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2013年文科全国各省市高考真题——圆锥曲线(解答题带答案)


2013 年全国各省市文科数学—圆锥曲线
1、2013 大纲文 T22.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, 离心率为 3, 直线 a 2 b2 y ? 2与C的两个交点间的距离为 6.
已知双曲线 C : (I)求 a, b; ; (II) 设过F2的直线l与C

的左、右两支分别相交于A、B两点,且

AF1 ? BF1 , 证明: AF2 、 、 2 成等比数列. AB BF

2、2013 新课标 1 文 T21.(本小题满分 12 分) 已知圆 M : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1,圆 N : ( x ?1)2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C 。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的 半径最长是,求 | AB | 。

3、2013 新课标Ⅱ文 T20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 ,在 y 轴上截得线段 长为 2 3 。 (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y ? x 的距离为

2 ,求圆 P 的方程。 2

4、2013 辽宁文 T20.(本小题满分 12 分) 如图,抛物线 C1 : x ? 4 y, C2 : x ? ?2 py ? p ? 0? .点M ? x0 , y0 ? 在抛物线C2上,
2 2

过M 作C1 的切线,切点为A, B ? M 为原点O时,A, B重合于O ? .当x0 ? 1 ? 2时, 1 切线MA的斜率为- . 2

(I) 求P的值 ; (II)

当M 在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程 ? A, B重合于O时,中点为O? .

5、2013 山东文 T22.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2, 离心率为

2 2

(I)求椭圆 C 的方程 (II)A,B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为

交椭圆 C 与点 P,设 OP ? tOE ,求实数 t 的值

??? ?

??? ?

6 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 4

6、2013 北京文 T19.(本小题共 14 分)

直线 y ? kx ? m ( m ? 0 ) W :

x2 ? y 2 ? 1相交于 A , C 两点, O 是坐标原点 4

(1)当点 B 的坐标为 (0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长。 (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形。

7、2013 重庆文 T21.(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小 问 8 分) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率

e?

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A 、 A? 两点, 2 AA? ? 4 .

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、 P? ,过

P 、 P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求 ?PP?Q 的面积 S 的最大 值,并写出对应的圆 Q 的标准方程.

8、2013 四川文 T20.(本小题满分 13 分) 已知圆 C 的方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 ,点 O 是坐标原点。直线 l : y ? kx 与圆 C 交于
2 2

M , N 两点。
(Ⅰ)求 k 的取值范围;

(Ⅱ)设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点,且 函数。

2 1 1 。请将 n 表示为 m 的 ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

9、2013 天津文 T18. (本小题满分 13 分)
3 x2 y 2 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 3 a 2 b2 4 3 被椭圆截得的线段长为 . 3

设椭圆

(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 ???? ??? ???? ??? ? ? AC· ? AD· ? 8 , 求 k 的值. DB CB

10、2013 浙江文 T22. 已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点 F(0,1) (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 过 F 作直线交抛物线于 A、B 两点.若直线 OA、OB 分别交直线 l:y=x-2 于 M、N 两 点, 求|MN|的最小值.

11、2013 上海文 T23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小 题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 如图,已知双曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2: y ? x ? 1 .P 是平面内一点.若存在过点 P 2

的直线与 C1、C2 都有共同点,则称 P 为“C1-C2 型点”.

(1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1-C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一 条这样的直线的方程(不要求验证); (2)设直线 y=kx 与 C2 有公共点,求证 k >1,进而证明圆点不是“C1-C2 型点”; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“C1-C2 型点”. 2

12、2013 福建文 T20.(本小题满分 12 分) 如图,在抛物线 E : y 2 ? 4x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴的交点为 A .点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心 OC 为半径作圆,设圆 C 与准线 l 的交于不同的两点 M , N . (1)若点 C 的纵坐标为 2,求 MN ; (2)若 AF
2

? AM ? AN ,求圆 C 的半径.

13、2013 广东文 T20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2
(1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

14、2013安徽文T21.(本小题满分13分)

已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,且过点 P( 2,3) . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 为椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E 。取点

A(0, 2 2) ,连接 AE ,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D 。点 G 是点 D 关于 y 轴的对称
点,作直线 QG ,问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由.

15、2013 陕西文 T20. (本小题满分 13 分) 已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率.

