当前位置:首页 >> 数学 >>

1.2.2同角三角函数


同角的三角函数
基础归纳:
1、平方关系式:sin2α+cos2α=1; sin α π 2、商数关系式:tan α= 角 α 的范围是{α|α≠kπ+ ,k∈Z}. cos α 2

知识点一

公式的推导

y 1、设 P(x,y)是角 α 的终边与单位圆的交点,由三角函数的定义:x=cos α,

y=sin α, = x y tan α,及单位圆上的点到原点的距离为 1,可知 x2+y2=1,即 cos2α+sin2α=1,且 = x sin α =tan α. cos α 2、由任意角的三角函数的定义也可求得.设 P(x,y)为角 α 终边上的任一点,|OP|=r. y x y y sin α 则 sin α= ,cos α= ,tan α= . 易知 sin2α+cos2α=1,tan α= = . r r x x cos α 例 1.已知 sin ? ?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? . 13

总结:
1. 在求值中,确定角的终边位置是关键和必要的。有时,由于角的终边位置的不确定,因此解的情况 不止一种。要分象限进行讨论 2. 解题时产生遗漏的主要原因是:①没有确定好或不去确定角的终边位置;②利用平方关系开平方时, 漏掉了负的平方根。

例 2.已知 tan ? 为非零实数,用 tan ? 表示 sin ? ,cos ? .

知识点二

公式应用时注意的问题

1、公式成立的条件 sin α π sin2α+cos2α=1 对一切 α∈R 均成立,tan α= 仅在 α≠kπ+ (k∈Z)时成立. cos α 2 2、同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,它的精髓在 sin 8α “同角”二字上,如 sin22α+cos22α=1, =tan 8α 等都成立,理由是式子中的角为 cos 8α “同角”. 3、使用平方关系 sin α=± 1-cos2α, cos α=± 1-sin2α,“±”由角 α 所在象限来确定. 4、对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用. 如:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,1=sin2α+cos2α,sin α=tan α·cos α, sin α sin α cos α= , =tan α 等. tan α cos α 例 1.化简 1 ? sin 2 440? .

例 2.化简 1 ? 2sin 40? cos 40? . 例 3、已知 sin ? ? 2 cos ? ,求

sin ? ? 4 cos ? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?的值。 5 sin ? ? 2 cos ?

巩固练习: 1、 cos ? ? A.

4 3

4 , ? ? (0, ? ) ,则 tan ? 的值等于 5 3 4 B. C. ? 4 3
; sin ? ?

( D. ?



3 4


2、若 tan? ? 15 ,则 cos? ?

3、化简 sin2 ? +sin2β -sin2 ? sin2β +cos2 ? cos2β =



1 4、已知 sin ? ? ,求 cos ? , tan ? 的值. 5
5、已知 A 是三角形的一个内角,sinA+cosA = A.锐角三角形 6、已知 sinα cosα = 3 A.± 4 B.钝角三角形 2 ,则这个三角形是 3 ( )

C.不等腰直角三角形 D.等腰直角三角形 ( )

1 ,则 cosα -sinα 的值等于 8

B.±

3 2

C.
4

3 2
4

D.-

3 2

7、已知 ? 是第三象限角,且 sin ? ? cos ? ? A.
2 3

5 ,则 sin ? cos ? ? ( ) 9
1 3
D. ?

B. ?

2 3

C.

1 3
( )

8、如果角 ? 满足 sin ? ? cos? ? A. ? 1 9、若 B. ? 2

2 ,那么 tan ? ?
C. 1

1 的值是 tan ? D. 2

1 ? sin ? 1 ? sin ? = -2 tan ? ,则角 ? 的取值范围是 ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?



10、已知

1 ? sin x 1 cos x ? ? ,则 的值是 cos x 2 sin x ? 1 1 1 A. B. ? C.2 D.-2 2 2

11、若 sin? , cos? 是方程 4 x 2 ? 2mx ? m ? 0 的两根,则 m 的值为 A. 1 ? 5 B. 1 ? 5 C. 1 ? 5 D. ? 1 ? 5

sin 3 ? ? 2 cos3 ? 12、若 tan ? ? 3 ,则 的值为________________. sin 3 ? ? 2 cos3 ?
13、已知

sin ? ? cos ? ? 2 ,则 sin ? cos ? 的值为 sin ? ? cos ?



