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高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、2-2-1双曲线及其标准方程


第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

2.2

双曲线

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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

1.知识与技能
通过本节学习,了解双曲线的定义、标准方程,并会 根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法 通过双曲线定义及标准方程的推导过程,培养学生分
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析、类比、归纳与探索能力.
3.情感、态度与价值观 通过本节的学习,再次体会数形结合的思想、坐标法, 启发学生在研究问题时,抓住问题实质,严谨细致思考, 规范写出解答,体会运动变化、对立统一的思想.

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

本节重点:双曲线的定义及其标准方程. 本节难点:双曲线标准方程的推导.

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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

1.对于双曲线定义的理解,要抓住双曲线上的点所要 满足的条件,即双曲线上点的几何性质,可以类比椭圆的

定义来理解.
2.在理解双曲线的定义时,要注意到对“定值”的限 定.即定值大于零且小于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊 情况,即:“当定值等于|F1F2|时,轨迹是两条射线;当定 值大于|F1F2|时,点不存在.”
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3.类比椭圆标准方程的推导方法,建立适当坐标系,
推导出双曲线的标准方程,但要注意在椭圆标准方程推导 中,是令b2=a2-c2,而在双曲线标准方程的推导过程中, 是令b2=c2-a2.

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

1.在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于
定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线 . 这 两 个定点叫做双曲线的 焦点 ,两焦点之间的距离叫做双曲 线的 焦距 .
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2.在双曲线的定义中,条件0<2a<|F1F2|不应忽视,若

2a=|F1F2|,则动点的轨迹是 两条射线 ; 若 2a>|F1F2| ,
则动点的轨迹是 不存在 . 3.双曲线定义中应注意关键词“ 绝对值 ”,若去掉 定义中“绝对值”三个字,动点轨迹只能是 双曲线一支 .

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

4.双曲线的标准方程

焦点在x轴上

焦点在y轴上
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标准方程 (a>0,b>0) 焦点坐标 a,b,c 的关系 (a>0,b>0)

F1(-C,0),F2(C,0) F1(0,-C),F2(0,C) c2= a2+b2

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

[例 1]

已知双曲线的两个焦点分别为 F1(-10,0),
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F2(10,0), 并且经过点(3 5, -4), 求此双曲线的标准方程.
[解析] 因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准

方程为
x2 y2 - =1(a>0,b>0). a2 b2 由题意知 c=10,从而将双曲线的标准方程化为 x2 y2 2- 2=1. 100-b b

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

将点(3 5,-4)代入并简化整理,得 b2-39b2-1600=0, 解得 b2=64 或 b2=-25(舍去). 故所求的双曲线的标准方程为 x2 y2 - =1. 36 64
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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

x2 y2 求与椭圆16+25=1 共焦点,且过点(-2, 10)的双 曲线方程.
[解析] x y 由 + =1,知 F1(0,-3),F2(0,3).设双 16 25
2 2
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y2 x2 曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b ?10 4 ?a2=5, ? 2 - 2=1, ? a b 则有? ∴? 2 ?b =4. ? ?a2+b2=9, ? y2 x2 ∴所求的双曲线的方程为 - =1. 5 4

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

[例 2]

3 4 已知双曲线过 P1(-2,2 5)和 P2(3 7,4)两

点,求双曲线的标准方程.

[解析]

解法一:当双曲线的焦点在 x 轴上时,设双

x2 y2 曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0). 3 ? ? (2 5)2 2 ?(-2) - =1 ? a2 b2 ∵P1、P2 在双曲线上,∴? ?(4 7)2 42 ?3 ? a2 -b2=1 ?

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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

1 ?1 ?a2=-16 解得? ? 12=-1 9 ?b

(不合题意,舍去).
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y x 当双曲线的焦点在 y 轴上时, 设双曲线的方程为a2-b2 =1(a>0,b>0). ?3 ?( 5)2 4 ?2 ? a2 -b2=1 ∵P1、P2 在双曲线上,∴? ? 2 (4 7)2 3 ?4 ?a2- b2 =1 ?