16、2013 湖南文 T20.(本小题满分 13 分)

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点 F1 , F2 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 已知 F1 , F2 分别是椭圆 E : 5 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点。
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b 。当 ab 最大时,求直 线 l 的方程。

17、2013 湖北文 T22.(本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别 为 2m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为 A,B,C,D.记 ? ?

m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y
A B
O C N x

M D

第 22 题图

18、2013 江西文 T20.(本小题满分 13 分) 椭圆 C: =1(a>b>0)的离心率 ,a+b=3

(1) 求椭圆 C 的方程;

(2) 如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于点 N 直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,证明 2m-k 为定值。

参考答案: 2、

4、[解析] (I)因为抛物线 斜率为? ,所以 A 点的坐标为

:

=4 上任意一点

的切线斜率为

.且切线 MA 的

.故切线 MA 的方程为

因为 M

在切线 MA 与抛物线

上。于是

所以 P=2 (II)设 N .A ,B . ,由 N 为线段 AB 中点知

切线 MA,MB 的方程为

MA,MB 的交点 M

的坐标为

又M



上,即

,所以

所以

,



时也满足所以 AB 中点轨迹方程为

5、

6、解:(1)线段 OB 的垂直平分线为 y ?

1 , 2

因为四边形 OABC 为菱形, 所以直线 y ?

1 与椭圆的交点即为 A , C 两点 2

对椭圆

1 x2 ? y 2 ? 1,令 y ? 得 x ? ? 3 2 4

所以 AC ? 2 3 (2)方法一:当点 B 不是 W 的顶点时,

? y ? kx ? m ? 联立方程 ? x 2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
设 A( x1 , y1 ) , C ( x1 , y2 ) ,

则 x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 4 , x1 x2 ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 ? y2 ? kx1 ? m ? kx2 ? m ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m
?? 8k 2 m ? 2m 1 ? 4k 2

?

2m 1 ? 4k 2
2 2

若四边形 OABC 为菱形,则 OA ? OC ,即 OA ? OC 所以 x12 ? y12 ? x22 ? y22 即 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) 因为点 B 不是 W 的顶点,所以 x1 ? x2 ? 0 ,

所以

x1 ? x2 y2 ? y1 ? y2 ? y1 x1 ? x2

8km 2 即 ? 1 ? 4k ? ?k ,即 k ? 4k 2m 1 ? 4k 2
所以 k ? 0 此时,直线 AC 与 y 轴垂直,所以 B 为椭圆的上顶点或下顶点,与已知矛盾, 所以四边形 OABC 不可能为菱形 方法二: 因为四边形 OABC 为菱形,所以 OA ? OC , 设 OA ? OC ? r ( r ? 1 )

2 2 2 则 A , C 两点为圆 x ? y ? r 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1的交点 4

? x2 ? y 2 ? r 2 4(r 2 ? 1) ? 2 联立方程 ? x 2 得x ? 2 3 ? ? y ?1 ?4
所以 A , C 两点的横坐标相等或互为相反数。 因为点 B 在 W 上 若 A , C 两点的横坐标相等,点 B 应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。 若 A , C 两点的横坐标互为相反数,点 B 应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。 所以四边形 OABC 不可能为菱形。 7、

9、

12、解:(Ⅰ)抛物线 y 2 ? 4 x 的准线 l 的方程为 x ? ?1 , 由点 C 的纵坐标为 2 ,得点 C 的坐标为 (1, 2) 所以点 C 到准线 l 的距离 d ? 2 ,又 | CO |? 5 . 所以 | MN |? 2 | CO |2 ?d 2 ? 2 5 ? 4 ? 2 . (Ⅱ)设 C (
2 y0 y2 y4 2 , y0 ) ,则圆 C 的方程为 ( x ? 0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? 0 ? y0 , 4 4 16

即 x2 ?

2 y0 x ? y 2 ? 2 y0 y ? 0 . 2 2 y0 ?0 2

由 x ? ?1 ,得 y 2 ? 2 y0 y ? 1 ?

设 M (?1, y1 ) , N (?1, y2 ) ,则:

2 ? y0 2 2 ?? ? 4 y0 ? 4(1 ? ) ? 2 y0 ? 4 ? 0 ? 2 ? 2 ? y y ? y0 ? 1 ? 1 2 2 ?