14、已知 sin ? ?

m?3 4 ? 2m , cos ? ? ,则 m=_________; tan ? ? m?5 m?5



15、若 ? 为二象限角,且 cos A.第一象限角 16、求证:

?
2

? sin

?
2

? 1 ? 2 sin

?

? ? cos ,那么 是 2 2 2
D.第四象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

1 ? 2 sin ? cos ? tan ? ? 1 ? . sin 2 ? ? cos 2 ? tan ? ? 1

1、B

2、 ?

1 15 ;? ( ? 在一象限时取正号,在三象限时取负号). 4 4

3、1; 4、 cos? ? ? 5、B 10、A 6、B 11、B 13、

2 6 6 ; tan? ? ? ( ? 在一象限时取正号,在二象限时取负号). 5 12
7、A 8、D 9、

?
2

? 2k? ? ? ?

3? ? 2k? , ?k ? Z ? 2

29 12、 25
15、C 16、左边 ?

3 10

14、 m ? 0 或 m ? 8 ; tan ? ? ?

3 5 或 tan ? ? ? 4 12

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ?sin ? ? cos? ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ?

2

?

sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ? 右边. sin ? ? cos ? tan ? ? 1

同角的三角函数
1.若 sin α+cos α=1,则 sinα+cosα 等于( A.± 2 B.1 C.-1
4 4

) D.±1

cos ? ? 2 sin ? 2.若 sinα+3cosα=0,则 2 cos ? ? 3 sin ? 的值为____________. 1 3.已知 tanα=2,则 sin ? cos ? =____________.
4.已知 tanθ+cosθ=2, 3 3 求: (1)sinθ·cosθ 的值; (2)sinθ+cosθ 的值; (3)sin θ+cos θ 的值. 2?cos α-sin α? cos α sin α 5.求证: - = . 1+sin α 1+cos α 1+sin α+cos α

1-2sin θcos θ cos2θ-sin2θ 6.证明: = . cos2θ-sin2θ 1+2sin θcos θ 5sin A+8 4 7.若 sin A= ,且 A 是三角形的一个内角,求 的值. 5 15cos A-7 1 8.已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A;(2)判断△ABC 是锐角三角形,还是钝角三角形?

参考答案 1. D ∵ (sin α+cos α)=sin α+cos α+2sin αcos α=1+2sin αcos α, sin α+cos α =1 ∴ sin αcos α=0sinαcosα=0 当 cosα=0 时,sinα=±1.
2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2

当 sinα=0 时,cosα=±1 ∴ 所以 sinα+cosα=±1.

5 1 ? 2 tan ? 1 ? 6 ? 由已知可得 tanα=-3,于是原式= 2 ? 3 tan ? 2 ? 9 =- 11 . sin 2 ? ? cos 2 ? 5 1 1 5 1 sin? ? cos ? = sin ? cos ? =tanα+ tan ? =2+ 2 = 2 . 3. 2 sin 2 ? ? cos 2 ? sin ? cos ? 4.解: (1)∵ tanθ+cotθ=2,∴cos ? + sin ? =2, sin ? ? cos ? =2 1 1 2 2 2 ∴ sinθ·cosθ= 2 ; (2)∵ (sinθ+cosθ) =sin θ+2sinθ·cosθ+cos θ=1+2× 2 =2 1 又 tanθ+cotθ=2>0, 可得 sinθ·cosθ= 2 >0, 故 sinθ 与 cosθ 同号, 从而 sinθ+cosθ 5 2.- 11
? ? 2 当?为第一象限角 ? ?? 2 当?为第三象限角 =? ;

1 (3)∵ sin θ+cos θ=(sinθ+cosθ) (sin θ-sinθ·cosθ+cos θ)= 2 (sinθ+
3 3 2 2

cosθ)

