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湖南师大附中2013届高三第5次月考(数学理)解析版


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高三年级月考数学试题(5) 理 科

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1. 指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1) 在 R 上是减函数, 则函数 g ( x) ? (a ? 2) x3 在 R 上的单调性为 ( A.单调递增 C.在 (0,??) 上递增,在 (??,0) 上递减 【答案】B 【解析】由已知有 0 ? a ? 1 ,显然函数 g ( x) ? (a ? 2) x 在 R 上单调递减.
3



B.单调递减 D .在 (0,??) 上递减,在 (??,0) 上递增

2. 已知集合 A ? ?? , ? , B ? x ax ? 1 ? 0 ,且 B ? A ,则 a 的可取值组成的集合为( A. ?? 3,2? 【答案】D 【解析】 a ? 0 ? B ? ? ,满足条件 B. ?? 3,0,2? C. ?3,?2? D. ?3,0,?2?

? 1 1? ? 3 2?

?

?



a ? 0 时,由 ?

1 1 1 1 ? ? 或 ? ? 得 a ? 3,?2 , a 3 a 2

故 a 的可取值组成的集合为 ?3,0,?2? 3. 向量 a , b 均为单位向量,其夹角为 ? ,则命题“ p : a ? b ? 1 ”是命题“ q : ? ? [ 条件. A.充分非必要条件 【答案】B 【解析】 p : a ? b ? 1 ? (a ? b ) ? 1 ? a ? 2ab ? b ? 1 ? a ? b ?
2

? ?

?

?

? 5?
2 , 6

) ”的(



B.必要非充分条件

C.充分必要条件

D.非充分非必要条件

?

?

?

?

?2

??

?2

? ?

1 1 ? cos ? ? 2 2

? ? ? ( ,? ] 3
从而 q : ? ? [

?

? 5?
2 , 6

? ? ) ? p : a ? b ? 1 ,反之不成立。

4. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的母线与底面所成的角为( ) A. 30
?

B. 45

?

C. 60

?

D. 75

?

【答案】C 【解析】设圆锥的母线长为 l ,底面半径为 r ,

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圆您梦想 1 4? 2 ? r ?1 由已知有: ? ? l ? 2? ? l ? 2 , 2? ? r ? 2 2
则所成的角为 60
?

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5. 一个样本 a,3,5,7 的平均数是 b,且 a, b 分别是数列 2 A.3 【答案】C 【解析】由已知 a ? 1, b ? 4 , 则s ?
2

? ?的第 2 和第 4 项,则这个样本的方差是(
n?2

)

B.4

C.5

D.6

1 [(1 ? 4) 2 ? (3 ? 4) 2 ? (5 ? 4) 2 ? (7 ? 4) 2 ] ? 5 4


6. 已知锐角 A,B 满足 2 tan A ? tan(A ? B) ,则 tan B 的最大值为( A. 2 2 【答案】D 【解析】 tan B ? tan[(A ? B) ? A] ? B.

2

C.

2 2

D.

2 4

tan(A ? B) ? tan A tan A 1 , ? ? 2 1 ? tan(A ? B) tan A 1 ? 2 tan A tan A ? 2 tan A

又 tan A ? 0 ,则 tan A ?

2 ?2 2 tan A

则 tan B ?

1 2 2

?

2 . 4

【注】直接按和角公式展开也可. 7. 已知椭圆 C :

x2 y2 x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ? ? 1 的渐近线与椭圆有四个交点, ,双曲线 2 a2 b 2 2

以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆的方程为( )

x2 y2 ? ?1 A. 8 2
【答案】D

x2 y2 ? ?1 B. 12 6

x2 y2 ? ?1 C. 16 4

x2 y2 ? ?1 D. 20 5

【解析】双曲线

x2 y2 3 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? x ,由 e ? 可得 a ? 2b , 2 2 2 x2 y2 ? 2 ? 1 ,而渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形, 4b 2 b
2

