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2.2.3独立重复试验与二项分布(上课用)


选修2-3 高二数学 选修

2.2.3独立重复试验 独立重复试验 与二项分布

复习引入
前面我们学习了互斥事件、 条件概率、 前面我们学习了 互斥事件、 条件概率、相互独 互斥事件 立事件的意义 的意义, 立事件的意义, 这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型, 用公式去求概率简便 简便. 考虑的一些模型 ,吻合模型用公式去求概率简便 . 互斥时) ⑴ P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )(当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) ⑵ P ( B | A) = P ( A) 相互独立时) ⑶ P ( AB ) = P ( A) P ( B ) (当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢 求概率还有什么模型呢? 那么求概率还有什么模型呢?

分析下面的试验, 它们有什么共同特点? ⑴抛 掷一枚质地均匀硬币抛掷 5 次; 0.8, ⑵ 某 人 射 击 1 次 , 击 中 目 标 的 概 率 是 0.8 , 他 射 击 10 次; ⑶ 实 力 相 等 的 甲 、 乙 两 队 参 加 乒 乓 球 团 体 比 赛 ,规 制( 定 5 局 3 胜 制( 即 5 局 内 谁 先 赢 3 局 就 算 胜 出 并 停 止比赛) ; ⑷ 一个盒子中装有 5 个球( 3 个红球和 2 个黑球) , 有放回地依次从中抽取 5 个球; ⑸ 生 产 一 种 零 件 , 出 现 次 品 的 概 率 是 0 .04,生 产 这 .04, 生 种零件 4 件.

共同特点是: 多次重复地做同一个试验. 一个试验 共同特点是: 多次重复地做同一个试验.

共同特点: 共同特点: 1)每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; )每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; 2)任何一次试验中,A事件发生的概率相同,即相 )任何一次试验中, 事件发生的概率相同 事件发生的概率相同, 互独立,互不影响试验的结果。 互独立,互不影响试验的结果。

基本概念
像这样的,在相同的条件下,重复的做n次试验,各次试 像这样的,在相同的条件下, 次试验, 验的结果相互独立,那么就称它们为n次独立重复试验 验的结果相互独立,

独立重复试验的特点: 独立重复试验的特点: 1)每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; )每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; 2)任何一次试验中,A事件发生的概率相同,即相 )任何一次试验中, 事件发生的概率相同 事件发生的概率相同, 互独立,互不影响试验的结果。 互独立,互不影响试验的结果。

次独立重复试验中 在 n 次独立重复试验中, 次试验的结果” 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然, 显然, P ( A1 A2 L An ) = P ( A1 ) P ( A2 )L P ( An )
∵“ 相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 相同条件下 ”等价于 各次试验的结果不会受其 他试验的影响, 他试验的影响, 上面等式成立. ∴上面等式成立 .

探究
投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为 , 投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p,则针尖 向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉 次,仅出现 次 连续掷一枚图钉3次 仅出现1次 向下的概率为 连续掷一枚图钉 针尖向上的概率是多少? 针尖向上的概率是多少?
连续掷一枚图钉3次 就是做 次独立重复试验 次独立重复试验。 连续掷一枚图钉 次,就是做3次独立重复试验。用 Ai (i = 1, 2,3) 表示第i次掷得针尖向上的事件 次掷得针尖向上的事件, 表示“ 表示第 次掷得针尖向上的事件,用 B1 表示“仅出现一次针尖 向上”的事件, 向上”的事件,则 B = ( A A A ) U ( A A A ) U ( A A A ).
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3

彼此互斥, 由于事件 A1 A2 A3 , A1 A2 A3和 A1 A2 A3 彼此互斥,由概率加法公式 得

P ( B1 ) = P ( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) = q 2 p + q 2 p + q 2 p = 3q 2 p

3q 2 p. 所以,连续掷一枚图钉3次 仅出现1次针尖向上的概率是 所以,连续掷一枚图钉 次,仅出现 次针尖向上的概率是

思考? 思考?
上面我们利用掷1次图钉,针尖向上的概率为 , 上面我们利用掷 次图钉,针尖向上的概率为p,求 次图钉 出了连续掷3次图钉 仅出现次1针尖向上的概率 次图钉, 针尖向上的概率。 出了连续掷 次图钉,仅出现次 针尖向上的概率。类 似地,连续掷3次图钉 次图钉, 似地,连续掷 次图钉,出现 k (0 ≤ k ≤ 3) 次针尖向 上的概率是多少?你能发现其中的规律吗? 上的概率是多少?你能发现其中的规律吗?

P( B0 ) = P ( A1 A2 A3 ) = q ,
3

P( B1 ) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 3q p,
2

P( B2 ) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 3qp ,
2

P( B3 ) = P( A1 A2 A3 ) = p 3 .
仔细观察上述等式, 仔细观察上述等式,可以发现

P( Bk ) = C p q
k 3 k

3? k

, k = 0,1, 2,3.

