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2008年集美区高二数学竞赛试卷


2008 年集美区高二数学竞赛试卷
(考试时间:2008 年 3 月 9 日 星期日 上午 8:30—10:30) 一 题号 指导教师 1—6 得分 评卷人
线

二 7—12 13 14

三 总分 15 16

复查人
答题时注意:1.用圆珠笔、签字笔或钢笔作答. 3.答案不要写在密封装

订线内. 2.不准使用计算器.

准考证号

一、选择题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分.每小题有且只有一个正确选 项) 1. 已知集合 An= x 2 n ? x ? 2 n ?1 , 且x ? 7m ? 1, m、n ? N ,则 A6 中各元素的和 为( ) (A) 792 (B) 890 (C) 891 (D) 990



?

?



姓名

2 . 已知数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? 2 n ? lg n(n ? N ? ) ,前 n 项和为 Sn ,当

Sn ? 2008取最小值时,n 的值是(




(A) 9

(B) 10

(C) 11

(D) 12

3. 四面体 S-ABC 中,三组对棱的长分别相等,且分别为 34 、 41 、5,则

班级

此四面体的体积为(




(A) 20

(B)

10 7

(C)

20 3

(D) 30

1? ? 1 4. 已知函数 f ( x) ? ? x , ? ? cos x ? b sin x ? 6 ( a 、 b 为常数,且 a ? 1 ) ? a ?1 2 ?

fg l( log81 0 0

) ? 8 ,则 f (lg lg 2) 的值是(
(B) 4 (C) -4



学校

(A) 8

(D) 与 a 、 b 有关的数

-1-

5. a 、 b 、 c 是从集合 ?1,2,3,4,5? 中任意选取的 3 个不重复的数,则 ab ? c 为奇 数的概率为( ) . 1 2 (A) (B) 2 3
3 5 7 10

(C)

(D)

6. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,定义 Tn=

s1 ? s 2 ? ? ? s n ,称 Tn 为数列 ?an ? 的 n

“理想数” . 已知数列 a1,a2,?,a668 的“理想数”为 2007,则数列 2,a1, a2,?,a668 的“理想数”为( ) (A) 2006 (B) 2007 (C) 2008 (D) 2009 二、填空题(共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分) 7. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ,a2 ? 5 ,an?2 ? an?1 ? an ( n ? N * ), Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S2008 的值是 8. 抛物线 y ? 2( x ? 3) 2 ? 1 的焦点坐标是 . .
E A

9. 如图,正四面体 ABCD 的棱长为 8 cm ,在棱 AB 、 F, CD 上各有一点 E 、 若 AE ? CF ? 3 cm , 则线段 EF B 的长为 cm . 10. 从 1 至 200 的整数中,任意取出 3 个不同的数构 成以整数为公比的等比数列,其取法有 种.

D

C

F

?c(当x ? 0时), g ( x 为一次函 ) 11. 设 a、b、c 为常数,函数 f(x) ? ? 2 ?x ? ax ? b(当x ? 0时),

数,若 f(0) = f(2) , f(1) =1,且关于 x 的方程 f(x) = g(x) 的根是 x1=1,x2=3, x3=-2,则 c 的值为 .

12 . 已 知整 数 x、y、z、t 满 足 x ? y ? z ? t , 且 2 x ? 2 y ? 2 z ? 2 t ? 1314 , 则
x ? y ? z ? t 等于

. (此空白区域可作草稿纸)

-2-

三、解答题(共 4 小题,满分 48 分) 13. (本题满分 10 分) 求函数 y ? sinx ? cos2x ( x ? R) 的最大值和最小值.

-3-

14. (本题满分 12 分) 记集合 T ? {0,1,2,3,4 , ai (i ? 1,2,3,4) 是 T 中可重复选取的元素. ,5,6,7} (1) 若将集合 M ? {a1 ? 83 ? a2 ? 82 ? a3 ? 8 ? a4 ai ? T , i ? 1,2,3,4} 中所有元素按从 小 到大 的顺序排列,求第 2008 个数所对应的 ai (i ? 1,2,3,4) 的值; . . a a 2 a3 a 4 ? 3 ? 4 ai ? T , i ? 1,2,3,4} 中所有元素按从大 (2)若将集合 N ? { 1 ? 2 到小 的 . . 8 8 8 8 顺序排列,求第 2008 个数所对应的 ai (i ? 1,2,3,4) 的值.

-4-

15. (本题满分 13 分) 已知椭圆
x2 y2 ? ? 1的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 A 、 9 5

B 两点,过 F2 的直线交椭圆于 C 、 D 两点,且 AB ? CD ,垂足为 P .

(1)设 P 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,求

2 x0 y2 ? 0 的最值; 9 5

(2)求四边形 ACBD 的面积的最小值.

-5-

16. (本题满分 13 分) 设 I ? {1,2,3, ?,199}, A ? {a1 , a2 , a3 ,?, a100 } ? I ,且 A 中元素满足: 对任何 1 ? i ? j ? 100,恒有 ai ? a j ? 200.
(1)试说明:集合 A 的所有元素之和必为偶数;
2 2 2 (2)如果 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 10002, 试求 a12 ? a2 的值. ? a3 ? ? ? a100

密 封 装 订 线

-6-


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