 只有②、⑤能判定 M//N,选 B 10. 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,A1B⊥CB1,则 A1B 与 AC1 所成的角为 (A)450 (C)900 (B)600 (D)1200
A1 C1 B1

B.2

C .3

D.4

C

A

B

C 解析:作 CD⊥AB 于 D,作 C1D1⊥A1B1 于 D1,连 B1D、AD1,易知 ADB1D1 是平行四边形,
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由三垂线定理得 A1B⊥AC1,选 C。

11. 正四面体棱长为 1,其外接球的表面积为 A. 3 π B.

3 π 2

C.

5 π 2

D.3π

解析:正四面体的中心到底面的距离为高的 1/4。 (可连成四个小棱锥得证 12. 设有如下三个命题:甲:相交直线 l 、m 都在平面α 内,并且都不在平面β 内;乙:直 线 l 、m 中至少有一条与平面β 相交;丙:平面α 与平面β 相交. 当甲成立时, A.乙是丙的充分而不必要条件 C.乙是丙的充分且必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件 D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

解析:当甲成立,即“相交直线 l 、m 都在平面α 内,并且都不在平面β 内”时,若“ l 、 m 中至少有一条与平面β 相交” ,则“平面α 与平面β 相交. ”成立;若“平面α 与平面β 相 交” ,则“ l 、m 中至少有一条与平面β 相交”也成立.选(C) . 13. 已知直线 m、n 及平面 ? ,其中 m∥n,那么在平面 ? 内到两条直线 m、n 距离相等的 点的集合可能是: (1)一条直线; (2)一个平面; (3)一个点; (4)空集.其中正确的是 . 解析: (1)成立,如 m、n 都在平面内,则其对称轴符合条件; (2)成立,m、n 在平面 ? 的 同一侧,且它们到 ? 的距离相等,则平面 ? 为所求, (4)成立,当 m、n 所在的平面与平面 ? 垂直时,平面 ? 内不存在到 m、n 距离相等的点 14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为( A.3 B.1 或 2 C.1 或 3 D.2 或 3 )

解析:C 如三棱柱的三个侧面。 15.若 a、 b 为异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b 的位置关系是 A.相交 B.异面 C.平行 ( D. 异面或相交 )

解析:D 如正方体的棱长。 16.在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中,AC 与 B1D 所成的角的大小为 ( )

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A.

? 6
C.

B.

? 4
? 2

? 3

D.

解析:D B1D 在平面 AC 上的射影 BD 与 AC 垂直,根据三垂线定理可得。 17.如图,点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是( )

D'
P

S

C'

A'

B'
R

D

C

解析:C

A,B 选项中的图形是平行四边形,而 D 选项中可见图:

A
Q

B

18.如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C 为其上的三个点,则在正方 体盒子中,∠ABC 等于 ( ) A.45° C.90° B.60° D.120°

A C

B

解析:B 如图 ★右图是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题: ①AB 与 CD 所在直线垂直; ③AB 与 MN 所在直线成 60°角; ②CD 与 EF 所在直线平行 ④MN 与 EF 所在直线异
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面 其中正确命题的序号是 ( ) A.①③ 解析:D B.①④ C.②③ D.③④

D E M

B

F N A

C

19.线段 OA,OB,OC 不共面, ? AOB= ? BOC= ? COA=60 ,OA=1,OB=2,OC=3,则△ABC 是
?

