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2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编5:数列


2014 届高三文科数学一轮复习之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 5:数列
一、选择题 1 . ( 【 解 析 】 山 东 省 青 岛 一 中 2013 届 高 三 1 月 调 研 考 试 文 科 数 学 ) 已 知 数 列 {

an } 满 足


log3 an ? 1 ? log3 an ?1 (n ?

N* ) ,且 a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则
A. ?

log 1 (a5 ? a7 ? a9 )
3

的值是



1 5

B. ?5

C.5

D.

1 5

【答案】B【解析】由 log 3 an ? 1 ? log 3 an ?1 ( n ? N )
*

,得

log 3 an ?1 ? log 3 an ? 1 ,即

log 3

an ?1 ?1 an ,解得

an ?1 ?3 {a } a ? a7 ? a9 ? (a2 ? a4 ? a6 )q 3 an ,所以数列 n 是公比为 3 的等比数列.因为 5 ,所以
a5 ? a7 ? a9 ? 9 ? 33 ? 35

log 1 (a5 ? a7 ? a9 ) ? log 1 35 ? ? log 3 35 ? ?5
.所以
3 3

,选

B.

2 .(【解析】山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学)若正项数列 {an } 满足 1gan ?1

? 1 ? 1gan ,


且 a2001+a2002+a2003+a2010=2013,则 a2011+a2012+a2013+a2020 的值为 10 11 . 10 A.2013·10 B.2013·10 C 2014·10
【 答 案 】 A 由 条 件 知 1gan ?1 ? 1gan ? lg

( D 2014·10
. 11

an ?1 a ? 1 , 即 n ?1 ? 10 为 公 比 是 10 的 等 比 数 列 . 因 为 an an

(a2001 ? ? ? a2010 )q10 ? a2011 ? ? ? a2020 ,所以 a2011 ? ? ? a2020 ? 2013 ?1010 ,选 A.
3 . 【解析】 ( 山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学 (文) 试题) 在各项均为正数的等比数列 {an }

中, a3 ? A.4

2 2 ? 1, as ? 2 ? 1, 则 a3 ? 2a2 a6 ? a3a7 ?

( D. 8 ? 4 2
2 2



B.6

C.8
2

【答案】C【解析】在等比数列中, a3 a7 ? a5 , a2 a6 ? a3 a5 ,所以 a3 ? 2a2 a6 ? a3 a7 ? a3 ? 2a3 a5 ? a5

2

? (a3 ? a5 ) 2 ? ( 2 ? 1 ? 2 ? 1) 2 ? (2 2) 2 ? 8 ,选

C.

4 .(【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)已知函数

f ? n ? ? n 2 cos ? n? ? ,
( )

且 an ? f ? n ? ? f ? n ? 1? , 则 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a100 ? A. ?100 B.0 C.100 D.10200

【答案】 解:若 n 为偶数,则 an A

? f ? n ? ? f ? n ? 1? =n 2 ? (n ? 1) 2 ? ?(2n ? 1) ,为首项为 a2 ? ?5 ,公差
2 2

为 ?4 的等差数列;若 n 为奇数,则 an ? f ? n ? ? f ? n ? 1? = ? n ? (n ? 1) ? 2n ? 1 ,为首项为 a1 ? 3 ,公 差 为 4 的 等 差 数 列 . 所 以

a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? a100 ? (a1 ? a3 ? ? ? a99 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a100 )
? 50 ? 3 ? 50 ? 49 50 ? 49 ? 4 ? 50 ? (?5) ? ? 4 ? ?100 ,选 A. 2 2

5 .(【解析】山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学)等差数列 {an } 中, a2

? a8 ? 4 ,则它的前 9
( )

项和 S 9 ? A.9 B.18 C.36 D.72

【答案】B 在等差数列中, a2

? a8 ? a1 ? a9 ? 4 ,所以 S9 ?

9(a1 ? a9 ) 9 ? 4 ? ? 18 ,选 2 2

B.

6 . 【解析】 ( 山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文科数学) 已知各项为正的等比数列 ?an ? 中, a4

与 a14 的等比数列中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的最小值 A.16 B.8 C. 2 2 D.4





【答案】B【解析】由题意知

a4 a14 ? (2 2) 2 ? a9 2 , 即 a9 ? 2 2 . 所 以 设 公 比 为 q (q ? 0) , 所 以

2a7 ? a11 ?
所以 q ?
4

2a9 4 2 4 2 4 2 ? a9 q 2 ? 2 ? 2 2q 2 ? 2 ? 2 2q 2 ? 8 ? 2 2q 2 4 2 2 ,当且仅当 q 2 ,即 q ? 2 , q q q
B.