? 2 当?为第一象限角 ? ? 2 ? 2 ? ? 当?为第三象限角 ? 3 3 ∴ sin θ+cos θ= ? 2 2?cos α-sin α? cos α sin α 5.求证: - = . 1+sin α 1+cos α 1+sin α+cos α cos α?1+cos α?-sin α?1+sin α? 证明:左边= ?1+sin α??1+cos α? 2 2 cos α-sin α+cos α-sin α ?cos α-sin α??cos α+sin α+1? = = 1 1+sin α+cos α+sin αcos α 1 ?cos α+sin α?2+sin α+cos α+ 2 2 2?cos α-sin α??cos α+sin α+1? 2?cos α-sin α? = = =右边. ?sin α+cos α+1?2 1+sin α+cos α 1-2sin θcos θ cos2θ-sin2θ 6.证明: = . cos2θ-sin2θ 1+2sin θcos θ

1-2sin θcos θ ?cos2θ+sin2θ?-2sin θcos θ 证明:∵ = cos2θ-sin2θ cos2θ-sin2θ ?cos θ-sin θ?2 cos θ-sin θ cos2θ-sin2θ = = = cos2θ-sin2θ cos θ+sin θ ?cos θ+sin θ?2 cos2θ-sin2θ cos2θ-sin2θ 1-2sin θcos θ cos2θ-sin2θ = = ,∴ = . 2 2 ?cos θ+sin θ?+2sin θcos θ 1+2sin θcos θ cos2θ-sin2θ 1+2sin θcos θ 5sin A+8 4 7.若 sin A= ,且 A 是三角形的一个内角,求 的值. 5 15cos A-7 4 3 解:因为 sin A= ,所以 cos A=± 1-sin2A=± , 5 5 4 5× +8 5 5sin A+8 3 当 cos A= 时, = =6; 5 3 15cos A-7 15× -7 5 4 5× +8 5 5sin A+8 3 12 3 3 当 cos A=- 时, = = =- .故所求的值为 6 或- . 5 3 4 4 15cos A-7 -16 15×?- ?-7 5 1 8.已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A; (2)判断△ABC 是锐角三角形,还是钝角三角形? 1 1 解:(1)因为 sin A+cos A= ,所以两边平方得 1+2sin Acos A= , 5 25 12 12 sin Acos A=- .(2)由(1)sin Acos A=- <0,且 0<A<π, 25 25 可知 cos A<0,所以 A 为钝角,所以△ABC 是钝角三角形.

同角三角函数
4 1.若 sinα= ,且 α 是第二象限角,则 tanα 的值等于( ) 5 4 3 3 4 A.- B. C.± D.± 3 4 4 3 2 2.化简 1-sin 160° 的结果是( ) A.cos160° B.-cos160° C.± cos160° D.± |cos160° | 2sinα-cosα 3.若 tanα=2,则 的值为( ) sinα+2cosα 3 5 A.0 B. C.1 D. 4 4 8 4.若 cosα=- ,则 sinα=________,tanα=________. 17 5 5.若 α 是第四象限的角,tanα=- ,则 sinα 等于( ) 12 1 1 3 5 A. B.- C. D.- 5 5 15 13 cosα 2sinα 6.若 α 为第三象限角,则 + 的值为( ) 1-sin2α 1-cos2α A.3 B.-3 C.1 D.-1 2 7.已知 tanθ=2,则 sin θ+sinθcosθ-2cos2θ 等于( ) 4 5 3 4 A.- B. C.- D. 3 4 4 5