推广: 问题 1 的推广: 一般地, 次独立重复试验中, 一般地, 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 发生的次数, 设每次试验中事件 A 发生的次数, 设每次试验中事件 A 发生的概率是 p , 是多少呢? 那么事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn (X=k ) 是多少呢?
k k Pn (X=k ) = C n p k (1 ? p)n? k 或 Pn (X=k ) = C n p k q n ? k ( 其 中 q = 1 ? p ,一次试验中事件 A 发生的概率为 p) ) .

此 时 称 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 ( binomial distribution),记作 X~B(n, p),并称 p 为成功概率 成功概率. 成功概率

注: k k n?k n P (k) = cn p q 是 p+ q) 展开式中的第 k+1项. ( + n

形成概念
一般地,在 n 次独立重复试验中,用X表示事件 发生的次 一般地, 次独立重复试验中, 表示事件A发生的次 表示事件 设每次试验中事件A发生的概率是P 那么在n次独立 数,设每次试验中事件A发生的概率是P,那么在 次独立 重复试验中这个事件恰好 恰好发生 次的概率是: 重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是

P( X = k ) = C p (1 ? p )
实验总次数 事件 A 发 生的概率

事件 A 发生的次数

k k n?k n 其中k (其中 = 0,1,2,···,n ) , , , ,
事件 A 不 发生的概率

n,p,k分别表示什么意义? n,p,k分别表示什么意义? 分别表示什么意义

二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系? 二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系?

1.两点分布是特殊的二项分布 ξ ? Β(1, p) .

2.一个袋中放有 M 个红球,( N ? M )个白球,依次从袋中 .一个袋中放 个红球, 个白球, 个白球 依次从袋中 个球, 取 n 个球,记下红球的个数 ξ . 果是不放回地取, 不放回地取 服从超几何分布. ⑴如果是不放回地取 则 ξ 服从超几何分布.
k n C M C N??kM P (ξ = k ) = ( k = 0,1, 2,L , m ) (其中 m = min( M , n ) n CN

M 如果是有放回地取, 有放回地取 ) ⑵如果是有放回地取,则 ξ ? B ( n , N

P( x = k ) = C p (1 ? p )
k n k

n?k

例1:某射手射击一次命中目标的概率是0.8,求这 某射手射击一次命中目标的概率是0 名射手在10 10次射击中 名射手在10次射击中 恰有8次击中目标的概率; (1)恰有8次击中目标的概率; 为击中目标的次数, 解:设X为击中目标的次数,则
8 P ( X = 8) = C10 × 0.88 × (1 ? 0.8)10?8 ≈ 0.30

(2)至少有8次击中目标的概率; 至少有8次击中目标的概率; 解:P( X ≥ 8) = P( X = 8) + P( X = 9) + P( X = 10)
8 9 10 = C10 0.880.2 2 + C10 0.89 0.21 + C10 0.810

(3)仅在第8次击中目标的概率。 仅在第 次击中目标的概率。 解: P = (1 ? 0.8)7 × 0.8 × (1 ? 0.8) 2 = 0.8 × 0.29 ≈ 0.0000004

例1:1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个 :1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5 名学生每天骑自行车上学 交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的, 交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概 率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到3次红灯的.(2) 1/3.(1)求这名学生在途中遇到 .(2)求这 率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到3次红灯的.(2)求这 名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

1 为学生在途中遇到红灯次数, 解:记ξ为学生在途中遇到红灯次数,则ξ ~ B(5, ) 3 (1)遇到 次红灯的概率为: 遇到3 (1)遇到3次红灯的概率为: 1 3 2 2 40 P(ξ = 3) = C ( ) ( ) = 3 3 243
3 5

(2)至少遇到一次红灯的概率为: (2)至少遇到一次红灯的概率为: 至少遇到一次红灯的概率为

2 5 211 P ( ξ ≥ 1) = 1 ? P ( ξ = 0) = 1 ? ( ) = . 3 243

实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛, 例2 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 胜制( 局就算胜出并停止比赛) 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛) . 局才能取胜的概率. ⑴试求甲打完 5 局才能取胜的概率. 按比赛规则甲获胜的概率. ⑵按比赛规则甲获胜的概率.
乙两队实力相等, 解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为 1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2 ⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验, 次独立重复试验, 甲打完 局才能取胜, 局比赛取胜, 且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负 局才能取胜的概率 ∴甲打完 5 局才能取胜的概率 1 2 1 2 1 3 2 P1 = C 4 × ( ) × ( ) × = . 2 2 2 16
新疆 奎屯

王新敞

局才能取胜” (2) 记事件 A = “甲打完 3 局才能取胜” , 局才能取胜” 事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 局才能取胜” 事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . 事 件 D = “ 按 比 赛 规 则 甲 获 胜 ”, 则 彼此互斥, D = A + B + C ,又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D ) = P ( A + B + C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) 1 3 3 1 = + + = . 8 16 16 2 1 答:按比赛规则甲获胜的概率为 . 2

