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第二章第5讲指数、对数及其运算


第 5 讲 指数、对数及其运算

1.分数指数幂 m n n (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 a = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1);正数的 m 1 n 负分数指数幂的意义是 a- = (a>0,m,n∈N*,且 n>1);0 的正分数指数幂等于 0;0 n m a 的负分数指数幂没有意义. + (2)有理数指数幂的运算性质:aras=ar

s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr,其中 a>0,b>0,r, s∈Q. 2.对数的概念 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 3.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1=0; ②logaa=1(a>0 且 a≠1). (2)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; M ②loga =logaM-logaN; N ③logaMn=nlogaM(n∈R); n ④logamMn= logaM. m (3)对数的换底公式 logb N logaN= (a>0,b>0,a≠1,b≠1,N>0). logb a

a?n为奇数?, ? n ? 1. a =? ?a,a≥0 |a|?n为偶数?=? ?-a,a<0 ? ?
n

.

2.(1)alogaN=N(a>0 且 a≠1,N>0); (2)logab· logba=1(a>0,b>0,a≠1,b≠1); (3)logamNm=logaN(a>0,N>0,a≠1,m≠0). 1.(必修 1 P50 例 1 改编)有下列四个式子: ① 3 ?-8?3=-8;② ?-10?2=-10;

4 2 017 ③ ?3-π?4=3-π;④ ?a-b?2 017=a-b. 其中正确的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B.①④正确, ?-10?2=|-10|=10,②错误; ?3-π?4=|3-π|=-(3-π)=π-3,③错误,故选 B. - - 2.(必修 1 P60 B 组 T2(2)改编)设 x+x 1=3,则 x2+x 2 的值为( ) A.9 B.7 C.5 D.3 - 解析:选 B.∵x+x 1=3. - - ∴(x+x 1)2=9,即 x2+x 2+2=9, - ∴x2+x 2=7. 3.(必修 1 P68 练习 T3 改编)下列运算结果正确的序号是________. ①log212-log23=2;②log15+log315=1; 3 ③4log2 3=9;④logsin 45° 2=-2. 12 解析:①log212-log23=log2 =log222=2log22=2, 3 ①正确; 1 ②log15+log315=log3 +log315=log33=1,②正确; 5 3 ③4log23=4log49=9,③正确; ④设 logsin 45° 2=x. 2 则? ?x=2. ?2? x 即 2- =2,∴x=-2,④正确. 2 答案:①②③④ 1 1 4.(必修 1 P83 B 组 T2 改编)若 2a=3b=36,则 + =________. a b a b 解析:由 2 =3 =36,得 a=log236,b=log336, 1 1 1 1 1 ∴ + = + =log362+log363=log366= . a b log236 log336 2 1 答案: 2 - 5.(必修 1 P75 B 组 T1 改编)若 xlog32=1,则 4x+4 x=________. 1 解析:由 xlog32=1,得 x= =log23. log32 x 即 2 =3, 1 82 - - ∴4x+4 x=(2x)2+(2x) 2=9+ = . 9 9 82 答案: 9 4

指数幂的运算

2 1 3 27 3 2 - - - -1 2 ? ? ? (1)[ 数字运算型 ] 计算:- ? ?2? + ?- 8 ? + (0.002) - 10( 5 - 2) + ( 2 - 2 017)0; 3 a3b2 ab2 (a>0,b>0). 1 1 1 1 4 2 3 3 ?a b ?4a b

(2)[字母化简型]化简:

[解] (1)原式 2 1 2 3 1 10 3 ?2 ?? ?3?- ? ?-2 =-? ?3? +??-2? ? +?500? - 5-2+1 4 4 =- + +10 5-10 5-20+1=-19. 9 9 1 2 1 3 1 1 1 1 3 3 2 ?a b a b ? 2+6-1+3 1+3-2-3 (2)原式= =a b 1 1 -3 3 ab2a b
3 2

a - =ab 1= . b (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还 应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 2 1 1 1 1 5 3 2 2 3 6 6 1.化简(2a b )(-6a b )÷ (-3a b )的结果为( ) A.-4a B.4a C.11a D.4ab 2 1 1 1 1 5 3+2-6 2+3-6 解析:原式=[2×(-6)÷ (-3)]a b =4ab0=4a,故选 B. 2.若 a=(2+ 3) 1,b=(2- 3) 1,则(a+1) 2+(b+1) 2 的值是( ) 1 A.1 B. 4 2 2 C. D. 2 3 -1 - 解析:选 D.a=(2+ 3) =2- 3,b=(2- 3) 1=2+ 3, -2 -2 -2 -2 ∴(a+1) +(b+1) =(3- 3) +(3+ 3) 1 1 2 = + = . 12-6 3 12+6 3 3 5 1 4 1 - ?0+[(-2)3]- +16-0.75+(0.01) =________. 3.(0.064)- -? 3 ? 9? 3 2 10 1 1 1 143 - - - 解析:原式=0.4 1-1+(-2) 4+2 3+0.1= -1+ + + = . 4 16 8 10 80
- - - -

143 答案: 80

对数的运算
? ?1+log2?2-x?,x<1, (2015· 高 考 全 国 卷 Ⅱ ) 设 函 数 f(x) = ? x-1 则 f( - 2) + ?2 , x≥1, ? f(log212)=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 [解析] 因为 -2<1, 所以 f(-2)=1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3. 因为 log212>1, 12 所以 f(log212)=2log212-1= =6. 2 所以 f(-2)+f(log212)=3+6=9,故选 C. [答案] C

在对数运算中,要熟练掌握对数式的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数 恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底数的形式. 5 4 1.(log29)(log32)+loga +loga a(a>0 且 a≠1)的值为( ) 4 5 A.2 B.3 C.4 D.5 5 4 ? 解析:选 B.原式=(2log23)(log32)+loga? ?4×5a?=2×1+logaa=3,故选 B. - 2.若 x=log43,则(2x-2 x)2 等于( ) 9 5 A. B. 4 4 10 4 C. D. 3 3 解析:选 D.∵x=log43, ∴4x=3, 即 2x= 3. 3 2 3?2 4 - ∴(2x-2 x)2=? 3- ?2=? = . 3? ? 3 ? 3 ?
?log2x,x>0, ? 1 log3 ?的值是( 3.已知函数 f(x)=? -x 则 f(f(1))+f? ) ? 2? ? ?3 +1,x≤0, A.2 B.3 C.4 D.5 1 解析:选 D.∵log3 <0,由题意得 2 1 1 0 ? f(f(1))+f? ?log32?=f(log21)+3-log32+1=f(0)+3log32+1=3 +1+2+1=5. [学生用书P22]

一、选择题

2 1 ? 2 1 2? - a- b 的结果为( 1.(必修 1 P59 A 组 T4(4)改编)化简 4a · b- ÷ ) 3 3 ? 3 3 3? 2a 8a A.- B.- 3b b 6a C.- D.-6ab b ?-2?a2-(-1)b-1-2 解析:选 C.原式=4÷ ? 3? 3 3 3 3 6 a - =-6ab 1=- ,故选 C. b 1 1 1 2.(必修 1 P83B 组 T2 改编)若 2a=5b=m,且 + = ,则 m 的值为( ) a b 2 A.10 B. 10 10 C. D.100 10 解析:选 D.由题意得 a=log2m, b=log5m. 1 1 1 ∴ + = . log2m log5m 2 1 即 logm2+logm5= . 2 1 ∴logm10= . 2 1 ∴m =10, 2 即 m=100,故选 D. 3.(必修 1 P82A 组 T3(1)改编)已知 lg 2=a,lg 3=b,用 a,b 表示 log512 为( a2+b a2+b A. B. 1+a 1-a 2a+b 2a+b C. D. 1-a 1+a 2 lg 12 lg?2 ×3? 2lg 2+lg 3 2a+b 解析:选 C.log512= = = = ,故选 C. lg 5 10 lg 10-lg 2 1-a lg 2 二、填空题 - 4.(必修 1 P75B 组 T1 改编)若 xlog23=1,则 3x+3 x=________. 解析:∵xlog23=1, ∴log23x=1, 1 - ∴3x=2,3 x= , 2 1 5 - ∴3x+3 x=2+ = . 2 2 5 答案: 2 5.(必修 1 P68 练习 T4(3)改编)(log43+log83)(log32-log92)=________. 3 解析:原式=(log2 3+log2 3)(log32-log3 2) 1 1 1 =( log23+ log23)· (log32- log32) 2 3 2 5 1 5 =( log23)· ( log32)= . 6 2 12 5 答案: 12 三、解答题

