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《二次函数》导学案


人教版九年级数学二次函数 精品导学案

(总计 14 课时)

课题:6.1 二次函数 6.1
学习目标: 学习目标: 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程,体会二次函数意义; 2.了解二次函数关系式,会确定二次函数关系式中各项的系数。 学习重点: 学习重点: 1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 2.能够表示简单变量之间的二次函数。 学习难点: 学习难点:确定实际问题中二次函数的关系式。 学习过程: 学习过程: 知识准备: 一、知识准备: 1.设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应, 那么就说 y 是 x 的 ,x 叫做 。 的图像是直线, 2.我们已经学过的函数有:一次函数、反比例函数,其中 的图像是双曲线。我们得到它们图像的方法和步骤是: ① ; ② ; ③ 。 3. 形如 y = ___________ , ( 函数,图像是经过 的直线;形如 y = )的函数是一次函数,当 ______ = 0 时,它是

k , ( x

)的函数是

函数,

它的表达式还可以写成:① 、② 提出问题(展示交流) 二、提出问题(展示交流) : 1.一粒石子投入水中,激起的波纹不断向外扩展,扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式 是 。 2.用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔,圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式 为 。 3.要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板,已知某种地板的价格为每平方米240元,踢 脚线价格为每米30元,如果其它费用为1000元,那么总费用y(元)与x(m)之间的函数关系式 。 是

: 三、归纳提高(讨论归纳) 归纳提高(讨论归纳) 观察上述函数函数关系有哪些共同之处?它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同? 。 一般地,形如 , ( ,且 )的函数为二次函数 二次函数。 二次函数 其中 x 是自变量, 函数。 注意: 注意 1、定义中只要求二次项系数 a 不为零(必须存在二次项) ,一次项系数 b、常数项 c 可以为零。
2 最简单形式的二次函数: y = ax ( a ≠ 0) 例如,y=-5x +100x+60000 和 y=100x +200x+100 都是二
2 2

次函数. 我们以前学过的正方形面积 A 与边长 a 的关系 A = a 2 , 圆面积 s 与半径 r 的关系 s = π r 2 等也都是二次函数的例子. 2、二次函数 y = ax 2 + bx + c 中自变量 x 的取值范围是 题中自变量的取值范围吗? 例题精讲(小组讨论交流) 四、例题精讲(小组讨论交流) : 例 1 函数 y=(m+2)x
m2 ?2

,你能说出上述三个问

+2x-1 是二次函数,则 m=



点拨:从二次函数的定义出发:看二次项的系数和次数确定 m 的取值

例 2.下列函数中是二次函数的有( ①y=x+ A.1 个



1 1 2 2 2 ;②y=3(x-1) +2;③y=(x+3) -2x ;④y= 2 +x. x x
B.2 个 C.3 个 D.4 个

例3、写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数. 2 ⑴圆的面积y(cm )与它的周长x(cm)之间的函数关系; ⑵某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息税,求本息和y(元)与所存年数x 之间的函数关系; 2 ⑶菱形的两条对角线的和为 26cm,求菱形的面积 S(cm )与一对角线长 x(cm)之间的函数关系

五、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》 (一)
1.下列函数中,二次函数是( A.y=6x +1
2

) C.y=

B.y=6x+1
2

6 x +1

D.y=

6 +1 x2


2.函数 y=(m-n)x +mx+n 是二次函数的条件是( A.m、n 为常数,且 m≠0 C.m、n 为常数,且 n≠0
2 2

B.m、n 为常数,且 m≠n D.m、n 可以为任何常数 )
2

3.半径为 3 的圆,如果半径增加 2x,则面积 S 与 x 之间的函数表达式为( AS=2π(x+3) B.S=9π+x C.S=4πx +12x+9 D S=4πx +12πx+9π

4.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( ) A.圆的周长与圆的半径之间的关系; B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;C.圆 柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系; D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系. 5.已知菱形的一条对角线长为 a,另一条对角线为它的 3 倍,用表达式表示出菱形的面积 S 与对 角线 a 的关系_________. 6.若一个边长为 x cm的无盖正方体形纸盒的表面积为 y cm 2 ,则 y = ___________ ,其中 x 的取 .. 值范围是 。 7.一矩形的长是宽的1.6倍,则该矩形的面积 S 与宽 x 之间函数关系式: S = 。 8.如图在长200米,宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路,请写出绿地面积 y (㎡)与路宽 x (m)之间的函数关系式: y = 。

9.如图, 用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园, 写出长方形花园的面积 y (㎡)与它 与墙平行的边的长 x (m)之间的函数 关系式: y = 。 10.已知函数 y = (m ? 3) x
m2 ? 7

是二次函数,求m的值.

课题:二次函数的图象与性质( 课题:二次函数的图象与性质(1) 一、学习目标 1.知识与技能 会用描点法画出二次函数 y = ax 2 的图象,概括出图象的特点及函数的性质. 2.过程和方法 利用描点法作出 y=x2 的图象过程中,理解掌握二次函数 y=x2 的性质。 3.情感和态度 鼓励学生在探索规律的教程中从多个角度进行考虑,品尝成功的喜悦,激发学生 应用数学的热情,培养学生主动探索,敢于实践,善于发现的科学精神,树立创新意 识。 二、知识准备 3 3 我 们 已 经 知 道 , 一 次 函 数 y = 2x + 1 , 反 比 例 函 数 y = y = 的图象分别 x x 是 、 ,那么二次函数 y = x 2 的图象是什么呢?