2

2

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

?1 1 ?a2=9 解得? ? 12= 1 ?b 16

,即 a2=9,b2=16.
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y2 x2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 9 16 解法二:设所求双曲线的方程为 mx2+ny2=1(m<0). ∵P1 和 P2 两点在双曲线上, 45 ? ?4m+ 4 n=1, ∴? ?19×7m+16n=1, ?9

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

1 ? ?m=-16, 解得? ?n=1. ? 9 y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 9 -16=1.

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[说明] 在焦点不确定的情况下求标准方程,解法二 更简单些.

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

x2 y2 双曲线 9 -16=1 上一点 M 的横坐标为 5, 求点 M 到 左焦点的距离.
[解析] x2 y2 由于 9 -16=1 的右焦点为 F(5,0),将 xM=5
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16 代入双曲线方程可得|yM|= 3 ,即为双曲线上点 M 到右焦 点的距离, 故利用双曲线的定义可求得点 M 到左焦点的距 16 34 离为 2a+|yM|=6+ = . 3 3

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

[例3] 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2 =9,动圆M同时与圆C1与圆C2相外切,求动圆圆心M的轨 迹方程. [解析] 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于
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点A和B,根据两圆外切的充要条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

|MC2|-|BC2|=|MB|.
∵|MA|=|MB|, ∴|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, ∴|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2. 这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2.根
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据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2
的距离大,与C1的距离小).
这里 a=1,c=3,则 b2=8,设点 M 的坐标为(x,y), y2 则其轨迹方程为 x2- =1(x<0). 8

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

[说明]

(1)本题是用定义法求动点的轨迹方程,当判

断出动点的轨迹是双曲线的一支,且可求出a、b时,可直 接据定义写出其标准方程,而无需用距离公式写出方程, 再通过复杂的运算进行化简. (2)由于动点M到两定点C2、C1的距离的差为常数,而
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不是差的绝对值为常数,因此,其轨迹只能是双曲线的一
支.这一点要特别注意!

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

已知两点F1(-5,0),F2(5,0),求与它们的距离差的绝 对值是6的点的轨迹. [解析] 根据双曲线的定义,所求点的轨迹是双曲线, 教
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且以F1,F2为焦点,

∵c=5,a=3,∴b2=c2-a2=52-32=42.
x2 y2 ∴双曲线的方程为 - =1. 9 16 ∴所求点的轨迹是双曲线.

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

[例 4]

x2 y2 若 F1、F2 是双曲线 9 -16=1 的两个焦点,点
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P 在双曲线上,且|PF1|· 2|=32,求△F1PF2 的面积. |PF
[解析] 由双曲线的对称性,可设点P在第一象限,由

双曲线的方程,知a=3,b=4,∴c=5. 由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=6. 上式两边平方,得|PF1|2 +|PF2|2 =36+2|PF1|·|PF2|=

36+64=100,
由余弦定理,得

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos∠F1PF2= 2|PF |· | |PF
1 2

100-100 =2|PF |· |=0. 1 |PF2 ∴∠F1PF2=90° . 1 1 ∴S△F1PF2= |PF1|· 2|= ×32=16. |PF 2 2 [说明] 在焦点三角形中,正弦定理、余弦定理、双
曲线的定义等是经常使用的知识点.另外,还经常结合

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|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1|·|PF2|的
联系,请同学们多加注意.

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

x2 y2 已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别是 F1、F2, 9 16 若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2=90° 求△F1PF2 的面积. ,
[解析] x2 y2 由 - =1,得 a=3,b=4,∴c=5. 9 16
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由双曲线定义及勾股定理得 |PF1|-|PF2|=± 6, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=102, ∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|· 2|=100, |PF

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(选修1-1)

100-36 ∴|PF1|· 2|= |PF =32, 2 1 ∴S△F1PF2= |PF1|· 2|=16. |PF 2
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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