)

logcb 6. (必修 1 P66 探究改编)证明对数的换底公式 logab= (a>0, 且 a≠1; c>0, 且 c≠1; logca b>0). 证明:法一:设 logab=x,则 ax=b. 两边取以 c 为底的对数得 logcax=logcb, 即 xlogca=logcb, ∵a>0 且 a≠1,c>0 且 c≠1. ∴logca≠0. logcb 即 x= , logca logcb 所以 logab= . logca 法二:设 logab=x,则 ax=b. 即 aloga b=b. ∴logcalogab=logcb, 即(logab)· (logca)=logcb, ∵a>0 且 a≠1,c>0 且 c≠1,则 logca≠0. logcb ∴logab= . logca

一、选择题 1.在正项等比数列{an}中,lg a3+lg a6+lg a9=6,则 a1a11 的值是( ) A.10 000 B.1 000 C.100 D.10 [导学号 03350113] 解析:选 A.在正项等比数列{an}中,lg a3+lg a6+lg a9=6, ∴lg(a3a6a9)=6,a3a6a9=106, 6 ∴a3 6=10 ,a6=100, ∴a1a11=1002=10 000,故选 A. 2 4 3 2.若 a = ,则 log a 的值为( ) 3 9 2 2 1 A. B. 3 3 1 C.-3 D.- 3 2 4 4 2 2 1 [导学号 03350114] 解析:选 C.由 a = 得,loga = ,即 loga = . 3 9 9 3 3 3 - 1 3 2 ∴log a=-log a= =-3. 2 3 2 loga 3 ) B.8 D.12 1 3?1 1 1 1 1 1 1 [导学号 03350115] 解析: 选 A.原式=2×3 ×? ×(3×22) =21- + ×3 + + = 2 ?2?3 6 3 3 2 3 6 2×3=6. 1 - 4.设 =log23,则 3x-3 x 的值为( ) x 3 6 3.化简 2 3× 1.5× 12的值为( A.6 C.9

8 A. 3 5 C. 2

3 B. 2 7 D. 3

1 [导学号 03350116] 解析:选 B.由 =log23,得 3x=2, x 1 3 -x x ∴3 -3 =2- = . 2 2 5.log2 25· log3 4· log5 9 的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 lg 25 lg 4 lg 9 2lg 5 2lg 2 2lg 3 [导学号 03350117] 解析:选 C.原式= · · = · · =8. lg 2 lg 3 lg 5 lg 2 lg 3 lg 5 1? 6.已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=? ) ?5?log30.3,则下列正确的选项为( A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 1? 10 [导学号 03350118] 解析: 选 C.c=? ∵log2 3.4>log22 ?5?log3 0.3=5-log3 0.3=5log3 3 , 10 10 10 =1,log4 3.6<log4 4=1,log3 >log33=1,又∵log23.4>log2 >log3 , 3 3 3 10 ∴log23.4>log3 >log43.6,又∵y=5x 在 R 上是增函数, 3 ∴a>c>b. 1 1 7. 设 a, b, c 是不相等的正数且 a, b, c 成等比数列, 令 am=cn=b, 则 + 的值为( ) m n A.1 B.2 1 C. D. 2 2 1 [导学号 03350119] 解析:选 B.由 am=cn=b,得 m=logab,n=logcb,且 b2=ac,则 m 1 1 1 + = + =logb(ac)=logbb2=2. n logab logcb -x ? ?e ,x≤1 ? 8.设函数 f(x)= ,则 f(f( e))=( ) ?ln x,x>1 ? A. e 1 C.- e B.1 1 D. e 1 e= , 2