1.你能描述图象的形状吗?与同伴交流。 2.图象与 x 轴有交点吗?如果有,交点的坐标是什么? 3.当 x<0 时,y 随着 x 的增大,y 的值如何变化?当 x>0 时呢? 4.当 x 取什么值时,y 的值最小? 5.图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同 伴交流。 三、学习内容 在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?有何不同 点? (1) y = 2 x 2 (2) y = ?2 x 2

共同点:都以 y 轴为对称轴,顶点都在坐标原点. 不同点: y = 2x 2 的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边,曲线自 左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升. y = ?2x 2 的图象开口向下,顶点 是抛物线的最高点,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自 左向右下降. 注意点: 注意点: 在列表、 描点时, 要注意合理灵活地取值以及图形的对称性, 因为图象是抛物线, 因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接. 四、知识梳理 (1)二次函数 y=ax 的图象的性质: ①、图象——“抛物线”是轴对称图形; ②、与 x、y 轴交点——(0,0)即原点; ③、a 的绝对值越大抛物线开口越大, a﹥0,开口向上, 当 x﹤0 时,(对称轴左侧),y 随 x 的增大而减小(y 随 x 的减小而增大); 当 x﹥0 时,(对称轴右侧),y 随 x 的增大而增大(y 随 x 的减小而减小). a﹤0,开口向下, 当 x﹤0 时,(对称轴左侧),y 随 x 的增大而增大(y 随 x 的减小而减小) 当 x﹥0 时,(对称轴右侧),y 随 x 的增大而减小(y 随 x 的减小而增大) (2)今天我们通过观察收获不小,其实只要我们在日常生活中勤与观察,勤与思考, 你会发现知识无处不在,美无处不在。
2

五、课堂训

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》 (二)
1.若二次函数 y=ax (a≠0) ,图象过点 P(2,-8) ,则函数表达式为 2.函数 y=x 的图象的对称轴为 3.点 A(
2 2



,与对称轴的交点为

,是函数的顶点. ,

1 2 2 ,b)是抛物线 y=x 上的一点,则 b=
上;点 A 关于原点的对称点 C 是
2

;点 A 关于 y 轴的对称点 B 是 ,它在函数 上.

它在函数

4.如图,A、B 分别为 y=x 上两点,且线段 AB⊥y 轴,若 AB=6,则直线 AB 的表达式为( A.y=3 B.y=6 C.y=9 D.y=36



5.求直线 y=x 与抛物线 y=x 的交点坐标.

2

6.若 a>1,点(a-1,y1)(a,y2)(a+1,y3)都在函数 y=x 的图象上,判断 y1、y2、y3 的大 、 、 小关系?

2

课题:二次函数的图象与性质( 课题:二次函数的图象与性质(2)
一、学习目标: 学习目标: 1.知识与技能: 会画出 y = ax 2 + k 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. 2.过程和方法 经历探索二次函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象的作法和性质的过程, 进 一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验. 3.情感和态度 教学中为学生创造大量的操作, 思考和交流的机会, 培养了学生分析 解决问题的能力以及识图能力。 二、知识准备: 知识准备: 同学们还记得一次函数 y = 2 x 与 y = 2 x + 1 的图象的关系吗? 你 能 由 此 推 测 二 次 函 数 y = x2 与 y = x2 +1 的 图 象 之 间 的 关 系 吗? 动手操作、探究: 动手操作、探究: 在同一平面内画出函数 y=x2 与 y=x2-2 的图象。 ,那么 y = x 2 与 y = x 2 ? 2 的图象之间又有何关系?

比较它们的性质,你可以得到什么结论? 三、学习内容: 学习内容: 动手画: 在同一直角坐标系中, 画出函数 y = ? x 2 + 1 与 y = ? x 2 ? 1 的图象, 动手画: 并说明,通过怎样的平移,可以由抛物线 y = ? x 2 + 1 得到抛物线 y = ? x 2 ? 1 . 回顾与反思 抛物线 y = ? x 2 + 1 和抛物线 y = ? x 2 ? 1 分别是由抛物线 y = ? x 2

向上、向下平移一个单位得到的.

探索 移?

如果要得到抛物线 y = ? x 2 + 4 ,应将抛物线 y = ? x 2 ? 1 作怎样的平

四、知识梳理 1、函数 y = ax 2 + k 与 y = ax 2 图像的关系。 2、能说出 y=ax2+c 与 y=ax2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标、增减 性。

五、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》 (三)
1.抛物线 y=-4x -4 的开口向 2.当 m= 时,y=(m-1)x
2 2

,当 x=
m2 + m

时,y 有最

值,y=



-3m 是关于 x 的二次函数.