2 时取等号,所以最小值为 8,选

7 .(【解析】山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(文)) 在各项均为正数的数列{an}中,

对任意 m 、 n ? N * 都有 am+ n = am · an 若 a6 = 36, 则 a9 等于 A.216 B.510
2

( D.l024



C.512

【答案】A 解:由题意可知 a6 ? a3 ? 36 ,所以 a3

? 6 ,所以 a9 ? a3? 6 ? a3 ?a6 ? 6 ? 36 ? 216 ,选 A. ? a6 ? a7 ? 15 ,
( )

8 .【解析】 ( 山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文 (a) 如果等差数列 ?an ?中, a5 )

那么 a3 ? a4 ? ... ? a9 等于 A.21 B.30 C.35 D.40

【 答 案 】 C 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , 由

a5 ? a6 ? a7 ? 15 得 3a6 ? 15,a6 ? 5 . 所 以

a3 ? a4 ? ... ? a9 =7a6 ? 7 ? 5 ? 35 ,选

C.

9 .(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为

S n ,满足 a13 ? S13 ? 13,则a1 ?
A. ?14
【答案】D

( C. ?12 D. ?11



B. ?13 在等差数列中, S13 ?

13(a1 ? a13 ) ? 13 ,所以 a1 ? a13 ? 2 ,即 a1 ? 2 ? a13 ? 2 ? 13 ? ?11 , 2



D.

10.(【解析】山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试 数学(文)试题)两旅客坐火车外出旅游,希望座位

连在一起,且仅有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如表格所示,则下列座位号码符合要求的是

( A.48,49 B.62,63 C.84,85 D.75,76 【答案】C 根据座位排法可知,做在右窗口的座位号码应为 5 的倍数,所以 C 符合要求.选 C.



11.(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试文科数学) {an } 为等差数列, S n 为其前 n 项和,已知

a7 ? 5,S7 ? 21 则 S10 ? ,
A. 40 B. 35 C. 30





D. 28 7(a1 ? a7 ) 7(a1 ? 5) 【答案】 【答案】 设公差为 d ,则由 a7 ? 5,S7 ? 21 得 S7 ? A ,即 21 ? ,解得 a1 ? 1 , 2 2 所以 a7 ? a1 ? 6d ,所以 d ? A.
12.(【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析) 已知在等比数列 ?an ? 中,

10 ? 9 10 ? 9 2 2 d ? 10 ? ? ? 40 ,选 .所以 S10 ? 10a1 ? 2 2 3 3





a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ?
A.

1 4

5 ,则该等比数列的公比为 4 1 B. C.2 2

( D.8



5 a ? a6 4 1 1 3 3 【答案】B 解:因为 ( a1 ? a3 )q ? a4 ? a6 ,所以 q ? 4 ? ? ,即 q ? ,选 a1 ? a3 10 8 2

B.

13.(【解析】山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文科数学)已知等差数列 ?an ? 的公差为 d 不为

a 0,等比数列 ?bn ? 的公比 q 是小于 1 的正有理数,若 a1 ? d , b1 ? d 2 ,且 1
值可以是

? a2 ? a3 是正整数,则 q 的 b1 ? b2 ? b3
2 2 2





1 A. 7

1 B.7

1 C. 2

1 D. ? 2

【答案】 C【解析】由题意知 a2

? a1 ? d ? 2d , a3 ? a1 ? 2d ? 3d , b2 ? b1q ? d 2 q, b3 ? b1q 2 ? d 2 q 2 ,

2 2 2 a12 ? a2 2 ? a32 d 2 ? 4d 2 ? 9d 2 14 a1 ? a2 ? a3 ? 2 ? 所以 ,因为 是正整数,所以令 b1 ? b2 ? b3 d ? d 2 q ? d 2 q 2 1 ? q ? q2 b1 ? b2 ? b3

t t 14 2 , 即 q2 ? q ? 1 ? ?0 , 解 得 ? t , t 为 正 整 数 . 所 以 q ? q ?1 ? 2 14 14 1? q ? q

?1 ? 1 ? 4(1 ? q? 2

14 14 56 ) ? 1 ? 1 ? 4(1? ) ? 1? ? 3 ? t ? t ? t ,因为 t 为正整数,所以当 t ?8 2 2
C.

