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2015高考数学——专题十九 几何证明选讲


专题十九 几何证明选讲
1.(15 年广东理科)如图 1,已知 AB 是圆 O 的直径, AB ? 4 , EC 是圆 O 的切线,切点 为C ,

BC ? 1 ,过圆心 O 做 BC 的平行线,分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ,则 OD ?
C B

D E A 图1

P

O

【答案】 8 .

【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理,属于中档题.

2.(15 年广东文科)如图 , 切线,切点为 ,过 . 作直线

为圆

的直径, 为

的延长线上一点,过 .若 ,

作圆 ,则



的垂线,垂足为

【答案】

A 考点:1、切线的性质;2、平行线分线段成比例定理;3、切割线定理. 3. (15 年新课标 2 理科) 如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点, ⊙ O 与 ΔABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G,且与 AB ,AC 分别 相切于 E ,F 两点。 (1)证明:EF ∥ BC; (2) 若 AG 等于⊙ O 的半径, 且 AE ? MN ? 2 3 , 求四边形 EBCF 的面积。 B E O M D N C G F

4. (15 年新课标 2 文科)如图 O 是等腰三角形 AB C 内一点, 圆 O 与△ABC 的底边 BC 交于 M, N 两点, 与底边上的高交于点 G, 且与 AB ,AC 分别相切于 E ,F 两点.

(I)证明 EF

BC ;

(II)若 AG 等于圆 O 半径, 且 AE ? MN ? 2 3 , 求四边形 EBCF 的面积.

【答案】(I)见试题解析;(II)

16 3 3

考点:1. 几何证明;2. 四边形面积的计算.

?? 切 5. (15 年陕西理科) 如图,
垂足为 C . (I)证明: ?C?D ? ?D?? ;

?C ? D? , ? 于点 ? , ? 两点, 直线 ?D 交 ? 于 D ,

(II)若 ?D ? 3DC , ?C ? 2 ,求

? 的直径.

【答案】 (I)证明见解析; (II) 3 .

【解析】 试题分析: (I) 先证 ?C?D ? ???D , 再证 ?D?? ? ???D , 进而可证 ?C?D ? ?D?? ; (II) 先由 (I ) 知 ?D 平分 ?C?? , 进而可得 ?D 的值, 再利用切割线定理可得 ?? 的值, 进而可得 ? 的直径. 试题解析: (I)因为 DE 为圆 O 的直径,则 ?BED ? ?EDB ? 90 , 又 BC ? DE,所以 ? CBD+ ? EDB=90°,从而 ? CBD= ? BED. 又 AB 切圆 O 于点 B,得? DAB= ? BED,所以 ? CBD= ? DBA. (II)由(I)知 BD 平分 ? CBA,则

BA AD = = 3 ,又 BC = 2 ,从而 AB = 3 2 , BC CD

所以 AC =

AB2 - BC 2 = 4 ,所以 AD=3 .
2

由切割线定理得 AB =AD ×AE ,即 AE = 故 DE=AE-AD=3,即圆 O 的直径为 3.

AB 2 =6, AD

考点:1、直径所对的圆周角;2、弦切角定理;3、切割线定理.

AB 切 O 于点 B , BC ? DE , 6. (15 年陕西文科) 如图, 直线 AO 交 O 于 D , E 两点,
垂足为 C . (I)证明: ?CBD ? ?DBA (II)若 AD ? 3DC, BC ?

2 ,求 O 的直径.

【答案】(I)证明略,详见解析; (II) 3 . 【解析】 试题分析: :(I)因为 DE 是 O 的直径,则 ?BED ? ?EDB ? 90? ,又 BC ? DE ,所以

?CBD ? ?EDB ? 90? , 又 AB 切 ?CBD ? ?DBA ;

O 于 点 B , 得 ?DBA ? ?BED , 所 以

(II) 由 (I) 知 BD 平 分 ?CBA , 则

BA AD ? ? 3 , 又 BC ? 2 , 从 而 AB ? 3 2 , 由 BC CD

AB2 ? BC 2 ? AC 2 ,
2 解 得 AC ? 4 , 所 以 AD ? 3 , 由 切 割 线 定 理 得 AB ? AD ? AE , 解 得 AE ? 6 , 故

DE ? AE ? AD ? 3 ,
即 O 的直径为 3. 试题解析:(I)因为 DE 是 O 的直径, 则 ?BED ? ?EDB ? 90? 又 BC ? DE ,所以 ?CBD ? ?EDB ? 90? 又 AB 切 O 于点 B , 得 ?DBA ? ?BED 所以 ?CBD ? ?DBA (II)由(I)知 BD 平分 ?CBA , 则

BA AD ? ? 3, BC CD

又 BC ? 2 ,从而 AB ? 3 2 , 所以 AC ?

AB2 ? BC2 ? 4

所以 AD ? 3 , 由切割线定理得 AB ? AD ? AE
2

即 AE ?

AB 2 ?6, AD

故 DE ? AE ? AD ? 3 , 即 O 的直径为 3. 考点:1.几何证明;2.切割线定理. 7. (15 年江苏)如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , ?ABC 的外接圆圆 O 的弦 AE 交 BC 于 点D 求证: ?ABD ∽ ?AEB

A

O B E (第 21——A 题) 【答案】详见解析 D C

考点:三角形相似


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