,B(2,y) ,则 x= ,y= . 3.抛物线 y=-3x 上两点 A(x,-27) 2 4.抛物线 y=3x 与直线 y=kx+3 的交点为(2,b) ,则 k= ,b= . 5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,且经过点(-1,-2) ,则抛物线的表达式为 . 2 6.在同一坐标系中,图象与 y=2x 的图象关于 x 轴对称的是( ) A.y= x

1 2

2

B.y=-
2 2

1 2 2x
2

C.y=-2x

2

D.y=-x ) D.无法确定

2

7.抛物线,y=4x ,y=-2x 的图象,开口最大的是( A.y=

1 2 4x

B.y=4x

C.y=-2x

2

8.对于抛物线 y=

1 2 1 2 x 和 y=- x 在同一坐标系里的位置,下列说法错误的是( 3 3



A.两条抛物线关于 x 轴对称 B.两条抛物线关于原点对称 C.两条抛物线关于 y 轴对称 D.两条抛物线的交点为原点 2 9.二次函数 y=ax 与一次函数 y=ax+a 在同一坐标系中的图象大致为(



10.已知函数 y=ax 的图象与直线 y=-x+4 在第一象限内的交点和它与直线 y=x 在第一象限内的 交点相同,则 a 的值为( ) A.4 B.2 C.

2

1 2
2

D.

1 4

. 11.已知直线 y=-2x+3 与抛物线 y=ax 相交于 A、B 两点,且 A 点坐标为(-3,m) (1)求 a、m 的值;

(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标; 2 (3)x 取何值时,二次函数 y=ax 中的 y 随 x 的增大而减小; 2 (4)求 A、B 两点及二次函数 y=ax 的图象顶点构成的三角形的面积.

课题:二次函数的图象与性质( 课题:二次函数的图象与性质(3)
一、学习目标 1、经历探索二次函数 y=ax +k(a≠0)及 y=a(x+m) (a≠0)的图象作法和性质的过程。 2、能够理解函数 y=ax +k(a≠0)及 y=a(x+m) (a≠0)与 y=ax 的图象的关系,了解 a,m,k 对 二次函数图象的影响。 3、能正确说出函数 y=ax +k, y=a(x+m) 的图象的开口方向,顶点坐标和对称轴。 4.通过比较抛物线 总结的能力; 二、知识准备 1.什么是二次函数? 与 同 的相互关系,培养学生观察、分析、
2 2 2 2 2 2 2

2.我们已研究过了什么样的二次函数? 3.形如 的二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标各是什么?

我们已经了解到,函数 y = ax 2 + k 的图象,可以由函数 y = ax 2 的图象上下平移所得,那么 函数 y =

1 1 ( x ? 2) 2 的图象,是否也可以由函数 y = x 2 平移而得呢?画图试一试,你能从中发 2 2

现什么规律吗? 三、学习内容 1、在平面直角坐标系中,并画出函数 y = ( x + 1) 2 的图象。

2、比较它与函数 y = x 2 的图象之间的关系。 结论: (1)抛物线 y=a(x+m) (a≠0)与抛物线 y=ax (a≠0)的形状一样,只是位置不同,因此抛物线 y=a(x+m) 可通过平移抛物线 y=ax (a≠0)得到。当 m>0 时,把抛物线 y=ax (a≠0)向左平移|m|
2 2 2 2 2

个单位得到抛物线 y=a(x+m) ,当 m<0 时,把抛物线 y=ax (a≠0)向右平移|m|个单位得到抛物线 y=a(x+m)
2

2

2

(2)抛物线 y=a(x+m) (a≠0)的顶点坐标是(-m,0),对称轴是直线 x=-m,当 a>0 时,若 x= -m,当 a>0 时,若 x=-m,y 有最小值 0,当 a<0 时,若 a=-m,y 有最大值 0 四、知识梳理 本节课教学了二次函数 下表: 表一: 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 与 的图象的画法,主要内容如下。 填写

2

表二: 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标

五、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》 (四)
1.画图填空:抛物线 y = ( x ? 1) 2 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标 2 是 ,它可以看作是由抛物线 y = x 向 平移 个单位得到的. 1 时,函数值 y 随 x 的增大而减小;当 x 2.对于抛物线 y = ( x + 2) 2 ,当 x 2 时,函数值 y 随 x 的增大而增大;当 x 时,函数取得最 值,最 值 y= . 3.函数 y=x2-3 是由 y=x2 向_____平移_____单位得到的。 4.函数 y=x2+1 是由 y=x2-2 向_____平移_____单位得到的。 5.函数 y= 1 2 1 2 x -4 是由 y= x +5 向_____平移_____单位得到的。 3 3

6.函数 y=(x-3)2 是由 y=x2 向_____平移_____单位得到的。 7.(1)二次函数 y=2(x+5)2 的图像是 ,开口 ,对称轴 是 ,当 x= 时,y 有最 值,是 . 2 2 平移 个 (2) 二次函数 y=-3 x-4)的图像是由抛物线 y= -3x 向 ( 单位得到的;开口 ,对称轴是 ,当 x= 时,y 有最 值,是 (3)将二次函数 y=2x2 的图像向右平移 3 个单位后得到函数 的 图像,其对称轴是 ,顶点是 ,当 x 时,y 随 x 的增大而增大;当 x 时,y 随 x 的增大而减小。 2 8.已知抛物线 y=x 上有一点 A,A 的横坐标为-1,过 A 点作 AB∥x 轴,交抛物线于 另一点 B,求△AOB 的面积。

课题:二次函数的图象与性质( 课题:二次函数的图象与性质(4)
一、学习目标 知识与技能: 1.掌握把抛物线 y = ax 2 平移至 y = a ( x ? h ) 2 +k 的规律; 2.会画出 y = a ( x ? h ) 2 +k 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. 过程和方法: 经历探索二次函数 y = ax 2 平移至 y = a ( x ? h ) 2 +k 的过程,进一步获得 y = a ( x ? h ) 2 +k 图象与性质。 情感和态度: 教学中为学生创造大量的操作, 思考和交流的机会, 培养了学生分析解决问题的能力以及识图 能力。 二、知识准备 1、请你在同一直角坐标系内,画出函数 出它们的开口方向,对称轴及顶点坐标 的图像,并指

2、你能否在这个直角坐标系中,再画出函数

的图像?