( A.等边三角形 C.锐角三角形 B 非等边的等腰三角形 D.钝角三角形
2 2 2 2 2 2 2 2 2



解析:B. 设 AC=x,AB=y,BC=z,由余弦定理知:x =1 +3 -3=7,y =1 +2 -2=3,z =2 +3 -6=7。 ∴ △ABC 是不等边的等腰三角形,选(B) . 20.若 a,b,l 是两两异面的直线,a 与 b 所成的角是 是? , 则 ? 的取值范围是 A.[ 解析:D 解 当 l 与异面直线 a,b 所成角的平分线平行或重合时,a 取得最小值

? ,l 与 a、l 与 b 所成的角都 3

( B.[



? 5?
6 , 6

]

? ? , ] 3 2

C. [

? 5?
3 , 6

]

D.[

? ? , ] 6 2

? ,当 l 与 a、b 的 6

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公垂线平行时,a 取得最大值

? ,故选(D) . 2

21.小明想利用树影测树高,他在某一时刻测得长为 1m 的 竹竿影长 0.9m,但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建 筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子上了墙如图所 示.他测得留在地面部分的影子长 2.7m, 留在墙壁部分的 影高 1.2m, 求树高的高度(太阳光线可看作为平行光线) _______. 4.2 米

? 解析: 树高为 AB, 影长为 BE, CD 为树留在墙上的影高,
树影长 BE= 2.7 ? 1.08 ? 3.78 米,树高 AB=

CD 1.2 1 ? ? , CE= 1.08 米, CE CE 0.9

1 BE= 4.2 米。 0.9

A

D

22.如图,正四面体 A ? BCD (空间四边形的 四条边长及两对角线的长都相等)中, E , F 分别是棱

B

C

E

A

AD, BC 的中点, 则
B F

E

D C

EF 和 AC 所成的角的大小是________.

解析:设各棱长为 2,则 EF= 2 ,取 AB 的中点为 M, cos ?MFE ?

? 2 . 即? ? . 4 2

23.OX,OY,OZ 是空间交于同一点 O 的互相垂直的三条直 线,点 P 到这三条直线的距离分别为 3,4,7,则 OP 长 为_______. 解析:在长方体 OXAY—ZBPC 中,OX、OY、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。又 PZ ? OZ,PY ? OY,PX ? OX,有 OX2+OZ2=49,OY2=OX2=9, OY2+OZ2=16,

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得 OX +OY +OZ =37,OP= 37 . 24.设直线 a 上有 6 个点,直线 b 上有 9 个点,则这 15 个点,能确定_____个不同的平面. 解析: 当直线 a,b 共面时,可确定一个平面; 当直线 a,b 异面时,直线 a 与 b 上 9 个点可确定 9 个不同平面,直线 b 与 a 上 6 个点可确定 6 个不同平面,所以一点可以 确定 15 个不同的平面. 25. 在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点.求证:EF 和 AD 为异面直线. 解析:假设 EF 和 AD 在同一平面 ? 内,?(2 分) ,则 A,B,E,F ?? ;??(4 分)又 A, E ? AB,∴AB ? ? ,∴B ?? ,??(6 分)同理 C ?? ??(8 分)故 A,B,C,D ?? ,这 与 ABCD 是空间四边形矛盾。∴EF 和 AD 为异面直线. 26. 在空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是 AB,AD 的中点,F,G 分别是 CB,CD 的中点,若 AC + BD = a ,AC ? BD =b,求 EG ? FH .
2 2
A

2

2

2

解析:四边形 EFGH 是平行四边形,????(4 分)

E H

EG 2 ? FH 2 =2 ( EF 2 ? FG2 ) =
1 1 ( AC 2 ? BD 2 ) ? (a 2 ? 2b) 2 2

B D F C G

27. 如图,在三角形⊿ABC 中,∠ACB=90?, AC=b,BC=a,P 是⊿ABC 所在平面外一点,PB⊥AB,M 是 PA 的中点,AB⊥MC,求异面直 MC 与 PB 间的距 离. 解析: 作 MN//AB 交 PB 于点 N. (2 分) ∵PB⊥AB, ∴PB⊥MN。 (4 分)又 AB⊥MC,∴MN⊥MC. (8 分)MN 即为异面直线 MC 与 PB 的公垂线段, (10 分)其长度就是 MC 与 PB 之间 的距离, 则得 MN=
A