由 | AF |2 ?| AM | ? | AN | ,得 | y1 y2 |? 4 所以
2 y0 ? 1 ? 4 ,解得 y0 ? ? 6 ,此时 ? ? 0 2

所以圆心 C 的坐标为 ( , 6) 或 ( , ? 6)

3 2

3 2

从而 | CO |2 ?

33 33 33 , | CO |? ,即圆 C 的半径为 2 2 4

13、【解析】(1)依题意 d ?

0?c?2 2

?

3 2 ,解得 c ? 1 (负根舍去) 2

? 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ;
(2)设点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y ? y1 ? 即y?

x1 ( x ? x1 ) , 2

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上, 同理, y 0 ?

x1 x0 ? y1 . 2



x2 x0 ? y 2 . ② 2
x x0 ? y . 2

综合①、②得,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; 2

(3)由抛物线的定义可知 AF ? y1 ?1, BF ? y2 ?1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1 联立 ?

? x2 ? 4 y ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0

2 2 2 ,消去 x 得 y ? 2 y0 ? x0 y ? y0 ? 0 ,

?

?

2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0

? x0 ? y0 ? 2 ? 0
2 2 2 ? AF ? BF ? y0 ? 2 y0 ? x0 ? 1=y0 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 2

1? 9 ? =2 y ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?
2 0

2

1 9 ? 当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值为 2 2
14、【解析】 (1)因为椭圆过点 P( 2,3)

? ? a2 ? 8
(2)

2 3 ? 2 ? 1 且 a 2 ? b2 ? c 2 2 a b

b2 ? 4

c2 ? 4

椭圆 C 的方程是

x2 y 2 ? ?1 8 4

由题意,各点的坐标如上图所示,

8 x0 y?0 ? 则 QG 的直线方程: 8 y0 x0 ? x0 x?
化简得 x0 y0 x ? ( x02 ? 8) y ? 8 y0 ? 0 又 x0 ? 2 y0 ? 8 ,
2 2

x2 y 2 ? ?1 所以 x0 x ? 2 y0 y ? 8 ? 0 带入 8 4
求得最后 ? ? 0 所以直线 QG 与椭圆只有一个公共点.

15、【答案】 (Ⅰ).

x2 y2 ? ?1. 4 3

(Ⅱ) ?

3 2

【解析】 (Ⅰ) 点 M(x,y)到直线 x=4 的距离,是到点 N(1,0)的距离的 2 倍,则

x2 y2 | x ? 4 |? 2 ( x ? 1) ? y ? ? ? 1. 4 3
2 2

所以,动点 M 的轨迹为 椭圆,方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(Ⅱ) P(0, 3), 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),由题知: 1 ? 0 ? x2,y1 ? 3 ? y 2 2x 2 椭圆 的上下顶点坐标分别是0, 3)和(0,- 3), 经检验直线 m 不经过这 2 点,即直线 m 斜 ( 率 k 存在。 设直线m方程为 : y ? kx ? 3 .联立椭圆和直线方程,整理得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24 kx ? 24 ? 0 ? x1 ? x 2 ?

? 24 k 24 , x1 ? x 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

x1 x2 1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 ? x2 5 (?24k ) 2 9 3 ? ? ?2? ? ? ? ?k ?? 2 x2 x1 2 x1 ? x2 2 2 (3 ? 4k ) ? 24 2
所以,直线 m 的斜率 k ? ? 16、

3 2

17、

(3) 18、

3 c c2 a 2 ? b2 b2 3 20.解:(1)因为e= ? 故 ? ? 1? 2 ? 2 a a2 a2 a 4
a=2,b=1,

所以 a ? 2b 再由 a+b=3 得

x2 ? 椭圆C的方程为: ? y 2 ? 1 4
1 (2)因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则BP方程为y=k(x-2)(k ? 0且k ? ? ) 2


x2 8k 2 ? 2 4k 2 ? y ? 1,解得 P( 2 ,? 2 ) 将①代入 4 4k ? 1 4k ? 1
又直线 AD 的方程为 y ? ①与②联立解得 M (

1 x ?1 2



4k ? 2 4k , ) 2k ? 1 2k ? 1

4k ? 2 8k 2 ? 2 4k , 0) , ? 2 ), N ( x, 0) 三点共线可角得 N ( 由 D(0,1), P( 2 2k ? 1 4k ? 1 4 k ? 1
所以 MN 的分斜率为 m=

2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ? (定值) ,则 2m ? k ? 4 2 2


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