3、你能否指出抛物线 抛物线的性质填入所列的有中,如下表: 抛物线

的开口方向,对称轴,顶点坐标?将在上面练习中三条

开口方向

对称轴

顶点坐标

三、学习内容 二次函数图象的变化规律: 左加右减,上加下减 例 1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

y=

1 2 1 1 x , y = ( x ? 1) 2 , y = ( x ? 1) 2 ? 2 ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2 2 2

解 (1)列表:略(2)描点: (3)连线,画出这三个函数的图象,如图 26.2.6 所示.

观察: 它们的开口方向都向 ,对称轴分别为 分别为 、 、 . 请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.





,顶点坐标

2 探索 你能说出函数 y = a ( x ? h ) +k(a、h、k 是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶

点坐标吗? 四、知识梳理 1、二次函数的图象的变化规律: 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数 y = a ( x ? h ) 2 +k 中 k 的值;左右平移,只影响 h 的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式 及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关. 2、二次函数 y = a ( x ? h ) 2 +k 的开口方向,对称轴,顶点坐标

五、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》 (五)
1、抛物线 y = 2 ( x ? 4 ) ? 1 的开口
2

,顶点坐标是 .

,对称轴是 时,y 随 x 的增大而 )

;当 x= ,

时,y 有最 值为 在对称轴右侧,即当 x

;在对称轴左侧,即当 x 时,y 随 x 的增大而

1 1 2 2 2、二次函数 y = ( x ? 1) + 2 的图象可由 y = x 的图象( 2 2
A.向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得到 B.向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位得到 C.向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得到 D.向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位得到 3.抛物线 y = ? = 向
1 2 ( x ? 6 ) + 5 开口 3

,顶点坐标是 。

,对称轴是

,当 x

时,y 有最
2

值为

4.函数 y = 5 ( x ? 3) ? 2 的图象可由函数 y = 5 x 2 的图象沿 x 轴向 平移 个单位得到。
2

平移

个单位, 再沿 y 轴

5. 若 把 函 数 y = 5 ( x ? 2 ) ? 2 的 图 象 分 别 向 下 、 向 左 移 动 2 个 单 位 , 则 得 到 的 函 数 解 析 式 为 。 2 2 6.把二次函数 y=x -4x+5 化成 y=(x—h) +k 的形式:y=
2 2



7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 y = 2 x 相同,对称轴和抛物线 y = ( x ? 2 ) 相同,且顶点 纵坐标为 0,求此抛物线的解析式.

8.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.

y = ?2x 2 , y = ?2( x ? 3) 2 , y = ?2( x + 3) 2 ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

课题:二次函数的图象与性质(5) 课题:二次函数的图象与性质(5)
一、学习目标 知识与技能: 1.能通过配方把二次函数 y = ax 2 + bx + c 化成 y = a ( x ? h) 2 +k 的形式,从而确定开口方向、 对称轴和顶点坐标。 2.会利用对称性画出二次函数的图象. 过程和方法: 经历探索二次函数图象的作法和性质的过程,进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起 来的经验. 情感和态度: 教学中为学生创造大量的操作, 思考和交流的机会, 鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度 进行考虑,激发学生学习数学的热情,培养学生主动探索,敢于探索,敢干实践,善于发现的科 学精神以及合作精神,树立创新意识。 二、知识准备 1、填空 (1)x +6x+___________=(x+________) (3)x +4x+9=(x+2) +____________ 2、填表 抛物线 y=-3(x-2) +1 y=-3(x-3) -2 1 2 y=- (x-4) +5 2 1 2 y= (x+3) -4 6 探索活动
2 2 2 2 2 2

9 2 2 (2)x - x+____=(x-_______) 2 5 2 2 (4)x -5x+8=(x- ) +________ 2

开口方向

顶点坐标

对称轴

最值

活动一:探索二次函数 y=a(x+m)2+k 的图象与性质

活动二:探索二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质
由配方得 y=ax +bx+c= 由此可知,二次函数 y=ax +bx+c 的图象是抛物线,它的顶点坐标是( 点且与 y 轴平行的直线(当 b=0 时,对称轴是 y 轴) 三、学习内容
2 例 1.通过配方,确定抛物线 y = ?2 x + 4 x + 6 的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.
2 2

),对称轴是过顶



y = ?2 x 2 + 4 x + 6
= ? 2( x 2 ? 2 x ) + 6 = ?2( x 2 ? 2 x + 1 ? 1) + 6 = ? 2( x ? 1) 2 ? 1 + 6 = ?2( x ? 1) + 8
2

[

]

因此,抛物线开口向下,对称轴是直线 x=1,顶点坐标为(1,8) . 由对称性列表: x -2 -1 0 0 6 1 8 2 6 3 4

= ?2 x 2 + 4 x + 6 10

0 -10

描点、连线,如图 26.2.7 所示.