时, q ?

?1 ? ?3 ? 7 ?1 ? 2 1 ? ? .符合题意,选 2 2 2

14.(【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)已知数列 ?an ? 为等差数

例,其前 n 项的和为 Sn ,若 a3 ? 6, S3 ? 12 ,则公差 d ? A.1 B.2 C.3 D.





【答案】B 在等差数列中, S3 ?

3(a1 ? a3 ) 3(a1 ? 6) ? ? 12 ,解得 a1 ? 2 所以解得 d ? 2 ,选 B. 2 2

5 3

15.(【解析】山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试文科数学) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且

S n ? 2n 2 ? 1 , 则 a 3 ?
A.-10 B.6
2

( C.10
2



D.14

【答案】C 解: a3 ? S3 ? S 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? (2 ? 2 ? 1) ? 10 ,选 C. 16. (【解析】山东省临沂市 2013 届高三 3 月教学质量检测考试(一模)数学(文)试题)已知等差数列{ an }

中, a7 ?

?
4

,则 tan( a6 ? a7 ? a8 )等于





A. ?

3 3

B. ? 2

C.-1

D.1

【答案】C

在等差数列中 a6 ? a7 ? a8 ? 3a7 ?

3? 4? ? ?1 ,选 ,所以 tan( a6 ? a7 ? a8 ) ? tan 4 4

C.

17.(【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学)已知等比数列{an}的公比 q=2,前

n 硕和为 Sn.若 S3= A.

31 2

7 ,则 S6 等于 2 63 B. 2

( C.63 D.



127 2

【答案】B【解析】 S3 ? 二、填空题

a1 (1 ? 23 ) a (1 ? 26 ) 7 63 1 ? 7 a1 ? ,所以 a1 ? .所以 S6 ? 1 ? 63a1 ? ,选 B. 1? 2 2 1? 2 2 2

18.(【解析】山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学) 设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项

和, a1 ? 2, a5 ? 3a3 ,则 S9 ? _____________
【 答 案 】

;

?54

由 a1 ? 2, a5 ? 3a3 得 a1 ? 4d ? 3(a1 ? 2d ) , 即 d ? ? a1 ? ?2 , 所 以

S9 ? 9a1 ?

9?8 d ? 9 ? 2 ? 9 ? 8 ? ?54 . 2

19.(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试 数学(文)试题)等比数列 {an } , q ? 2 ,前 n 项和为

S n,则

S4 ? ____________. a2
4 S 15a1 15 15 解:在等比数列中, S ? a1 (1 ? 2 ) ? 15a ,所以 4 ? ? . 4 1 2 a2 2a1 2 1? 2

【答案】

20 . ( 【 解 析 】 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 数 列 {an } 满 足

a1 ? 3, an ? an an ?1 ? 1, An 表示 {an } 前 n 项之积,则 A2013 =_____________.
【答案】 ?1【解析】由 a1

? 3, an ? an an ?1 ? 1, 得 an ?1 ?

an ? 1 3 ?1 2 1 ,所以 a2 ? ? , a3 ? ? , a4 ? 3 , 3 3 2 an

所以 {an } 是以 3 为周期的周期数列,且 a1a2 a3 ? ?1 ,又 2013 ? 3 ? 671 ,所以 A2013 ? (?1) 671 ? ?1 .
21.(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题)在如图所示的数阵中,第 9 行的

第 2 个数为___________.

【答案】 66

每行的第二个数构成一个数列 {an } ,由题意知 a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 11, a5 ? 18 ,所以

a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 5, a5 ? a4 ? 7, ? an ? an ?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2n ? 3 ,等式两边同时相加得
an ? a2 ? [2n ? 3 ? 3] ? (n ? 2) ? n 2 ? 2n , 2
2 2

所以 an ? n ? 2n ? a2 ? n ? 2n ? 3, ? n ? 2 ? ,所以 a9 ? 92 ? 2 ? 9 ? 3 ? 66 .

