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PPT《等差数列的前n项和》课件


主讲人:崔帆

等差数列的前n 项和
★ 学习目标 ★新课学习

★ 重点难点
★复习巩固

★课堂练习
★课后作业

学习目标
? 1 .掌握等比数列的前n项和公式; ? 2 .掌握前n项和公式的推导方法; ? 3. 对前n项和公式能进行简单应用.

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重点 难点
? 重点 : 等比数列前n项和公式的推导与应
用.

? 难点 : 前n项和公式的推导思路的寻找. ? 注意理论来源于实践而用于实践

复习巩固
1. 等差数列的通项公式是: an = a1+ (n-1)d , (n∈N*)

2. 等差数列的简单性质是:
(1) an= ak+ (n-k)d , (n , k∈N*) .

(2) {an}为等差数列
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an= an-1+d .

(3) 若m + n = p + q ,则am+ an= ap+ aq

新课学习
学习任务: 根据等差数列{an}的首项a1 ,项数n, 第n项an,求前n项和Sn的计算公式 .
★ A . 请看两个具体实例:
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实例1
1. 高斯在小学计算“1+2+3+…+100”的故事, 大家都熟悉,其运算过程是怎样的呢?显然这 是一个正整数数列{an}的前100项的和

高斯巧算: S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 + S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1

2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101 100 ? 101 上一页 =5050 S= 2 下一页

实例2
如图,表示堆放的钢管共8层,自上而下各 层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 求钢管的总数 .

共8 层 每层 15 根
问题即求和:Sn= 4+5+6+7+8+9+10+11
上一页 下一页

S8= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 S8=11+10+ 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4
∴ 2S8= (4+11) +(5+10) + (6+9) +(7+8) + (9+6) +(10+5)+(11+4)
2

∴ S8= 8 ? (4 ? 11) =60
上一页 公式推导

★ B .

公式推导

Sn= a1 + a2 + … + an-1 + an Sn= an + an-1 + … + a2 + a1 两式相加,得 2Sn= (a1+ an) + (a2+ an-1) + … + (an+ a1) 而 a1+ an = a2 + an-1 = … = an + a1 2Sn= (a1+ an) + (a1+ an) + … + (a1+ an ) = n ( a1 + an )
上一页 下一页

通过以上两例的讨论,自己能推导等差 数列的前n项和Sn的计算公式吗?

n ( a ? a ) 1 n Sn = 2

把an = a1+ (n-1)d代入上式中可得:

Sn=

n[2a1 ? (n ? 1)d ] n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 n( n ? 1) na1 ? d 2

★ C . 对公式的深入研究

S n=



d 2 d n ? (a1 ? )n 2 2

可知{an}是等差数列,则Sn= a n2+ b n

(d = 0时,a = 0 ,d ≠ 0时,a ≠ 0 )
上 一 页

那么,点(n , Sn )有何性质?

下 一 页

点(n , Sn ) 的性质: (1)当d ≠0时,点(n , Sn)在二次函数 y = ax2+bx的图象上 . (2) 当d = 0时,点(n , Sn)在一次函数 y = bx的图象上 . ★ D . 公式的基本应用

(1) 五个元素: a1, an, d, n , Sn知三可求二 .
(2) 构造数列解决实际问题.
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教材上的练习

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例题分析
等差数列{a }中,a ? 25, S ? S ,问数列前多少项之和最大,
n 1 17 9

并求此最大值.
解:解法一

? a ? 25 ? ?S ? S
1 17
1

9

17 ?16 9?8 则17 a ? d ? 9a ? d, d ? 2 2 2
1

n(n ? 1) S ? n25 ? (?2) ? ?(n ? 13) ? 169 2
2 n

故前13项之和最大,最大值是169

解法二:

d d S ? n ? ( a ? ) n, (d ? 0) 2 2 S 的图像是开口向下的抛物线上一群离散的点,最高点的 9 ? 17 纵坐标为 ,即S 最大. 2 y
2 n 1
n 13

反馈演练
在等差数列中a ? 0, 前n项和为S , 且S ? S ,
1 n 3 11

问该数列前多少项和最大?

0

9 13 17

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