回顾与反思 (1)列表时选值,应以对称轴 x=1 为中心,函数值可由对称性得到, . (2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴, 然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点. 例 2.已知抛物线 y = x 2 ? (a + 2) x + 9 的顶点在坐标轴上,求 a 的值. 分析 : 顶点在坐标轴上有两种可能: (1)顶点在 x 轴上,则顶点的纵坐标等于 0; (2)顶点在 y 轴上,则顶点的横坐标等于 0.

四、知识梳理 顶点坐标和对称轴。 1、 能通过配方法确定二次函数 y=ax +bx+c 的图象的开口方向,
2

2、理解二次函数的性质,了解函数图象的变换,并能解决有关问题。

五、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》 (六)
1.抛物线 y=-2x +6x-1 的顶点坐标为
2 2

,对称轴为

. )

2.如图,若 a<0,b>0,c<0,则抛物线 y=ax +bx+c 的大致图象为(

3.抛物线 y=2x 向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位,得到的抛物线表达式为 . 4.函数 y=ax +bx+c 和 y=ax+b 在同一坐标系中如图所示,则正确的是(
2

2



5.抛物线 y = ax 2 + 2 x + c 的顶点是 ( ,?1) ,则 a =

1 3



c =



6.心理学家发现,学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x(单位:分)之间满足函数 关系 y=-0.1x +2.6x+43(0≤x≤30) 值越大,表示接受能力越强. .y (1) 在什么范围内, x 学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内, 学生的接受能力逐渐降低? (2)第 10 分时,学生的接受能力是多少? (3)第几分时,学生的接受能力最强?
2

二次函数与一元二次方程( 6.3 二次函数与一元二次方程(1)
学习目标: 学习目标: 1、 体会二次函数与方程之间的联系。 理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的 个数之间的关系,及何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根。 2、理解一元二次方程的根就是二次函数 y=h(h 是实数)图象交点的横坐标. 学习重点: 学习重点: 本节重点把握二次函数图象与 x 轴(或 y=h)交点的个数与一元二次方程的根的关系. 2 2 关键是理解二次函数 y=ax +bx+c 图象与 x 轴交点,即 y=0,时 ax +bx+c=0,从而转化为 方程的根,再应用根的判别式,求根公式判断,求解即可, 学习难点: 学习难点: 应用一元二次方程根的判别式,及求根公式,来对二次函数及其图象进行进一步的理解.此 点一定要结合二次函数的图象加以记忆. 学习方法: 学习方法 讨论探索法。 学习过程: 学习过程: 课前预习: 一、课前预习: 在同一坐标系中画出二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象并回答下列问题: (1)每个图象与 x 轴有几个交点? (2)一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0 有几个根?验证:一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗? (3)比较二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根有什么关系? 学生观察、 二、学生观察、讨论交流 2 2 1、观察二次函数 y=x -2x-3 的图像你能确定方程 x -2x-3=0 的根吗? 2 (二次函数 y=x -2x-3 的图像与 x 轴的交点坐标分别是(-1,0) 和(3,0) 2 由此可知,当 x=-1 时,y=0 即 x -2x-3=0 也就是说 x=-1 是一元二次方程 2 2 2 x -2x-3=0 的一个根;当 x=3 时,y=0 即 x -2x-3=0 也就是说 x=3 是一元二次方程 x -2x-3=0 的另一 个根) y
4 3 2 1

-4 -3 -2 -1

O -1 1 -2 -3 -4

2

3

4

x

2、观察二次函数 y=x -6x-9 的图象说出一元二次方程 x -6x-9=0 的根情况 2 2 3、观察二次函数 y=x -2x+3 的图象说出一元二次方程 x -2x+3=0 的根情况 y y 4
3 2 1 4 3 2 1

2

2

O1 2 3 4 5 6 7 x -1 -1 O -1 -1 1 2 3 4 5 6 7 x 三、讨论归纳新知: 讨论归纳新知: -2 -2 2 2 -3 -3 1、二次函数 y=ax +bx+c 的 图象与一元二次方程 ax +bx+c=0 的根有如下关系: -4 2 -4 ①二次函数 y=ax +bx+c 的 图象与 x 轴有两个公共点(x1,0) (x2,0) 时 2 一元二次方程 ax +bx+c=0 就有两个不相等的实数根 x1 和 x2 2 ②二次函数 y=ax +bx+c 的 图象与 x 轴有且只有一个公共点(x1,0)时 2 一元二次方程 ax +bx+c=0 就有两个相等的实数根 x1=x2 2 ③二次函数 y=ax +bx+c 的 图象与 x 轴没有公共点时 2 一元二次方程 ax +bx+c=0 就有没有实数根; 2 2 反之根据一元二次方程 ax +bx+c=0 的根的情况,可以知道二次函数 y=ax +bx+c 的 图象与 x 轴位置关系 2 2.你能利用 a、b、c 之间的某种关系判断二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴何时有两个交点、 一个交点,何时没有交点? 四、例题讲解 2 例 1、已知二次函数 y=kx -7x-7 的图象与 x 轴有两个交点,则 k 的取值范围为 .