椭圆方程为

设在一象限的小正方形边长为 m ,则 m ? 4 ? m ? 2 ,从而点(2,2)在椭圆上,

即:

22 22 ? 2 ? 1 ? b2 ? 5 2 4b b
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于是 b ? 5, a ? 20。椭圆方程为
2 2

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x2 y2 ? ? 1 ,答案应选 D。 20 5

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8. 如果一个 n 位十进制数 a1a2a3 ?an 的数位上的数字满足“小大小大 ? 小大”的顺序,即满足: ;从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中任 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? ,我们称这种数为“波浪数” 取一个五位数 abcde,这个数为“波浪数”的概率是( A. ) D.

2 15

B.

4 15

C.

2 5

8 15

【答案】A 【解析】显然 b, d 中必有一个数字为 5,由对称性,不妨先设 b ? 5 ,则 d ? 3 .
3 若 d ? 4 ,则 a, c, e 是 1,2,3 的任意排列都满足,即 A3 ? 6 种;

若 d ? 3 ,则 c, e 是 1,2 的任意排列,且 a ? 4 ,即 2 种; 则满足条件的概率是:
3 2 2( A3 ? A2 ) 2 ? 5 A5 15

二、填空题: (本大题共 7 小题, 每小题 5 分, 共 35 分.把答案填在答题纸的相应位置. ) 9. 复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 2 (其中 i 为虚单位) ,则 z ? 【答案】 1 ? i 【解析】 z ? .

2 2(1 ? i ) ? ? 1? i 1? i 2

10. ( x ? ) 的展开式中,系数最大的项为第______项.
6

1 x

【答案】3 或 5 【解析】 ( x ? ) 的展开式中系数与二项式系数只有符号差异,又中间项的二项式系数最大,中间项为第
6

1 x

4 项其系数为负,则第 3,5 项系数最大.

11. 阅读下面算法语句:

i=1 WHILE i*(i+1)<20 i=i+1 WEND PRINT “i=”;i END

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则执行图中语句的结果是输出 【答案】i=4 .

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【解析】这是当型循环语句,输出结果不是数字 4,而是 i=4.提醒学生注意细节.

?x ? 1 ? 1 ? 12. 设 x,y 满足约束条件 ? y ? x ,向量 a ? ( y ? 2x, m),b ? (1,?1) ,且 a // b 2 ? ? 2 x ? y ? 10 ?
则 m 的最小值为 【答案】 ? 6 .

x y 【解析】 不等式对应的可行域是顶点为 A(1,8), B (1, ), C ( 4,2) 的三角形及其内部, a // b , m ? 2 ? , 由 得
可知在 A(1,8) 处 m ? 2 x ? y 有最小值 ? 6 13. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? 2 ) ,且 P(? ? 4) ? 0.8 ,则 P(0 ? ? ? 2) 等于 【答案】0.3 【解析】 P(? ? 4) ? 0.8 ,则 P(? ? 4) ? 0.2 ,又分布图像关于直线 x ? 2 , .

1 2

P(? ? 0) ? P(? ? 4) ? 0.2 ,则 P(0 ? ? ? 4) ? 0.6 , P(0 ? ? ? 2) ? 0.3
14. 正四面体 ABCD 中,AO⊥平面 BCD,垂足为 O ,设 M 是线段 AO 上一 点,且 ?BMC 是直角,则 【答案】1 【解析】如图,联结 OB ,设正四面体的棱长为 a ,则

AM 的值为 MO

.

OB ?