[导学号 03350120] 解析:选 D.因为 f( e)=ln

1? 1 1 所以 f(f( e))=f? ?2?=e-2= e. 9.若非零实数 x,y,z 满足 2x=3y=6z,则( ) x+y x+y A. ∈(5,6) B. ∈(4,5) z z x+y x+y C. ∈(3,4) D. ∈(2,3) z z [导学号 03350121] 解析:选 B.由题意,令 2x=3y=6z=k(k>0,且 k≠1),则 x=log2k, y=log3k,z=log6k, x+y log2k+log3k log2k log3k 所以 = = + =log26+log36=1+log23+1+log32>2+2=4, z log6k log6k log6k 又 2+log23+log32<2+2+1=5,故选 B.

3 3 x +x- +2 2 2 1 1 10.已知 x +x- =3,则 2 -2 的值为( ) 2 2 x +x +3 A.7 B.47 2 C.18 D. 5 1 1 - - [导学号 03350122] 解析:选 D.由已知 x +x- =3,得 x+x 1=7,再平方得 x2+x 2 2 2 3 3 1 1 1 1 - =47,又∵x +x- =(x )3+(x- )3=(x +x- )(x+x 1-1)=3×(7-1)=18, 2 2 2 2 2 2 18+2 2 ∴原式= = . 47+3 5 3 3 11. 已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1). 若 f(x1x2…x2 017)=5, 则 f(x1 )+f(x2 )+…+f(x3 2 017) 等于( ) A.5 B.10 C.15 D.53 3 3 3 3 3 [导学号 03350123] 解析:选 C.f(x3 1)+f(x2)+…+f(x2 017)=logax1+logax2+…+logax2 017 =3(logax1+logax2+…+logax2 017)=3loga(x1x2…x2 017)=3×5=15. 1? 12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=2+f? ?2?log2x,则 f(-2)= ( ) A.1 B.3 C.-1 D.-3 1? 1? 1 1 ? ?1? [导学号 03350124] 解析:选 D.由 f?2?=2+f? ?2?×log22=2-f?2?,得 f(2)=1, 所以当 x>0 时,f(x)=2+log2x, 所以 f(2)=2+log22=3,又 f(x)是奇函数, 所以 f(-2)=-f(2)=-3. 二、填空题 13.已知 4a=2,lg x=a,则 x=________. 1 1 [导学号 03350125] 解析:由 4a=2,得 a= ,又因为 lg x=a= , 2 2 1 所以 x=10 = 10. 2 答案: 10 5π 1 2tan ?⊕ln e+lg 100⊕? ?-1 的值为 14.定义运算:S=a⊕b,运算原理如图所示,则? 4 ? ? ?3? ________.

5π 1 2tan ?⊕ln e=2⊕1=2×(1+1)=4,lg 100⊕? ?-1 [导学号 03350126] 解析:因为? 4? ? ?3? =2⊕3=3×(2+1)=9,故原式=13. 答案:13 15.lg 5+lg 20-4log23=________.

1 1 1 1 [导学号 03350127] 解析: 原式= lg 5+ · lg 20-22log23= lg(5×20)-2log29= lg 100 2 2 2 2 -9=1-9=-8. 答案:-8 ?1-log63?2+log62· log6 18 16. =________. log64 [导学号 03350128] 解析:原式 6 1-2log63+?log63?2+log6 · log6?6×3? 3 = log64 1-2log63+?log63?2+?1-log63??1+log63? = log64 1-2log63+?log63?2+1-?log63?2 = log64 2?1-log63? log66-log63 log62 = = = =1. 2log62 log62 log62 答案:1


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