例 2、抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A(-3,0) ,对称轴为 x=-1,顶点 C 到 x 轴的距离为 2,求此抛物线表达式.

2

五、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》 (七)
1.抛物线 y=a(x-2) (x+5)与 x 轴的交点坐标为 2 . 2.抛物线 y=2x +8x+m 与 x 轴只有一个交点,则 m= 2 3.已知抛物线 y=ax +bx+c 的系数有 a-b+c=0,则这条抛物线经过点 . 2 4.二次函数 y=kx +3x-4 的图象与 x 轴有两个交点,则 k 的取值范围 . 2 5.抛物线 y=3x +5x 与两坐标轴交点的个数为( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.无 2 2 象限. 6.若 a>0,b>0,c>0,b -4ac>0,那么抛物线 y=ax +bx+c 经过 2 __与 x 轴的交点坐标是________. 7.抛物线 y=x -2x-8 的顶点坐标是 2 8.抛物线 y=3x +mx+4 与 x 轴只有一个交点,则 m= . 9.在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)的关系满足 y= -

1 2 5 x +10x.
(1)经过多长时间,炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多少? (2)经过多长时间,炮弹落在地上爆炸?

10.已知抛物线 y=mx +(3-2m)x+m-2(m≠0)与 x 轴有两个不同的交点. (1)求 m 的取值范围; (2)判断点 P(1,1)是否在抛物线上;

2

11.已知二次函数 y=x +mx+m-2.求证:无论 m 取何实数,抛物线总与 x 轴有两个交点.

2

二次函数的运用( 6.4 二次函数的运用(1)
学习目标: 学习目标: 体会二次函数是一类最优化问题的数学模型.了解数学的应用价值,掌握实际问 题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小 值. 学习重点: 学习重点: 本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值.应用二次函数解决实际问题, 要能正确分析和把握实际问题的数量关系,从而得到函数关系,再求最值.实际问题 的最值,不仅可以帮助我们解决一些实际问题,也是中考中经常出现的一种题型. 学习难点: 学习难点: 本节难点在于能正确理解题意,找准数量关系.这就需要同学们在平时解答此类 问题时,在平时生活中注意观察和积累,使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确 分析,正确解题.

学习过程: 一、 出示例题,学生自主探究、交流
某种粮大户去年种植优质水稻 360 亩,今年计划增加承租 x(100≤x≤150)亩, 预计, 原种植的 360 亩水稻今年每亩可收益 440 元, 新增地今年每亩的收益为 (440-2x) 元,试问,该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻,才能使总收益最大?最大收益是 多少?

1、分析讨论,找出关系 2、正确写出函数关系式 y=440×360+(440-2x)x 3、质疑问难,达成共识 二、分组做一做 1、 某商店经营 T 恤衫,已知成批购进时单价是 2.5 元.根据市场调查, 销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是 13.5 元时,销售 量是 500 件,而单价每降低 1 元,就可以多售出 200 件. 请你帮助分析:销 售单价是多少时,可以获利最多?

2、某果园有 100 棵橙子树,每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种 一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树 所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少 结 5 个橙子. ⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的 关系. ⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关 系.? ⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在 60400 个以上? 三、学习方法归纳 1、根据实际 问题中的数量关系,提炼为二次函数的数学问题; 2、根据二次函数关系,求出最大值或最小值; 3、考查所得到的值是否符合实际问题的意义,明晰结论。 四、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》 (八)
1.关于二次函数 y=ax +bx+c 的图象有下列命题: 2 ①当 c=0 时,函数的图象经过原点;②当 c>0 且函数图象开口向下时,方程 ax +bx+c=0
2

4ac ? b 2 必有两个不等实根;③当 a<0,函数的图象最高点的纵坐标是 ;④当 b=0 时,函数的 4a
图象关于 y 轴对称.其中正确命题的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.某类产品按质量共分为 10 个档次,生产最低档次产品每件利润为 8 元,如果每提高一个档次 每件利润增加 2 元.用同样的工时,最低档次产品每天可生产 60 件,每提高一个档次将少生产 3 件,求生产何种档次的产品利润最大? 3.某商场经营一批进价为 2 元一件的小商品,在市场营销中发现此商品的日销售单价 x 元与日销 售量 y 件之间有如下关系:

(1)在所给的直角坐标系甲中:①根据表中提供的数据描出实数对(x,y)的对应点;②猜测并 确定日销售量 y 件与日销售单价 x 元之间的函数表达式,并画出图象. (2)设经营此商品的日销售利润(不考虑其他因素)为 P 元,根据日销售规律: ①试求出日销售利润 P 元与日销售单价 x 元之间的函数表达式, 并求出日销售单价 x 为多少元时, 才能获得最大日销售利润?试问日销售利润 P 是否存在最小值?若有,试求出;若无,请说明理 由. ②在给定的直角坐标系乙中,画出日销售利润 P 元与日销售单价 x 元之间的函数图象的简图,观 察图象,写出 x 与 P 的取值范围.