3 2 , MB ? 3 2 ,
AM 6 1 ?1. ? AO ? AM ,则 MO 6 2

故: OM ? 15.我们把形如 y ?

b ?a ? 0, b ? 0? 的函数称为“莫言函数” ,并把其与 y 轴 x ?a

的交点关于原点的对称点称为 莫言点” “莫言点”为圆心凡是与 莫言函数” “ ,以 “

有公共点的圆,皆称之为“莫言圆” ,则当 a ? 1 , b ? 1 时,
(1)莫言函数的单调增区间为: ?? ?, 1?, ?? 1,0? ? (2)所有的“莫言圆”中,面积的最小值为____ 3? ________

解析(1)由图 1 易知 x=1 与 x=-1 是函数图像的渐近线
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所以,单调增区间为: ?? ?, 1?, ?? 1,0? ?

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(2)如图 2 显然圆心 C(0,-1),由图当圆 C 与“ 莫言眉毛”相切时, 圆面积最小。在 y ?

1 ?x ? 1? 上任取一点 P(x,y),则 x ?1

R 2 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 把y ?
令 t=

1 1 ? 1) 2 代人得: 2 = x 2 ? ( R x ?1 x ?1

1 2 (t ? 0)化简得: 2 = (t ? 1) 1? ? 3 ,? R 2 ? 3 R ? ? ? ? x ?1 t ? ?

? 面积的最小值为 3 ?
三、解答题(本大题 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的 相应位置上) 16. (本小题满分 12 分)设△ABC 的三内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 a、b、c 成等比数 列,且 sin A sin C ?

3 . 4 ?

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设向量 m ? (cos A, cos2 A) , n ? ( ?

?? ?

?? ? ? 12 , 1) ,当 m ? n 取最小值时,判断△ABC 的形状. 5
2

2 【解析】 (Ⅰ)因为 a、b、c 成等比数列,则 b ? ac .由正弦定理得 sin B ? sin A sin C .
2
0 0

又 sin A sin C ?

3 3 3 2 ,所以 sin B ? .因为 sinB>0,则 sin B ? . ?? 4 4 2
7 0 3 1

4分

? 2? 因为 B∈(0,π ) ,所以 B= 或 .?????? 3 3
6

5分

又 b ? ac ,则 b ? a 或 b ? c , 即 b 不是△ABC 的最大边,故 B ?
2

?
3

. ??? 6 分

(Ⅱ)因为 m ? n ? ?

12 cos A ? cos 2 A , ??????????????? 7 分 5 ?? ? ? 12 3 2 43 2 所以 m ? n ? ? cos A ? 2 cos A ? 1 ? 2(cos A ? ) ? . ?????? 9 分 5 5 25 ?? ? 3 所以当 cos A ? 时, m ? n 取得最小值. 5
此时

?? ? ?

? ? 1 3 3 ? cos A ? ? (0< A< p ) ,于是 ? A ? . ?????? 11 分 6 3 2 5 2

又B ?

?
3

? A? B ?

?
2

, 从 而 △ABC 为锐角三角形.???????? 12 分

17.(本小题满分 12 分)为调查某社区年轻人的周末生活状况,研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与 性别的关系,随机调查了该社区年轻人 80 人,得到下面的数据表:
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性别 男 女 合计 休闲方式 10 10 20 逛街

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上网 50 10 60 合计 60 20 80

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(Ⅰ)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查 3 名在该社区的年轻男性,设调查的 3 人在这一时间 段以上网为休闲方式的人数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)根据以上数据,能否有 99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”? 参考公式: K 2 ? 参考数据:

n(ad ? bc)2 , 其中n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P(K 2 ? k0 )
k0

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

【解析】 (Ⅰ)依题意,随机变量 X 的取值为 0,1,2,3,且每个男性在周末以上网为休闲方式的概率为

5 p? . 6

……………………………………………………2 分

1 5 15 0 1 3 1 1 P X ? 0) ? C( )= ( ,(X ? 1) ? C3 ). = P ( 2 , 3 6 216 6 6 216 解法一: ………………….6 分 75 125 2 1 5 2 3 5 3 P X ? 2) ? C3 .( ) ? ( , P X ? 3) ? C3 ( ) ? ( , 6 6 216 6 216
∴X 的分布列为: X P 0 1 2 3