22 . ( 【 解 析 】 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 正 项 数 列 ?an ? 满
2 2 2 足: a1 ? 1, a2 ? 2, 2an ? an ?1 ? an ?1 n ? N * , n ? 2 , 则a7 ? ______.

?

?

【答案】

19

2 2 2 因 为 2an ? an ?1 ? an ?1 n ? N * , n ? 2 , 所 以 数 列 {an 2 } 是 以 a12 ? 1 为 首 项 , 以

?

?

d ? a2 2 ? a12 ? 4 ? 1 ? 3 为公差的等差数列,所以 an 2 ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ,所以 an ? 3n ? 2, n ? 1 ,
所以 a7 ?

3 ? 7 ? 2 ? 19 .

23.(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)现有一根 n 节的竹竿,自上而下每节的

长度依次构成等差数列,最上面一节长为 10cm,最下面的三节长度之和为 114cm,第 6 节的长度是首节 与末节长度的等比中项,则 n=_____.
【 答 案 】 16

设 对 应 的 数 列 为 {an } , 公 差 为 d , (d ? 0) . 由 题 意 知

a1 ? 10 , an ? an ?1 ? an ? 2 ? 114 , a6 2 ? a1an .由 an ? an ?1 ? an ? 2 ? 114 得 3an ?1 ? 114 ,解得 an ?1 ? 38 ,
即 (a1 ? 5d ) 2 ? a1 (an ?1 ? d ) ,即 (10 ? 5d ) ? 10(38 ? d ) ,解得 d ? 2 ,所以 an ?1 ? a1 ? (n ? 2)d ? 38 ,
2

即 10 ? 2(n ? 2) ? 38 ,解得 n ? 16 .
24 . ( 【 解 析 】 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 文 科 数 学 ) 已 知 等 差 数 列 {

an }

中, a3 ? a5 =32, a7 ? a3 =8,则此数列的前 10 项和 S10 =____.
【 答 案 】 190 【 解 析 】 由

a7 ? a3 ? 4d ? 8 , 解 得 d ? 2 , 由 a3 ? a5 ? 32 , 解 得 a1 ? 10 . 所 以

S10 ? 10a1 ?

10 ? 9 d ? 190 . 2

25.(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若

2,4, a3 成等比数列,则 S5 =_________.
【 答 案 】 40

因 为

2,4, a3 成 等 比 数 列 , 所 以 2a3 ? 42 ? 16 , 所 以 a3 ? 8 . 又

S5 ?

5(a1 ? a5 ) 5 ? 2a3 ? ? 5a3 ? 5 ? 8 ? 40 . 2 2

26 . ( 【 解 析 】 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 等 比 数 列 {an}

中, a6 ga7 ? 1, a10 ga11 ? 16 ,则 a8 ga9 等于_______
【答案】 4【解析】在等比数列中 a6 ga7 ? (a6 ) q ? 1 ? 0 ,所以 q ? 0 ,所以 a8 ga9 ? a6 a7 q ? 0 .所以
2 2

a6 a7 a10 a11 ? 16 ,即 (a8 ga9 ) 2 ? 16 ,所以 a8 ga9 ? 4 .
27.(【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文)下面图形由小正方形组成,请观察图 1 至

图 4 的规律,并依此规律,写出第 n 个图形中小正方形的个数是___________.









n(n ? 1) 2









a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 10

,





a2 ? a1 ? 2, a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 4 , ? an ? an ?1 ? n ,等式两边同时累加得 an ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ,
即 an ? 1 ? 2 ? ? ? n ?
三、解答题 28.(【解析】山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(文)试题)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,

n(n ? 1) n(n ? 1) ,所以第 n 个图形中小正方形的个数是 2 2

且 S n ? 2an ? 2 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 S n ? 1ga1 ? 3ga2 ? L ? (2n ? 1)gan ,求 Sn
【答案】

29. ( 【解析】 山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学文 (a) 设数列 ?an ?为等差数列,且 a3 )

? 5, a5 ? 9 ;

数列 ?bn ?的前 n 项和为 S n ,且 S n ? bn ? 2 . (I)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (II)若 cn ?
【答案】

an ?n ? N ? ? , Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和,求 Tn . bn

30.【解析】山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(文)试题)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 (

是 Sn ,且 Sn ?