二次函数的应用( 6.4 二次函数的应用(2)
学习目标: 学习目标: 目标 掌握长方形和窗户透光最大面积问题,体会数学的模型思想和数学应用价值.学会分析和表 示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识解决实际问题. 学习重点 重点: 学习重点: 本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题,这是本书惟一的一种类型,也是二次 函数综合题目中常见的一种类型.在二次函数的应用中占有重要的地位,是经常考查的题型,根 据图形中的线段之间的关系,与二次函数结合,可解决此类问题. 学习难点 难点: 学习难点: 由图中找到二次函数表达式是本节的难点,它常用的有三角形相似,对应线段成比例,面积 公式等,应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式. 学习过程: 学习过程: 一、自学自研课本 25 页问题 1 分析: 分析: 的相等,由于窗框的总长度 根据制作要求,半圆形窗框的直径应与 已确定,所以矩形窗框的高也随 而确定,因此,要解决该窗透光面积最大 的问题, 应建立窗户的透光面积与 之间的函数关系, 然后 求出 根据 展示成果:请两名同学写出关系式 展示成果 评价:指出解决问题的关键 评价 二、做一做 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD,其中 AB 和 AD 分别在两直角边上. (1)设矩形的一边 AB=xcm,那么 AD 边的长度如何表示? (2)设矩形的面积为 ym2,当 x 取何值时,y 的最大值是多少?

三、知识梳理 找到函数关系式的方法。 1、利用几何图形的有关性质,探索量与量之间的关系,确定函数关系; 2、注意自变量的取值范围; 3、检查实际意义的准确性。

四、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》 (九)
1、如图⑴,在 Rt△ABC 中,AC=3cm,BC=4cm,四边形 CFDE 为矩形,其中 CF、CE 在两直角边上, 设矩形的一边 CF=xcm.当 x 取何值时,矩形 ECFD 的面积最大?最大是多少?

如图⑵,在 Rt△ABC 中,作一个长方形 DEGF,其中 FG 边在斜边上,AC=3cm,BC=4cm,那么长方 形 OEGF 的面积最大是多少?

如图⑶,已知△ABC,矩形 GDEF 的 DE 边在 BC 边上.G、F 分别在 AB、AC 边上,BC=5cm,S△ABC 为 30cm ,AH 为△ABC 在 BC 边上的高,求△ABC 的内接长方形的最大面积.
2

2、甲、乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一颗十分关键的球,出手点为 P ,羽毛球飞行的水平距 离 s (米)与其距地面高度 h (米)之间的关系式为 h = ? 原点 5 米,乙(用线段 CD 表示)扣球的最大高度为

1 2 2 3 s + s + .如图,已知球网 AB 距 12 3 2

9 米,设乙的起跳点 C 的横坐标为 m ,若乙 4
h/米 D P B s/米

原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接 球失败,则 m 的取值范围是 .

O

A C

二次函数的应用( 6.4 二次函数的应用(3)
学习目标: 学习目标: 目标 了解数学的应用价值, 掌握实际问题中变量之间的二次函数关系, 并 运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值. 学习重点: 学习重点: 重点 是应用二次函数解决实际问题中的最值.应用二次函数解决实际问 题,要能正确分析和把握实际问题的数量关系,从而得到函数关系,再求 最值.实际问题的最值,不仅可以帮助我们解决一些实际问题,也是中考 中经常出现的一种题型. 学习难点: 学习难点: 难点 本节难点在于能正确理解题意,找准数量关系.建立直角坐标系。 学习过程: 学习过程 自主学习, 一、 自主学习,相互探究课本 27 页的问题 2 1、本课时将探索由形(函数图像)到数(函数关系式)的实际问题,这 里的“形”是由运动产生的,一旦运动停止, “形”便消失,确定这些隐 性的函数关系式,并进行有效调控,可以使实际问题获得理想的解决。 2、根据 D 点的几何性,确定其坐标; 3、给出符合实际的解释。 二、分组做一做 1、在平原上,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时 间 x(s)的关系满足 y=- 5 x2+10x.
1

(1)经过多长时间,炮弹达到它的最高点?最高点的高度是多 少? (2)经过多长时间,炮弹落在地上爆炸? 2、如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安 装一个柱子 OA,O 恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端 A 处的喷头向外喷 水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要 求设计成水流在离 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2.25m. (1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少 m,才能使喷出的水流 不致落到池外? (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为 3.5m,要使水流 不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少 m(精确到 0.1m)?

三、收获与学法归纳 1、探索问题解决的总体思路和方案; 2、合理的建立平面直角坐标系;将抛物线形的事物数学化; 3、根据平面坐标系中的图像特征,探求抛物线的解析式; 4、对求得的结果要进行科学的取舍。

四、课堂训练

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》 (十)
1.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图所示,大门地面宽 AB=4m,顶部 C 离地面高度为 4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面 2.8m,装货宽度为 2.4m.请判 断这辆汽车能否顺利通过大门.

2.一个涵洞成抛物线形,它的截面如图现测得,当水面宽 AB=1.6 m 时,涵洞顶点与水面的距离 为 2.4 m.这时,离开水面 1.5 m 处,涵洞宽 ED 是多少?是否会超过 1 m?