1 15 75 125 216 216 216 216 1 15 75 125 5 +1? +2 ? +3 ? = . ………………………………….8 分 ∴ EX =0 ? 216 216 216 216 2 5 ( 解法二:根据题意可得 X ~B 3,) , …………………………………...4 分 6 k 1 3? k 5 k ∴ P ( X =k ) ? C3 ( ) ( ) , k ? 0,1, 2,3. ………………………………………6 分 6 6 5 5 ? EX ? np ? 3 ? ? . ………………………………………8 分 6 2
(Ⅱ)提出假设 H0:休闲方式与性别无关. 根据样本提供的 2×2 列联表得:

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K2 ?

2 n(ad ? bc)2 80 ? (10 ?10-10 ? 50) 80 = = ? 8.889 ? 6.635. …10 分 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 20 ? 20 ? 60 9

因为当 H0 成立时, K ? 6.635 的概率约为 0.01,所以我们有 99%的把握认为“周末年轻居民的休闲
2

方式与性别有关系”.

……………………….12 分

18.(本小题满分 12 分)某研究性学习小组设计了一种计算装置,装置有一数据入口 A 和一个数据出口 B,

1 1 ,记为 f (1) ? , 当从 A 口输入自然 3 3 2n ? 3 数 n( n ? 2 )时,在 B 口得到的结果 f (n) 是前一结果 f (n ? 1) 的 倍. 2n ? 1
执行某种运算程序:当从 A 口输入自然数 1 时,从 B 口得到实数 (Ⅰ)当从 A 口输入 2,3,4 时,求从 B 口分别得到什么数?试猜想 f(n)的表示式,并用数学归纳法证明你 的结论; (Ⅱ)记 Sn 为数列 ? f (n)?的前 n 项的和,当从 B 口得到 【解析】 (Ⅰ)由已知得 f (n) ?

2n ? 3 f (n ? 1)( n ? 2, n ? N * ) 2n ? 1 4?3 1 f (1) ? , 当 n=2 时, f ( 2) ? 4 ?1 15 1 1 , f ( 4) ? 同理可得 f (3) ? --------------------------------------------------------(2 分) 35 63
猜想 f (n) ?

1 时,求对应的 Sn 的值. 2303

1 (2n ? 1)(2n ? 1)

(*)-------------------------------------------------(4 分)

下面用数学归纳法证明(*)成立 ①当 n=1,2,3,4 时,由上面的计算结果知(*)成立--------------------------(5 分) ②假设 n=k(k≥4,k∈N*)时, (*)成立,即 f (k ) ?

1 , (2k ? 1)(2k ? 1)

那么当 n=k+1 时, f (k ? 1) ?

2k ? 1 2k ? 1 1 1 f (k ) ? ? ? , 2k ? 3 2k ? 3 (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 3)(2k ? 1)

?

1 ∴当 n=k+1 时, (*)也成立-----------------------------(7 分) ?2(k ? 1) ? 1??2(k ? 1) ? 1? 1 成立.--------------------(8 分) (2n ? 1)(2n ? 1)

综合①②所述,对? n∈N*, f (n) ?

(Ⅱ)由 f (n) ?

1 1 ? ,得从 A 口输入的自然数 n ? 28 -----(9 分) (2n ? 1)(2n ? 1) 2303

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因为 f (n) ?

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1 1 1 1 ? ( ? ) -----------------------------------(10 分) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

所以 S 28 ?

