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偏微分方程数值解法期末考试题答案


期 末 考 试 试 题 答 案 及 评 分 标 准

学年学期: 专 班 课 业: 级: 程: 数学与应用数学 数学 偏微分方程数值解法
《偏微分方程数值解法》教学大纲(自编,2006)

教学大纲: 使用教材: 教材作者: 出 版 社:

《偏微分方程数值解法》 陆金甫、关治 清华大学出版社

一、判断题(每小题 1 分,共 10 分) 1、 (O) 2、 (O) 3、 (X) 4、 (X) 5、 (O) 6、 (O) 7、 (O) 8、 (X) 9、 (X) 10、 (O) 二、选择题(每小题 2 分,共 10 分) 11、 (D) 12、 (A) 13、 (C) 14、 (B)15、 (C) 三、填空题(每小题 2 分,共 20 分) 16、

?2 ?2 ? ? 2 ?x12 ?x2

?

?2 2 ?xn

17、A=[4 5 9;23 5 17;11 23 1]

18、y=exp(-t/3)*sin(3*t)

19、help 20、zeros(m,n) 21、inva(A)*b 或者 A/b 22、A=sym('[cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3]')

? (s)?1 ?(s) ? c[??(s)]2 ? 0 23、 a[?2 (s)]2 ? 2b?2
24、

1 2?

?

??

??

v ( ? )e d ?

i? x

25、

u ( x j , tn ?1 ) ? u ( x j , tn )

?

四、计算题: (每小题 12 分,共 36 分) ?u ?u ? 0 ( x ? R, t ? 0 )的有限差分方程(两层显示 26、写成对流方程 ? a ?t ?x 格式,用第 n 层计算第 n+1 层) ,并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式 ? ? ? / h 为网格比。 解:在点 ( x j , tn ) 处,差分方程为
?1 un ? un j j

?

?a

n un j ?1 ? u j

h

? 0 ( j ? 0, ?1, ?2,

, n ? 0,1, 2,

) (8 分)

便于计算的形式为
?1 n n ? ?? / h un ? un j j ? a? (u j ?1 ? u j ) ,

(4 分)

?u ? 2u ? a 2 的有限差分方程(中心差分格式,用第 n 层 ?t ?x 计算第 n+1 层) ,并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式, ? ? ? / h2 为网 格比。 解 所给对流扩散方程的近似差分方程为 ?1 n un ? un u n ? 2u n j j j ? u j ?1 ? a j ?1 ? 0 ( j ? 0, ?1, ?2, , n ? 0,1, 2, ) (8 分) ? h2
27、写出扩散方程 便于迭代计算的格式为
?1 n n n 2 un ? un j j ? a? (u j ?1 ? 2u j ? u j ?1 ) , ? ? ? / h

(4 分)

28、计算差分格式 u

n?1 j

? u ? a?(u
n j

n j ?1

(其中 ? ? ? / h , a ? 0 )的增长 ?u ) ,
n j

因子,并根据 von Neumann 条件给出差分格式稳定性条件。 n n ijkh n?1 n n n 解 令 u j ? v e ,代入 u j ? u j ? a?(u j ?1 ? u j ) ,得到

vn?1eijkh ? vneijkh ? a?vn (1 ? e?ikh )eijkh
1

消去公因子有

vn?1 ? [1 ? a? (1 ? e?ikh )]vn (6 分)
增长因子为

G(? , k ) ? 1 ? a?(1 ? e?ikh ) ? 1 ? a?(1 ? cos kh) ? a?i sin kh
所以有

kh 2 如果 a? ? 1 ,则有 | G(? , k ) |? 1 ,根据 von Neumann 条件,格式是稳定的。 (6 分)

| G(? , k ) |2 ? [1 ? a?(1 ? cos kh)]2 ? [a?i sin kh]2 ? 1 ? 4a? (1 ? a? ) sin 2

五、证明题(12 分) 29、 把下列 Richardson 格式改写为与其等价的二层差分格式, 利用求增长矩 阵的特征值的方法证明该格式破坏了 von Neumann 条件,从而证明此格式不稳 定。 2 ?1 ?1 n n un ? un ? 2a?(un j j j ?1 ? 2u j ? u j ?1 ) , ? ? ? / h 证明 把已知的三层格式化为二层差分方程组 n ?1 n n n n ? ?u j ? v j ? 2a? (u j ?1 ? 2u j ? u j ?1 ) ? n?1 n ? ?v j ? u j n n T 令 un j ? [u j , v j ] ,则以上方程组可以改写为

u


n ?1 j

?1 ?u n ? ??2a? 0? ?u n ? ? ?4a? 0? ?u n ? ?2a? 0? ?u n ? j j ?1 j j ?1 ? ? n?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0? n ? 0 0 ? n ? (4 分) n 0 0 ? v v v ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? j j ? 1 j ? ? ? ? ? ? ? ?v j ?1 ? ?

?2a? 0? n ??4a? 0? n ?2a? 0? n ?1 un ?? j ? u j ?1 ? ? 1 0 ? u j ? ? 0 0 ? u j ?1 ? 0 0? ? ? ? ? ikjh n n ikjh 令 u j ? v j e ,代入上式消去公因子 e ,得到 ?2a? 0? n i ( j ?1) kh ? ?4a? 0? n ijkh ? 2a? 0? n i ( j ?1)kh v jn?1eijkh ? ? ?? ? vj e ? v j e ? ? 0 0? v j e ? 0 0? ? 1 0? ? ? ?? 2a? 0? ikh ? ?4a? 0? ? 2a? 0? ?ikh ? n ijkh ? ?? ? e ? ? 1 0 ? ? ? 0 0 ? e ? v j e (4 分) ? ? ? ? ?? 0 0 ? ? 化简系数矩阵得到 kh ? ? ?8a? sin 2 1? n n ?1 ? v ? v 2 ? ? 1 0? ? 其特征值为 kh kh ?1,2 ? ?4a? sin 2 ? 1 ? 16a 2? 2 sin 4 2 2 取正的为 ?1 ,则有 kh | ?1 |? 1 ? 4a? sin 2 2 由此不满足 von Neumann 条件,所有 Richardson 格式是不稳定的。 (4 分)

2

六、编程题(12 分) : 30、用 Matlab 的 M 文件的形式(function 函数)写出以下迭代格式的计算 程序。 ?1 n n ? ?? / h un ? un j j ? a? (u j ?1 ? u j ) , 初始条件为 u( x,0) ? sin ? x,0 ? x ? 1 , u(0, t ) ? u(1, t ) ? 0, t ? 0 。 解 设 a 为方程中的系数 a,tao 为时间步长 ? , h 为空间步长,N,M 分别 为时间和空间的最大计算步数。function 函数如下
function [u]=jch(a,tao,h,N,M) % u=1; t=0.5; x=1; lamda=tao/h; for j=1:N x(j+1)=x(j)+tao; for n=1:M t(n+1)=t(n)+h; if j==1 u(j,n)=sin(pi*x(j)); else if n==1 u(j,n)=0; else u(j,n)=(1-a*lamda)*u(j,n-1)+a*lamda*u(j-1,n-1); %u(j,n)=0; end end end end end

3


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