回顾与思考( 课时) 回顾与思考(2 课时)
知识目标: 1、了解二次函数解析式的三种表示方法; 2、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等; 3、一元二次方程与抛物线的结合与应用。 4、利用二次函数解决实际问题。 技能目标: 培养学生运用函数知识与几何知识解决数学综合题和实际问题的能力。 情感目标: 1、通过问题情境和探索活动的创设,激发学生的学习兴趣; 2.让学生感受到数学与人类生活的密切联系,体会到学习数学的乐趣。 复习重、难点:函数综合题型 复习重、难点 复习过程: 复习过程 一、知识梳理 1、二次函数的概念及一般形式。 2、填表: 抛物线 y=ax
2 2

对称轴

顶点坐标

开口方向

Y=ax +k Y=a(x-h)
2 2

当 a>0 时, 开口 当 a<0 时, 开口

y=a(x-h) +k Y=ax +bx+c
2

3、二次函数 y=ax2+bx+c,当 a>0 时,在对称轴右侧,y 随 x 的增大 而 ,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而 ;当 a<0 时,在对

称轴右侧,y 随 x 的增大而

, 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而 点,此时函数有最 值

4、抛物线 y=ax2+bx+c,当 a>0 时图象有最 值 ;当 a<0 时图象有最

点,此时函数有最

二、探究、讨论、练习 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,试判断下面各式的符号: (1)abc (2)b2-4ac (3)2a+b (4)a+b+c

2、已知抛物线 y=x +(2k+1)x-k +k (1) 求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点; 2 2 2 (2)设 A(x1,0)和 B(x2,0)是此抛物线与 x 轴的两个交点,且满足 x1 +x2 = -2k +2k+1,①求 抛物线的解析式 ②此抛物线上是否存在一点 P,使△PAB 的面积等于 3,若存在,请求出点 P 的坐标;若不 存在,请说明理由。 三、归纳小结: 提问:通过本节课的练习,你学到了什么知识? 四、用数学(利用二次函数解决实际问题) 一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为 2.5 米时,达到的最大高度是 3.5 米,然后准确落入篮圈,已知篮球中心到地面的距离为 3.05 米, (1)根据题意建立直角坐标系,并求出抛物线的解析式。 (2)该运动员的身高是 1.8 米,在这次跳投中,球在头顶上方 0.25 米,问:球出手时,他跳 离地面的高度是多少? 五、课堂训练

2

2

邹庄中学初三数学课课练 第六章《二次函数》 (十一)
一、填空题: 填空题: 1.抛物线 y = ?

1 (x ? 2)2 + 5 的对称轴是 2

.这条抛物线的开口向
2

. . .

2.用配方法将二次函数 y = 3 x 2 ? 2 x ? 1 化成 y = a ( x ? h ) + k 的形式是 3.已知二次函数 y = x 2 + bx + 3 的图象的顶点的横坐标是 1,则 b= 4.二次函数 y = ? x 2 + 4 x 的图象的顶点坐标是

,在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而 . .

5.若抛物线 y = 4 x 2 ? 2 x + c 的顶点在 x 轴上,则 c= 6.已知二次函数 y = x 2 ? 6 x + m 的最小值是 1,那么 m 的值是 7.若抛物线 y = mx 2 ? (2m + 1)x 经过原点,则 m= 二、选择题: 选择题: 8.抛物线 y = 2( x + 1)( x ? 3) 的顶点坐标是( (A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); ). (D)(1,-8); .

9.对于抛物线 y = 2 x 2 ? 12 x + 17 ,下列结论正确的是( ). (A)对称轴是直线 x=3,有最大值为 1;(B)对称轴是直线 x=3,有最小值为-1; (C)对称轴是直线 x=-3,有最大值为 1;(D)对称轴是直线 x=-3,有最小值为-1; 10.已知直线 y=x+m 与抛物线 y = x 2 相交于两点,则实数 m 的取值范围是( ). (A)m﹥ ?

1 1 1 1 ; (B)m﹤ ? ; (C)m﹥ ; (D) m﹤ . 4 4 4 4

11.抛物线 y = x 2 ? 3 x + 2 不经过( ). (A)第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限 12.已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是 ( ). (A) y = ? x 2 ? 4 x ? 3 , (B) y = ? x 2 ? 4 x + 3 , (C) y = x 2 ? 4 x ? 3 ,(D) y = ? x 2 + 4 x ? 3 , 13.在同一直角坐标系中,抛物线 y = x 2 + 4 x ? 5 与直线 y=2x-6 的交点个数是( ). (A)0 个; (B)1 个; 解答下列各题: 三、解答下列各题: (C)2 个; (D)3 个.

14.已知二次函数 y = ax + bx + c 的图象经过 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,求这个二次函数
2

的解析式.

15.某商人如果将进货价为 8 元的商品按每件 10 元出售, 每天可销售 100 件, 现采用提高售出价, 减少进货量的办法增加利润, 已知这种商品每涨价 1 元其销售量就要减少 10 件, 问他将售出价 定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大利润.

16.如图,在一块三角形区域 ABC 中,∠C=90°,边 AC=8,BC=6,现要在△ABC 内建造一个矩形水 池 DEFG,如图的设计方案是使 DE 在 AB 上。 ⑴求△ABC 中 AB 边上的高 h; ⑵设 DG=x,当 x 取何值时,水池 DEFG 的面积最大? ⑶实际施工时,发现在 AB 上距 B 点 1.85 的 M 处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩 形水池的边上?如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使三角形区域中欲建的最大矩形水 池能避开大树。
C

G

F

A

D

E

B


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