1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 1 28 ?(1 ? 3 ) ? ( 3 ? 5 ) ? ( 5 ? 7 ) ? ...(55 ? 57)? ? 2 (1 ? 57) ? 57 ----(12 分) 2? ?
80? 立方米,且 l≥2 r .假设该容器的建造 3

19.(本小题满分 13 分)某处理中心拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间 为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为 4 c(c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时 r 的值. 【解析】 (Ⅰ)因为容器的体积为

80? 立方米, 3

所以

80 4r 4? r 3 80? ? ? r 2l ? ,解得 l ? 2 ? , 3r 3 3 3 80 4r 160? 8? r 2 ? )? ? ,????(3 分) 3r 2 3 3r 3
2

所以圆柱的侧面积为 2? rl = 2? r (

两端两个半球的表面积之和为 4? r ,????(4 分)

160? ? 8? r 2 + 4? cr 2 , ????(6 分) r 80 4r ? 2r 得 0 ? r ? 2 。 定义域为 ? 0, 2? .????(7 分) 由 l? 2? 3r 3
所以 y ?
' (Ⅱ)因为 y ? ?

160? 8? [(c ? 2)r 3 ? 20] ? 16? r + 8? cr = , r2 r2
3

所以令 y? ? 0 得 r ?

20 ,????(8 分) c?2

令3

8? (c ? 2) 20 (r ? t )(r 2 ? rt ? t 2 ) 。 ? t , 则 t ? 0, 所以 y? ? 2 r c?2
9 时,易知 r ? t 是函数 y 的极小值点,也是最小值点。??(10 分)②当 t ? 2, 即 2

①当 0 ? t ? 2, 即 c ?

9 时, r ? 2 是函数 y 的最小值点。????(12 分) 2 9 综上,当 3 ? c ? 时,建造费用最小时 r ? 2 ; 2 3?c?
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当c ?

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9 20 时,建造费用最小时 r ? 3 米. ????(13 分) 2 c?2

20、 (本小题满分 13 分) 在直角坐标平面内 y 轴右侧的一动点 P 到点 ( ,0) 的距离比它到 y 轴的距离大 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 方程; (Ⅱ)将曲线 C 上每个点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得到曲线 D 的图象,设 Q 为曲线 D 上的一个动点,点 B 、 C 在 y 轴上,若 ?QBC 为圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 的外切三角形,求 ?QBC 面积的最 小值. 【解析】 (Ⅰ)由题知点 P 到点 ( ,0) 的距离与它到直线 x ? ? 方程为 y ? x ;
2

1 4

1 . 4

1 4

1 的距离相等,所以点 P 的轨迹是抛物线, 4

????5 分 ????6 分

(Ⅱ)依题意,曲线 D 的方程是 y 2 ? 2x 设 Q( x0 , y0 ), B(0, b), C (0, c) ,则 QB : y ? b ?

y0 ? b x 即 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0 b ? 0 x0

由直线 QB 是圆的切线知

| y 0 ? b ? x0 b | ( y 0 ? b) ? x 0
2 2

? 1 即 ( x0 ? 2)b 2 ? 2 y0b ? x0 ? 0

同理, ( x0 ? 2)c 2 ? 2 y0 c ? x0 ? 0 所以 b, c 是方程 ( x0 ? 2)t 2 ? 2 y0 t ? x0 ? 0 的两根

?b ? c ? ?

2 y0 x , bc ? ? 0 x0 ? 2 x0 ? 2
2

????9 分

? S ΔQBC

4 y0 4 x0 1 1 ? | b ? c | x0 ? ? ? x0 2 2 2 ( x0 ? 2) x0 ? 2

又 y0 ? 2x0 ? S ΔQBC ?

2

x0 x0 由题知 x0 ? 2 ? S ΔQBC ? 令 t ? x0 ? 2 ,则 x0 ? 2 | x0 ? 2 |

2

2

S ?QBC ?

(t ? 2) 2 4 ? t ? ? 4 ≥4 ? 4 ? 8 t t

当 t ? 2 即 x0 ? 4 时, “ ? ”成立

? ΔQBC 面积的最小值为 8 .
21、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) = ln (x + 1) , g ( x ) =
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????13 分

1 2 ax + bx ( a ? 0 ). 2
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(Ⅰ)若 a ? 0 , f ( x) ? g ( x) 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,求 b 的取值范围. (Ⅱ)设数列 cn ?

n ?n?2? , Sn 为数列 c n 的前 n 项和,求证 Sn ? n ? ln ? ? n ?1 ? 2 ?