1 an ? 1( n ? N? ) 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 1 (1 ? Sn ?1 )( n ? N? ) ,令 Tn ?
3

1 1 1 ,求 Tn . ? ?? b1b2 b2b3 bn bn ?1

【答案】

31.【解析】 ( 山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟文科数学) 已知点(1,2)是函数

f ( x) ? a x (a>0且a ? 1)

的图象上一点,数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? f (n) ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)将数列 ?an ? 前 2013 项中的第 3 项,第 6 项,,第 3k 项删去,求数列 ?an ? 前 2013 项中剩余项的和.
【答案】解:(Ⅰ)把点(1,2)代入函数

f ( x) ? a x ,得 a ? 2 .

? S n ? f (n) ? 1 ? 2n ? 1,
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21 ? 1 ? 1; 当 n≥2 时, an ? S n ? S n ?1

? (2n ? 1) ? (2n?1 ? 1)
经验证可知 n ? 1 时,也适合上式,

? 2n?1

? an ? 2n ?1 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列 ?an ? 为等比数列,公比为 2,故其第 3 项,第 6 项,,第 2013 项也为等比数列,首项

a3 ? 23?1 ? 4, 公比 23 ? 8, a2013 ? 22012 为其第 671 项

∴此数列的和为

4(1 ? 8671 ) 4(22013 ? 1) ? 1? 8 7

又数列 ?an ? 的前 2013 项和为

S 2013

1? (1 ? 22013 ) ? ? 22013 ? 1, 1? 2
2013

∴所求剩余项的和为 (2

? 1) ?

4(22013 ? 1) 3(22013 ? 1) ? 7 7

32.(【解析】山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文科数学)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且

4 S n ? an ? 1(n ? N ? ) .

(Ⅰ)求 a1 , a2 ;

(Ⅱ)设 bn ? log 3 | an | ,求数列 ?bn ? 的通项公式.

1 ? a1 ? 1 ,即 4a1 ? a1 ? 1,? a1 ? , 3 1 又 4 S 2 ? a2 ? 1 ,即 (a1 ? a2 ) ? a2 ? 1,? a2 ? ? ; 4 9 1 1 (2)当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ? (an ? 1) ? (an ?1 ? 1) , 4 4
【答案】解:(1)由已知 4 S1

即 3an ? ? an ?1 ,易知数列各项不为零(注:可不证不说),

?

an 1 ? ? 对 n ? 2 恒成立, an ?1 3

1 1 ? ?an ?是首项为 ,公比为- 的等比数列, 3 3 1 1 ? an ? (? ) n ?1 ? (?1) n ?1 3? n , 3 3

? log 3 | an |? log 3 3? n ? ?n ,即 bn ? ?n
33.(【解析】山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学文)在等差数列 ?an ? 中, a1

? 3 ,其前 n 项和为

S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12, q ?
【答案】

S2 , 求an与bn ; b2

34.(【解析】山东省济宁市 2013 届高三 1 月份期末测试(数学文)解析)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若

对于任意的正整数 n 都有 S n ? 2an ? 3n . (I)设 bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求出 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn.
【答案】

35.(【解析】山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测文科数学)

数列 {an } 是公差不小 0 的等差数列 a1、 3,是函数 f ( x) ? 1n( x ? 6 x ? 6) 的零点,数列 {bn } 的前 n 项和 a
2

为 Tn ,且 Tn ? 1 ? 2bn (n ? N * )

(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)记 cn ? an bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn.
【答案】

36.(【解析】山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(文))已知数列{an}的公差为 2 的等差

数列,它的前 n 项和为 S n ,且 a1 + 1, a3 + 1, a2 + 1 成等比数列. (I)求{an}的通项公式; (2) 记数列{
【答案】

1 3 }的前n项Tn , 求证:Tn < . Sn 4

37.(【解析】山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试文科数学)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且

满足 a2 ? 4 , a3 ? a4 ? 17 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2
an ? 2

,证明数列 ?bn ? 是等比数列并求其前 n 项和 Tn .

【答案】解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d .由题意知

?a3 ? a4 ? a1 ? 2d ? a1 ? 3d ? 17, ? ?a2 ? a1 ? d ? 4,
解得, a1 ? 1 , d ? 3 , ∴ an ? 3n ? 2 ( n ? N ? ) (2)由题意知, bn ? 2
an ? 2

? 23n ( n ? N ? ),

bn ?1 ? 23( n ?1) ? 23n ?3 ( n ? N ? , n ? 2 )

bn 23 n ∴ ? 3n ?3 ? 23 ? 8 ( n ? N ? , n ? 2 ),又 b1 ? 8 bn ?1 2
∴ ?bn ? 是以 b1 ? 8 ,公比为 8 的等比数列

Tn ?