P

M

N

B

C

1 1 2 a ? b2 . AB= 2 2

28. 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, A1A=AB, E、F 分别是 BD1 和 AD 中点. (1)求异面直线 CD1、EF 所成的角; (2)证明 EF 是异面直线 AD 和 BD1 的公垂线. (1)解析:∵在平行四边形 BAD1C1 中,E 也是 AC1 的中点,∴ EF // C1D , (2 分)
C1 D1

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B1 A1 E

∴两相交直线 D1C 与 CD1 所成的角即异面直线 CD1 与 EF 所成的角.(4 分)又 A1A=AB,长方体的侧面 ABB1 A 1 , CDD 1C1 都是正方形 ,∴D1C ? CD1 ∴异面直线 CD1、EF 所成的角为 90°.(7 分)
2 (2)证:设 AB=AA1=a, ∵D1F= a2 ? AD ? BF, ∴EF⊥BD1 . (9 分)

4

由平行四边形 BAD1C1 ,知 E 也是 AC1 的中点,且点 E 是长方体 ABCD—A1B1C1D1 的对称中 心, (12 分)∴EA=ED,∴EF⊥AD,又 EF⊥BD1,∴EF 是异面直线 BD1 与 AD 的公垂线.(14 分)
B1 C1 D1

A1 E C F D

B

A

29. ⊿ABC 是边长为 2 的正三角形,在⊿ABC 所在平面 外有一点 P,PB=PC=

D

3 7 ,PA= ,延长 BP 至 D,使 2 2

P

C

BD= 7 ,E 是 BC 的中点,求 AE 和 CD 所成角的大小和 这两条直线间的距离.
A E

解析: 分别连接 PE 和 CD, 可证 PE//CD, (2 分) 则∠PEA 即是 AE 和 CD 所成角. (4 分)在 Rt⊿PBE 中,

B

7 3 PB= ,BE=1,∴PE= 。在⊿AEP 中,AE= 3 , cos ?AEP ? 2 2

3 9 ? 4 4 =1 . 3 2 2? 3 ? 2 3?

∴∠AEP=60?,即 AE 和 CD 所成角是 60?. (7 分) ∵AE⊥BC,PE⊥BC,PE//DC,∴CD⊥BC,∴CE 为异面直线 AE 和 CD 的公垂线段, (12 分)它
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们之间的距离为 1. (14 分) 30. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F,G,H,M,N 分别是正方体的棱 A1 A, AB,BC,

CC1 , C1 D1 , D1 A1 的中点,试证:E,F,G,H,M,N 六点共面.
解析:∵EN//MF,∴EN 与 MF 共面 ? , (2 分)又∵EF//MH,∴EF 和 MH 共面 ? . (4 分) ∵不共线的三点 E,F,M 确定一个平面, (6 分)∴平面 ? 与 ? 重合,∴点 H ?? 。 (8 分) 同理点 G ?? . (10 分)故 E,F,G,H,M,N 六点共面. 31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时,它们的交线有 A.1 条 或2条 D 解析:分类:1)当两个平面平行,第三个平面与它们相交时,有两条交线; 2)当三个平 面交于一条 直线时,有一条交线,故选 D 32.两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是 A.4 个 解析:C 如四棱锥的四个侧面, C4
2





B.2 条

C.3 条

D.1 条

( C.6 个



B.5 个

D.8 个

? 6 个。

33..在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点如果 EF 与 HG 交于点 M,则 ( ) A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在 AC 上,也可能在 BD 上 D.M 不在 AC 上,也不在 BD 上 解析:∵平面 ABC∩平面 ACD=AC,先证 M∈平面 ABC,M∈平面 ACD,从而 M∈AC A
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34. .用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形,则这个多边形的边数最多是 . 解析:6 条 35. 已知: a ? ? , b ? ? , a ? b ? A, P ? b, PQ // a.

求证 : PQ ? ?..(12分)
本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法. 解析:∵PQ∥a,∴PQ 与 a 确定一个平面 ? ,? 直线a ? ? ,点P ? ? .