[例 5]

y2 已知双曲线 x2- =1 的焦点为 F1、F2,点 M 2
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→ MF 在双曲线上,且MF1·→ 2=0,则点 M 到 x 轴的距离为 ________. [解析] 设 M(xM,yM),F1(- 3,0),F2( 3,0),

→ → MF1=(- 3-xM,-yM),MF2=( 3-xM,-yM) → MF ∵MF1·→ 2=0,
2 ∴(- 3-xM)· 3-xM)+yM=0, (

y2 又 M(xM,yM)在双曲线 x2- 2 =1 上,

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

y2 M 2 ∴xM- 2 =1,
2 ?(- 3-xM)( 3-xM)+yM=1 ? 2 3 2 解? 2 yM 得 yM=± 3 , ?xM- 2 =1 ?
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2 3 ∴M 到 x 轴的距离是|yM|= 3 .

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

[例6] 已知双曲线2x2-y2=k的焦距为6,求k的值.

[误解]

x2 y2 当 k>0 时,方程化为标准形式: - =1, k k 2 3k =6, 2

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k 3k ∵c = +k= ,∴2 2 2
2

当 k>0 时,k=6.
[辨析] 因为不能确定k的正负,需讨论.

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

[正解]

x2 y2 当 k>0 时,方程化为标准形式: k - k =1 2
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k 3k ∵c =2+k= 2 ,
2

∴2

3k =6,∴k=6. 2

y2 x2 当 k<0 时,方程化为 - =1, k -k -2 k 3k ∵c =-k- =- , 2 2
2

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(选修1-1)

6 ∴2·2 -k=6,∴k=-6. 综上所述,所求 k 值为 6 或-6.
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(选修1-1)

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(选修1-1)

一、选择题
1.已知两定点F1(-5,0)、F2(5,0),动点P满足|PF1|- |PF2|=2a,则当a=3和5时,P点的轨迹为 A.双曲线和一直线 B.双曲线和一条射线 ( )
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C.双曲线的一支和一条射线
D.双曲线的一支和一条直线 [答案] C

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(选修1-1)

[解析]

当a=3时,|PF1|-|PF2|=2a=6<|F1F2|=10,

由双曲线定义知,P点轨迹是双曲线的右支. 当a=5时,|PF1|-|PF2|=2a=10=|F1F2|, ∴P点轨迹是以F2为始点的一条射线.
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(选修1-1)

2.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是 ( A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 )
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C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线 [答案] D

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(选修1-1)

[解析]

x2 y2 方程 mx2-my2=n 可化为: + =1, n n - m m

n n ∵mn<0,∴ <0,- >0, m m ∴方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线.

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第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

3.(2010·安徽理,5)双曲线方程为x2-2y2=1,则它
的右焦点坐标为
? A.? ? ? ? C.? ? ?

(
? B.? ? ?

)
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2 ? ? ,0? 2 ? 6 ? ? ,0? 2 ?

5 ? ? ,0? 2 ?

D.( 3,0)

[答案] C
[解析]

y2 将方程化为标准方程 x2- =1, 1 2

1 3 6 ∴c =1+2=2,∴c= 2 ,故选 C.
2

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

二、填空题 y2 2 4.双曲线 -x =1 的两个焦点坐标是________. 2
[答案] (0,± 3)
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[解析]

∵a2=2,b2=1,c2=3,∴c=± 3,又焦

点在 y 轴上,∴焦点坐标是(0,± 3).

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

x2 y2 5. 方程 + =1 表示双曲线, m 的取值范 则 |m|-1 2-m 围是________.
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[答案] m>2或-1<m<1
[解析] x2 y2 方程 + =1 表示双曲线, |m|-1 2-m

则(|m|-1)(2-m)<0, 解得 m>2 或-1<m<1.

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

三、解答题
6.已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0,-13),双曲 线上一点P到两焦点距离之差的绝对值为24,求双曲线标准 方程. [解析] 设双曲线标准方程为:
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y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0), 由已知得,2a=24, ∴a=12,c=13,∴b=5, y2 x2 ∴双曲线的标准方程为:144-25=1.

第二章 圆锥曲线与方程

(选修1-1)

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