8 ?1 ? 8n ? 1? 8

?

8 n ?8 ? 1? 7
1 3 x ? x 2 ? 2 的导函数 y ? f ?( x) 图像上. 3

38 . ( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 3 月 诊 断 性 测 试 数 学 文 ) 设 {an} 是 正 数 组 成 的 数 列 ,a1=3. 若 点

?a , a
n

2 n ?1

? 2an ?1 ? (n ? N * ) 在函数 f ( x) ?

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn ?
【答案】

2 ,是否存在最小的正数 M,使得对任意 n ? N * 都有 b1+b2++bn<M 成立?请说明理由. an ?1 ? an

39.(【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学 )(本小题满分 l2 分)

设数列{ an }满足:a1=5,an+1+4an=5,(n ? N*) (I)是否存在实数 t,使{an+t}是等比数列? (Ⅱ)设数列 bn=|an|,求{bn}的前 2013 项和 S2013.
【答案】解:(I)由 an +1 +4an =5 得 an +1 = ? 4an +5

令 an +1 +t = ? 4 ? an +t ? , 得 an +1 = ? 4an ? 5t 则 ?5t =5 , t = ? 1 从而 an +1 ? 1= ? 4 ? an ? 1? . 又 a1 ? 1=4 ,

??an ? 1? 是首项为 4,公比为 ?4 的等比数列,

? 存在这样的实数 t = ? 1 ,使 ?an +t? 是等比数列
(II)由(I)得 an ? 1=4 ? ? ?4 ?
, ? bn = an = 1+41,n为奇数 4n ? n为偶数
n ?1

? an =1 ? ? ?4 ?

n

?

n

? S 2013 =b1 +b2 + ? b2013 = ?1+41 ? + ? 42 ? 1? + ?1+43 ? + ? 4 4 ? 1? + ? + ?1+4 2013 ?
=41 +42 +43 + ? +42013 +1

=

4 ? 42014 42014 ? 1 +1= 1? 4 3

40 . ( 【 解 析 】 山 东 省 枣 庄 市 2013 届 高 三 3 月 模 拟 考 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 等 比 数 列

{an }的公比q ? 1, a1 a3 ? 6a2 , 且a1 , a2 ? 8 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;(2)设 bn ?
【答案】

n(n ? 1) , 求证 : bn ? 1. an

41. ( 【解析】 山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学) 已知 n ? N ,数列 ?d n ?满足 d n ?
?

3 ? (?1) n , 2

数列 ?a n ? 满足 an ? d1 ? d 2 ? d3 ? ??? ? d 2 n ;数列 ?bn ? 为公比大于 1 的等比数列,且 b2 ,b4 为方程

x 2 ? 20 x ? 64 ? 0 的两个不相等的实根.
(Ⅰ)求数列 ?a n ? 和数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)将数列 ?bn ?中的第 a1 项,第 a2 项,第 a3 项,,第 an 项,删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数 . . . . 列 ?c n ?,求数列 ?c n ? 的前 2013 项和.
【答案】解:(Ⅰ)? d n ?

3 ? (?1) n , 2
3 ? 2n ? 3n 2

? an ? d1 ? d 2 ? d3 ? ??? ? d 2 n ?

因为 b2 ,b4 为方程 x 2 ? 20 x ? 64 ? 0 的两个不相等的实数根. 所以 b2 ? b4 ? 20 , b2 ? b4 ? 64 解得: b2 ? 4 , b4 ? 16 ,所以: bn ? 2 n (Ⅱ)由题知将数列 ?bn ? 中的第 3 项、第 6 项、第 9 项删去后构成的新数列 ?c n ? 中的奇数列与偶数列仍 成等比数列,首项分别是 b1 ? 2 , b2 ? 4 公比均是 8,

T2013 ? (c1 ? c3 ? c5 ? ??? ? c2013 ) ? (c2 ? c4 ? c6 ? ??? ? c2012 )
? 2 ? (1 ? 81007 ) 4 ? (1 ? 81006 ) 20 ? 81006 ? 6 ? ? 1? 8 1? 8 7

42.(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试文科数学)

已知数列 ?an ? 的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数 a1 , a2 , a4 , a7 , ??? 构成等差 数列 ?bn ? , S n 是 ?bn ? 的前 n 项和,且 b1 ? a1 ? 1, S5 ? 15 ( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公比相等, 已知 a9 ? 16 ,求 a50 的值; (Ⅱ)设 Tn ?