? p ? b, b ? ? ,? p ? ?
又? a ? ? ??与?重合 ? PQ ? ?

36. 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α 交于 P、Q、R 三点,求证:P、Q、R 三点共线。 (12 分) 本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法 解析:∵A、B、C 是不在同一直线上的三点 ∴过 A、B、C 有一个平面 ?

又? AB ? ? ? P, 且AB ? ?
同理可证: Q ? l , R ? l ? P, Q, R三点共线 .

?点P既在?内又在?内, 设? ? ? ? l , 则p ? l.

37. 已知:平面 ? ? 平面? ? a, b ? ? , b ? a ? A, c ? ?且c // a, 求证:b、c 是异面直线 解析:反证法:若 b 与 c 不是异面直线,则 b∥c 或 b 与 c 相交

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(1)若b // c. ? a // c,? a // b这与a ? b ? A矛盾 (2)若b, c相交于B, 则B ? ? , 又a ? b ? A,? A ? ? ? AB ? ? , 即b ? ?这与b ? ? ? A矛盾 ? b, c是异面直线 .

38. 在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E、F 分别是 AB、CD 的中点,EF= 3 ,求 AD 与 BC 所成角的大小 (本题考查中位线法求异面二直线所成角)

解析:取 BD 中点 M,连结 EM、MF,则
1 1 AD ? 1, MF // BC且MF ? BC ? 1, 2 2 EM 2 ? MF 2 ? EF 2 1 ? 1 ? 3 1 在?MEF中,? EF ? 3,由余弦定理得cos ?EMF ? ? ?? 2 ? EM ? MF 2 2 ? ? ?EMF ? 120 EM // AD, 且EM ? ? 异面直线AD, BC所成角的大小为 60?

39. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,求异面直 线 CM 与 D1N 所成角的正弦值.(14 分) (本题考查平移法,补形法等求异面二直线所成角) 解析:取 DD1 中点 G,连结 BG,MG,MB,GC 得矩形 MBCG,记 MC∩BG=0 则 BG 和 MC 所成的角为异面直线 CM 与 D1N 所成的角.
3 ? MC 2 ? MA2 ? AC 2 ? ( a) 2 (设正方体的棱长为 a) 2 BC ? a ? cos?BOC ? 1 9 ? sin ?BOC ? 4 5 9

而 CM 与 D1N 所成角的正弦值为 4 5
9

40. 如图,P 是正角形 ABC 所在平面外一点,M、N 分别是 AB 和 PC 的中点,且 PA=PB=PC=AB=a。 (1)求证:MN 是 AB 和 PC 的公垂线 (2)求异面二直线 AB 和 PC 之间的距离
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解析: (1)连结 AN,BN,∵△APC 与△BPC 是全等的正三角形,又 N 是 PC 的中点 ∴AN=BN 又∵M 是 AB 的中点,∴MN⊥AB 同理可证 MN⊥PC 又∵MN∩AB=M,MN∩PC=N ∴MN 是 AB 和 PC 的公垂线。 (2)在等腰在角形 ANB 中,? AN ? BN ? 3 a, AB ? a,? MN ? AN 2 ? ( 1 AB) 2 ? 2 a
2 2 2

即异面二直线 AB 和 PC 之间的距离为

2 a. 2

41 空间有四个点,如果其中任意三个点都不在同一条直线上,那么经过其中三个点的平 面 [ ] A.可能有 3 个,也可能有 2 个 C.可能有 3 个,也可能有 1 个 B.可能有 4 个,也可能有 3 个 D.可能有 4 个,也可能有 1 个

解析:分类,第一类,四点共面,则有一个平面,第二类,四点不共面,因为没有任何三点 共线,则任何三点都确定一个平面,共有 4 个。. 42. 下列命题中正确的个数是 [ ]

①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形 ③四边相等的四边形是平面图形 A.1 个 B.2 个 C.3 个 ④矩形一定是平面图形 D.4 个