1-cosα cosα-1 = 成立的 α 的范围是( ) sinα 1+cosα A.{x|2kπ-π<α<2kπ,k∈Z} B.{x|2kπ-π≤α≤2kπ,k∈Z} 3π C.{x|2kπ+π<α<2kπ+ ,k∈Z} D.只能是第三或第四象限的角 2 1-2sin40° · cos40° 9.计算 =________. sin40° - 1-sin240° 1-sinαcosα 10.已知 tanα=-3,则 =________. 2sinαcosα+cos2α 8.使 1-cos2α sinα + 的值为________. cosα 1-sin2α 1 1 1 12.求证:sinθ(1+tanθ)+cosθ· (1+ )= + . tanθ sinθ cosθ 2 13.在△ABC 中,sinA+cosA= ,AC=2,AB=3,求 tanA 的值. 2 14.是否存在一个实数 k,使方程 8x2+6kx+2k+1=0 的两个根是一个直角三角形两个 锐角的正弦值. 11.若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上,则 1、解析:选 A. 2、解析:选 B. 1-sin2160° = cos2160° =-cos160° . 2sinα-cosα 2tanα-1 3 3、解析:选 B. = = . sinα+2cosα tanα+2 4 8 4、解析:∵cosα=- <0,∴α 是第二或第三象限角. 17 15 sinα 15 若 α 是第二象限角,则 sinα>0,tanα<0.∴sinα= 1-cos2α= ,tanα= =- . 17 cosα 8 若 α 是第三象限角,则 sinα<0,tanα>0. 15 sinα 15 15 15 15 15 ∴sinα=- 1-cos2α=- ,tanα= = .答案: 或- - 或 17 cosα 8 17 17 8 8 5、解析:选 D. 6、解析:选 B.∵α 为第三象限角,∴sinα<0,cosα<0, cosα 2sinα cosα 2sinα ∴ 2 + 2 =|cosα|+ |sinα| =-1-2=-3. 1-sin α 1-cos α sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ tan2θ+tanθ-2 7、解析:选 D.sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ= = sin2θ+cos2θ tan2θ+1 4+2-2 4 = = . 5 5 1-cosα ?1-cosα?2 1-cosα cosα-1 8、解析:选 A . = = = , |sinα| sinα 1+cosα 1-cos2α 即 sinα<0,故{x|2kπ-π<α<2kπ,k∈Z}. ?sin40° -cos40° ?2 cos40° -sin40° = =-1.答案:-1 2 -cos40° sin40° - cos 40° sin40° 1-sinαcosα sin2α-sinαcosα+cos2α tan2α-tanα+1 ?-3?2-?-3?+1 10、解析: = = = = 2sinαcosα+cos2α 2sinαcosα+cos2α 2tanα+1 2×?-3?+1 13 13 - . 答案:- 5 5 sinθ cosθ sin2θ cos2θ 11、答案:0 12、证明:左边=sinθ(1+ )+cosθ· (1+ )=sinθ+ +cosθ+ cosθ sinθ cosθ sinθ sin2θ+cos2θ sin2θ+cos2θ cos2θ sin2θ =(sinθ+ )+( +cosθ)= + sinθ cosθ sinθ cosθ 9、解析:原式=

1 1 + =右边,∴原式成立. sinθ cosθ 2 1 1 13、解:∵sinA+cosA= ,① ∴(sinA+cosA)2= ,即 1+2sinAcosA= , 2 2 2 1 ∴2sinAcosA=- . ∵0° <A<180° ,∴sinA>0,cosA<0. 2 3 ∴sinA-cosA>0. ∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA= , 2 2+ 6 2- 6 6 ∴sinA-cosA= .②①+②,得 sinA= . ①-②,得 cosA= . 2 4 4 2+ 6 sinA 4 ∴tanA= = × =-2- 3. cosA 4 2- 6 14、解:设这两个锐角为 A,B,∵A+B=90° ,∴sinB=cosA, 2 所以 sinA,cosA 为 8x +6kx+2k+1=0 的两个根. 3k sinA+cosA=- 4 ① 所以 2k+1 ② sinAcosA= 8 10 ②代入①2,得 9k2-8k-20=0,解得 k1=2,k2=- ,当 k=2 时,原方程变为 8x2+ 9 10 11 12x+5=0,Δ<0 方程无解;将 k=- 代入②,得 sinAcosA=- <0, 9 72 所以 A 是钝角,与已知直角三角形矛盾.所以不存在满足已知条件的 k. =

? ? ?

同角的三角函数
1.若 sin ? ? cos ? ? A. sin ? ? 2
2

1 ,则下列结论中一定成立的是 2
2



) D. sin ? ? cos ? ? 0 )

B. sin ? ? ? 2
1 ? 2 tan? 1 ?1 cos?

C. sin ? ? cos ? ? 1

2.化简

后可能取值的集合中元素的个数是(

cos? 1 ? tan ?

