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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第2届)无答案


国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 2 届) 1. 找出所有具有下列性质的三位数 N: N 能被 11 整除且 N/11 等于 N 的各位数字的平 方和. 2. 寻找使下式成立的实数 x: 4x2 /(1 ? (1 ? 2x))2 ? 2x ? 9 3. 直角三角形 ABC 的斜边 BC 的长为 a,将它分成 n 等份(n 为奇数) ,令?为从 A 点向中间的那一小段线段所张的锐角,从 A 到 BC 边的高长为 h,求证: tan ? = 4nh/(an2 - a). 4. 已知从 A、B 引出的高线长度以及从 A 引出的中线长,求作三角形 ABC. 5. 正方体 ABCDA'B'C'D'(上底面 ABCD,下底面 A'B'C'D') .X 是对角线 AC 上任意一 点,Y 是 B'D'上任意一点. a. 求 XY 中点的轨迹; b. 求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ 的点 Z 的轨迹. 6. 一个圆锥内有一内接球, 又有一圆柱体外切于此圆球, 其底面落在圆锥的底面上. 令 V1 为圆锥的体积,V2 为圆柱的体积. (a)求证:V1 不等于 V2 ; (b) 求 V1/V2 的最小值;并在此情况下作出圆锥顶角的一般. 7. 等腰梯形 ABCD,AB 平行于 DC,BC=AD.令 AB=a,CD=c,梯形的高为 h.X 点 在对称轴上并使得 角 BXC、AXD 都是直角.试作出所有这样的 X 点并计算 X 到两底 的距离;再讨论在什么样的条件下这样的 X 点确实存在. 1

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