练习巩固: 练习巩固: 次试验, 1.每次试验的成功率为 p(0 < p < 1) ,重复进行 10 次试验, 次都成功的概率为( 其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为( ) C 7 3 3 (A) C10 p 3 (1 ? p )7 (B) C10 p 3 (1 ? p)3 (C) p 3 (1 ? p )7 (D) p (1 ? p )3 2.某人参加一次考试,若 5 道题答对 4 道题则为及格,已 某人参加一次考试, 道题则为及格, 0.6,试求他能及格的概率( 知他解 1 道题的正确率为 0.6,试求他能及格的概率(保留 2 小数) 位小数)。 4 4 5 5

C5 ? 0.6 ? 0.4 + C5 ? 0.6 ≈ 0.34

某人对一目标进行射击, 0.25, 3.某人对一目标进行射击,每次命中率都是 0.25,若使至少 命 中 1 次 的 概 率 不 小 于 0.75 , 至 少 应 射 击 几 次 ? ( lg 2 = 0.3010, lg 3 = 0.4771 )

3答案 答案

击, 3 . 某 人对一 目标 进行射 击 , 每 次命 中率都是 0.25, 0.75, 0.25 ,若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至 少应射击几次?( 少应射击几次?( lg 2 = 0.3010, lg 3 = 0.4771 )
0.75, 解:设要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,应射击 n 次 射击一次,击中目标” 记事件 A =“射击一次,击中目标” 则 P( A) = 0.25 . , 次独立重复试验, ∵射击 n 次相当于 n 次独立重复试验, ∴事件 A 至少发生 1 次的概率为 P = 1 ? Pn (0) = 1 ? 0.75n . 3n 1 n 由题意, 由题意,令 1 ? 0.75 ≥ 0.75 ,∴ ( ) ≤ , 4 4 1 lg ∴ n ≥ 4 ≈ 4.82 ,∴ n 至少取 5. 3 lg 4 0.75, 答:要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75 ,至少应射击 5 次
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思考
一个人开门 , 他共有 n把钥匙 , 其中仅有一把能 打开这个门 , 他随机地选取一把钥匙 开门,即每次以 1 的概率被选中 , 求该人在第 k次打开门的概率 . n 解 令 B k 表示第 k 次打开门 , 则

1 k ?1 1 P ( Bk ) = (1 ? ) n n

k = 1,2,L

注:事件首次发生所需要的试验次数ξ服从几何分布 事件首次发生所需要的试验次数ξ 几 ξ 1 2 3 … k 何 分 P p pq pq2 … pqk-1 布

… …

练习:某射手有 发子弹 射击一次命中的概率为0.9, 练习 某射手有5发子弹,射击一次命中的概率为 某射手有 发子弹, 思考 2 解: 如果命中了就停止射击,否则一直射击到子弹用完, 如果命中了就停止射击,否则一直射击到子弹用完, ξ 的分布列. 求耗用子弹数 的分布列 的所有取值为: 、 、 、 、 ξ 的所有取值为:1、2、3、4、5 P (ξ = 1) = 0.9 P (ξ = 2) = 0.1 × 0.9 2 3 P (ξ = 3) = 0.1 × 0.9 P (ξ = 4) = 0.1 × 0.9 表示前四次都没射中∴ P (ξ = 5) = 0.14 “ξ = 5”
解:

故所求分布列为: 故所求分布列为:
ξ

1
0.9

2

3

4

5
0.14

P

2 3 0.1 × 0.9 0.1 × 0.90.1 × 0.9

假定人在一年365天中的任一天出生的是等可能的, 某班级有50名同学,其中有至少两个的同学生于元旦 的概率是多少?

1 ? 364 ? 0 ? 364 ? 1? C ? 365 ? ? C50 ? 365 ? 365 ? ? ? ?
1 50

49

50

小结:
1、 n 次独立重复试验 、 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下, 次试验称 一般地,在相同条件下,重复做的 n 次试验称 次独立重复试验. 为 n 次独立重复试验.
2、二项分布: 、二项分布:
注:

一般地, 次独立重复试验中, 一般地,在n次独立重复试验中,设事件 发生的 次独立重复试验中 设事件A发生的 次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为 发生的概率为p, 次数为 ,在每次试验中事件 发生的概率为 ,那么 k k n? k n Pn ( k ) = cn p q 是 ( p + q ) 展开式中的第 k + 1 项. 次独立重复试验中, 恰好发生k次的概率为 在n次独立重复试验中,事件 恰好发生 次的概率为 次独立重复试验中 事件A恰好发生
k n k n?k

P ( X = k ) = C p (1 ? p)

, k = 0,1, 2,..., n.

此时称随机变量X服从二项分布,记作 此时称随机变量 服从二项分布,记作X~B(n,p), 服从二项分布 并称p为成功概率 为成功概率。 并称 为成功概率。


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