(III)设函数 f ( x ? 1) 的图象 C1 与函数 g (x) 的图象 C2 交于点 P , Q ,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂 线分别交 C1 ,C2 于点 M ,N ,问是否存在点 R ,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平行?若存在, 求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】 (Ⅰ) a ? 0 时, f ( x) ? g ( x) ? ln( x ? 1) ? bx 设 h( x) ? ln(1 ? x) ? bx ,则 h?( x ) ? 若 b ? 0 显然不满足题意; 若 b ? 1 ,则 x ? ?0, ?? ? 时, h?( x) ?

1 ?b . 1? x

(1 分)

1 ? b ? 0 恒成立, 1? x

? h( x) 在 ? 0, ?? ? 上为减函数,有 ln( x ? 1) ? bx ? h(0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立.
若 0 ? b ? 1 ,则 h?( x) ?

1 1 ? 1 ? ? b ? 0 时, x ? ? 1 , x ? ?0, ? 1? 时 h?( x) ? 0 , 1? x b ? b ?

所以 h( x) 在 x ? ?0,

? 1 ? ? 1? 上单调递增. ? b ?

? 1 ? ? h(0) ? 0 ,? x ? ?0, ? 1? 时, h( x) ? 0 ,不满足题意. ? b ?
综上, b ? 1 时 f ( x) ? g ( x) 在 ? 0, ?? ? 上恒成立. (4 分) (Ⅱ)由(1)得 ln( x ?1) ? x 在 ? 0, ?? ? 上恒成立.令 x ?

1 有 n ?1

1 ? 1 1 ? ? 1? ln ?1 ? ,1 ? ? 1 ? ln ?1 ? ? ?? n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? n?
则 cn ? 1 ?

1 ? 1 ? ln(n ? 2) ? ln(n ? 1) n ?1

?Sn ? ?1? ln3 ? ln 2? ? (1? ln 4 ? ln3) ??? (1? ln(n ? 2) ? ln(n ?1))
即 Sn ? n ? ln ?

?n?2? ? .(8 分) ? 2 ?

(III) f ( x ? 1) ? ln x ,设点 P , Q 的坐标是 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,且 0 < x1 < x2 ,
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世纪金榜 x + x2 则点 M , N 的横坐标为 x = 1 . 2
C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 =
1 x =
x= x1 + x2 2

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2 . x1 + x2

C2 在点 N 处的切线斜率为 k2 = ax + b x= x1 + x2 =
2

a( x1 + x2 ) + b. 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 = k2 .
2 2 a( x1 + x2 ) 2 2( x2 - x1 ) a( x2 - x1 ) 即 = + b .所以 = + b( x2 - x1 ) x1 + x2 2 x1 + x2 2

=(

a 2 a x x2 + bx2 ) - ( x12 + bx1 ) = y2 - y1 = ln x2 - ln x1 = ln 2 . 2 2 x1

x2 - 1) x2 2( x2 - x1 ) x1 = = 所以 ln . x2 x1 x1 + x2 1+ x1 2(
设u =

(11 分)

2(u - 1) x2 , u > 1 . ----- ① > 1 ,则 ln u = 1+ u x1

令 r (u ) = ln u -

2(u - 1) 1 4 (u - 1)2 , u > 1 ,则 r ? u ) = . ( = 1+ u u (u + 1)2 u(u + 1)2

因为 u > 1 ,所以 r ? u ) > 0 .所以 r (u ) 在 [1, + (

) 上单调递增.

故 r (u) > r (1) = 0 .则 ln u >

2(u - 1) .这与①矛盾,假设不成立. u+ 1
(13 分)

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行.

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