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2011年11月份安徽优质课大赛课件二分法


3.1.2用二分法求方程的近似解

数学发现之旅从这里开始……

创设情境

问题1:你会求下列方程的解吗?
(1) x 2 (2 ) (3 )
5

?1 ? 0

x ? 3x ? 1 ? 0 ln x ? 2 x ? 6 ? 0

方法探究

问题2:求方程lnx+2x-6=0的实数根.(精确度0.01)
复习回顾
函数y=f(x) 有零点

方程f(x)=0 有实数根

函数y=f(x)的图 像与x轴有交点

如果函数 y ? f ( x) 在区间? a, b ? 上的图像是连续不断的一条曲线,
并且有 f (a) ? f (b) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

方法探究 (1)大家能否找出方程lnx+2x-6=0的一个实数解 y 的存在区间呢?
6

y= lnx
O 1234

x

y=-2x +6
x 1
-4

2

3

4

-1.3069 1.0986 3.3863

f(x)

方法探究

(2)有解区间越小说明什么问题? (3)在区间(2,3)内精确度为0.01如何理解? (4)现在已经知道函数f(x)=lnx+2x-6 在区间(2,3)内有零点,且f(2)<0,f(3)>0. 如何使方程实数解的存在区间越来越小呢? (5)如果刚好某个区间中点x0满足f(x0)=0, 说明什么?

分组实践
用每次二等分区间来细分方程实数解的存在区间的方法 求方程lnx+2x-6=0的一个近似解.(精确度0.01)

excel

几何画板

揭示规律

1.二分法

对于在区间[a,b]上连续不断且f (a )f (b)<0 的函数y=f (x),通过不断地把函数y=f (x)的零
点所在的区间一分为二,使区间的两个端 点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法. 二分法的实质

揭示规律

2、简述用二分法求函数零点近似值的步骤:

(1)确定零点所在区间. 方法:试值;图象 (2)不断缩小零点所在的区间. 方法:取中点 (3)根据精确度判断何时停止.

3.给定精确度? , 用二分法求函数f ( x)零点近似值的

揭示规律

(1).确定区间 a, b], 验证f (a) ? f (b) ? 0, 给定精确度? ; [
(2).求区间(a, b)的中点c;

步骤如下 :

(3).计算f (c);
i)若f (c) ? 0, 则c就是函数的零点 ;
ii)若f (a) ? f (c) ? 0, 则令b ? c(此时零点x0 ? (a, c));

iii)若f (c) ? f (b) ? 0, 则令a ? c(此时零点x0 ? (c, b)).

(4).判断是否达到精确度 : 即| a ? b |? ? , 则得到零点 ? 近似值a(或b); 否则重复(2) ~ (4).

例题剖析
例、 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7的近似解(精确度0.1)
解:原方程即2x+3x=7,令f(x)= 2x+3x-7,用计算器 作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表和图象如下:

x

0

1 2

3

4

5

6 75

7 142

8 273

f(x) -6 - 3 10 2 40 2 1
excel

图像

牛刀小试

1、下列函数中能用二分法求零点的是(
y y y


y

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

2、用二分法求函数y=f(x)在(3,4)内零点近似值的过 程中得到f(3)<0,f(3.5)>0,f(3.25)<0,则下面一定存在 零点的区间是( ) A.(3,3.25)B.(3.25,3.5)C.(3.5,4)D.不能确定

小结

(1)二分法的实质.
一分为二

逐步逼近
(2)用二分法求方程近似解的步骤.

(3) 数学思想.

数形结合、函数与方程、 从特殊到一般、逼近思想 .




中值计算两边看. 零点落在异号间. 精确度上来判断.

定区间,找中点, 同号去,异号算, 周而复始怎么办?

作业
1、书面作业: 必做题:课本P92 习题 3.1A组3、4、5 选做题: 用二分法求 3 3的近似值 (精确度0.01)。

2 谈谈通过学习求方程的近似解,你对数学有 . 了哪些新的认识?将这节课的收获与感受写

成一篇小报告或小论文.
如《二分法的应用》、《我看“逼近”思想》等等

交流合作

在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪 指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10km 长的线路,每隔50m有一根电线杆,维修工人需 爬上电线杆测试.你帮他想想方法.

故障点的范围缩小到50~100m左右


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