解析:命题①是正确的,因为三角形的三个顶点不共线,所以这三点确定平面。 命题②是错误,因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动,就形成了空间四 边形。命题③也是错误,它是上一个命题中比较特殊的四边形。 命题④是正确的,因为矩形必须是平行四边形,有一组对边平行,则确定了一个平面。 43. 如果一条直线上有一个点不在平面上,则这条直线与这个平面的公共点最多有____1 个。

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解析:如果有两个,则直线就在平面内,那么直线上的所有点都在这个平面内,这就与已知 有一个点不在平面上矛盾,所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。 44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点, 如果连结这两点的直线与已知直线_______, 则它们在同一平面内。答案:相交或平行 解析:根据推论 2,推论 3 确定平面的条件。 45. 三角形、四边形、正六边形、圆,其中一定是平面图形的有________3 个。 解析:三角形的三个顶点不在一条直线上,故可确定一个平面,三角形在这个平面内;圆上 任取三点一定不在一条直线上,这三点即确定一个平面,也确定了这个圆所在的平面,所以 圆是平面图形;而正六边形内接于圆,故正六边形也是平面图形;而四边形就不一定是平面 图形了,它的四个顶点可以不在同一平面内。 46. 三条平行直线可以确定平面_________个。答案:1 个或 3 个 解析:分类、一类三线共面,即确定一个平面,另一类三线不共面,每两条确定一个,可确 定 3 个。 47. 画出满足下列条件的图形。 (1)α ∩β =1,a (2)α ∩β =a,b α ,b β ,b∥a β ,a∩b=A

解析:如图 1-8-甲,1-8-乙

48.经过平面 ? 外两点 A,B 和平面 ? 垂直的平面有几个? 解析:一个或无数多个。 当 A,B 不垂直于平面 ? 时,只有一个。 当 A,B 垂直于平面 ? 时,有无数多个。

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49. 设空间四边形 ABCD,E、F、G、H 分别是 AC、BC、DB、DA 的中点,若 AB=12 2 ,CD =4

2 ,且四边形 EFGH 的面积为 12

3 ,求 AB 和 CD 所成的角.

解析: 由三角形中位线的性质知,HG∥ AB,HE∥ CD,∴ ∠ EHG 就是异面直线 AB 和 CD 所成的 角. ∵ EFGH 是平行四边形,HG=

1 AB=6 2 , 2

D

HE=

1 ,CD=2 3 , 2
EHG 6 sin∠

H C

G

E

∴ SEFGH=HG·HE·sin∠ EHG=12 6 sin∠ EHG,∴ 12 =12 3 .

F B

A

∴ sin∠ EHG=

2 ,故∠ EHG=45°. 2

∴ AB 和 CD 所成的角为 45° 注:本例两异面直线所成角在图中已给,只需指出即可。 50. 点 A 是 BCD 所在平面外一点,AD=BC,E、F 分别是 AB、 CD 的中点,且 EF= (如图) 解析:设 G 是 AC 中点,连接 DG、FG。因 D、F 分别是 AB、 CD 中点,故 EG∥ BC 且 EG=

2 AD,求异面直线 AD 和 BC 所成的角。 2

A E G B F C D

1 1 BC,FG∥ AD,且 FG= AD,由异 2 2 1 AD, 2

面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成锐角或直角为异面直线 AD、BC 所成角,即∠ EGF 为所求。由 BC=AD 知 EG=GF=

又 EF=AD,由余弦定理可得 cos∠ EGF=0,即∠ EGF=90°。 注:本题的平移点是 AC 中点 G,按定义过 G 分别作出了两条异面直线的平行线,然 后在△ EFG 中求角。通常在出现线段中点时,常取另一线段中点,以构成中位线,既可用平 行关系,又可用线段的倍半关系。

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立体几何基础题题库1—50
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立体几何基础题题库1-50(有详细答案)
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高一数学立体几何基础题题库五
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立体几何基础题题库1(有详细答案)
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