2

A.1 个

B.2 个 C.3 个 sin ? ? cos ? 3.若 tan ? ? 2 ,则 的值为________________. sin ? ? cos ? 4.已知 sin x ? cos x ?

D.4 个

1 ,且 0 ? x ? ? . 5

(1)求 sinx、cosx、tanx 的值. (2)求 sin3x – cos3x 的值.

5.已知 sinα =m, (|m|≤1) ,求 tanα 的值.

1.D

2.D

3. 3

1 1 ,得 sin x ? ? cos x 5 5 代入 sin2x+cos2x=1 得: (5cosx-4) (5cosx+3)=0 4 3 4 3 ∴ cos x ? 或 cos x ? ? 当 cos x ? 时,得 sin x ? ? 5 5 5 5 又∵ 0 ? x ? ? ,∴sinx>0,故这组解舍去 3 4 4 当 cos x ? ? 时, sin x ? , tan x ? ? 5 5 3 1 (2)∵ sin x ? cos x ? 5 1 12 ∴(sinx+cosx)2 = sin2x+cos2x+2sinxcosx = ∴ sin x cos x ? ? 25 25 24 49 ? 又 0 ? x ? ? ,sinx>0,∴cosx<0 (sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= 1 ? 25 25 7 又∵sinx – cosx>0∴sinx – cosx = 5 7 12 91 sin3x – cos3x = (sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)= ? (1 ? ) ? 5 25 125 sin ? ? 0 ;当 m=±1 时,α 的终边在 y 轴上,tanα 无 5.解:当 m=0 时, tan ? ? cos ? 意义。 当α 在一、四象限时,

4.解:由 sin x ? cos x ?

∵cosα >0∴ cos? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? m 2 ∴ tan? ? 当α 在二、三象限时,

sin ? m m 1 ? m2 ? ? cos? 1 ? m2 1 ? m2

∵cosα <0∴ cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? m 2

sin ? m m 1 ? m2 tan? ? ? ? cos? ? 1 ? m 2 m2 ?1


相关文章:
1.2.2 同角三角函数关系
(6,11) 日期 同角三角函数关系 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式; 2.正确运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值运算 3.通过利用三角函数的...
1.2.2、同角三角函数的基本关系教案
1.2.2同角三角函数的基本关系教学目的: 知识目标: 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值...
1.2.2同角三角函数的基本关系
1.2.2同角三角函数的基本关系_数学_高中教育_教育专区。1.2.2 同角三角函数的基本关系一、教学目标: 1、知识与技能 (1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系...
1.2.2同角三角函数的基本关系
1.2.2 同角三角函数的基本关系 教学目的: 知识目标:1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联 系; 2.熟练掌握已知一个角的三角函数...
1.2.2同角三角函数的基本关系
高一数学必修 4 导学案 使用时间 2014.4.9 1.2.2 同角三角函数的基本关系编制人:朱朝辉 审核人: 教学目标:1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本...
1.2.2 同角三角函数的基本关系
1.2.2 同角三角函数的基本关系教学目标: ⒈理解同角三角函数的基本关系式,会用解方程组的通法求三角函数值; 2.培养运用数形结合的思想解决有关求值问题;培养...
示范教案(1.2.2 同角三角函数的基本关系)
示范教案(1.2.2 同角三角函数的基本关系)_数学_高中教育_教育专区。示范教案:同角三角函数的基本关系1.2.2 同角三角函数的基本关系 整体设计 教学分析 与三角...
1.2.2 同角三角函数的基本关系(知识梳理+练习+答案)
1.2.2 同角三角函数的基本关系(知识梳理+练习+答案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第一章 三角函数 必修 4 1.2.2 同角三角函数的基本关系 知识梳理:...
1.2.2同角三角函数的基本关系
1.2.2 同角三角函数的基本关系 一、教学目标: (一)知识与技能目标: 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系; 2.熟练掌握已知一...
更多相关标签:
三角函数2倍角公式 | 任意角的三角函数2 | 1.2任意角的三角函数 | 三角函数诱导公式2 | 1.1锐角三角函数2 | 锐角三角函数2ppt | 三角函数 | 三角函数公式大全 |