1 1 1 ,求 Tn . ? ? ??? ? S n ?1 S n ? 2 S2 n

【答案】解 :(Ⅰ)?{bn } 为等差数列,设公差为 d , b1 ? 1, S5 ? 15,? S5 ? 5 ? 10d ? 15, d ? 1

? bn ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n.

设从第 3 行起,每行的公比都是 q ,且 q ? 0 , a9 ? b4 q 2 , 4q 2 ? 16, q ? 2, 1.+2+3++9=45,故 a50 是数阵中第 10 行第 5 个 数, 而 a50 ? b10 q 4 ? 10 ? 24 ? 160. (Ⅱ)? Sn ? 1 ? 2 ? ? n ?
?Tn ? ?
n( n ? 1) , 2

1 1 1 ? ? ? Sn ?1 Sn ? 2 S2 n

2 2 2 ? ?? ( n ? 1)( n ? 2) ( n ? 2)( n ? 3) 2n(2n ? 1)

? 2(

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ) n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2n 2n ? 1

? 2(

1 1 2n ? )? . n ? 1 2n ? 1 ( n ? 1)(2n ? 1)
数学(文)试题)等差数列

43 . ( 山 东 省 青 岛 即 墨 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试

{an }

中, a2 ? a3 ? a4 ? 15, a5 ? 9 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 3
a n ?1 2

,求数列 {

an ? 1 , bn } 的前 n 项和 S n 2

【答案】解:(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为d首项a1 ,由题意得

且?

?a2 ? a3 ? a4 ? 15 ?3a1 ? 6d ? 15 即? ?a1 ? 4d ? 9 ?a5 ? 9 ?a1 ? 1 ?d ? 2

解得 ?

所以数列 ?an ? 的通项公式为an ? 2n ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ? 3 所以

an ?1 ? 3n 2

an ?1 .bn ? n.3n 2

所以 S n ? 1.3 1 ? 2.32 ? 3.33 ? n.3n ?1
n n ?1 两式相减得 2 S n ? ?(3 ? 3 2 ? 3 ? 3 ? ? 3 ) ? n.3 10 分

3

4

? ( ? 3n) 31 3 ? 2n ? 1 .n.3n ?1 ( ) n ?1 ? ? n.3 ? 1? 3 2 n ?1 3 ? (2n ? 1).3 即Sn ? 4
44.(【解析】山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试文科数学)某工厂为扩大生产规模,今年年初新购

置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是 4 万元, 从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加 2 万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加 25% (I)设第 n 年该生产线的维护费用为 an ,求 an 的表达式; (Ⅱ)设该生产线前 n 年维护费为 S n ,求 S n .
【答案】

45 . 山 东 省 威 海 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 文 科 数 学 ) 已 知 数 列 ?an ? , (

a1 ? ?5 , a2 ? ?2 , 记

A(n) ? a1 ? a2 ? ? ? an , B(n) ? a2 ? a3
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

? ? ? an ?1 , C (n) ? a3 ? a4 ?? +an ? 2 ( n ? N * ),若对于任意 n ? N * , A(n) , B(n) , C (n) 成等差数列.

(Ⅱ) 求数列 ?| an |? 的前 n 项和.
【答案】解:(Ⅰ)根据题意 A( n) , B ( n) , C ( n) 成等差数列

∴ A(n)+C (n) ? 2 B (n) 整理得 an ? 2 ? an ?1 ? a2 ? a1 ? ?2 ? 5 ? 3 ∴数列 ?an ? 是首项为 ?5 ,公差为 3 的等差数列 ∴ an ? ?5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 8 (Ⅱ) | an |? ?

??3n ? 8, n ? 2 ?3n ? 8, n ? 3

记数列 ?| an |? 的前 n 项和为 S n .

n(5 ? 8 ? 3n) 3n 2 13 ?? ? n 当 n ? 2 时, S n ? 2 2 2
当 n ? 3 时, S n ? 7 ?

(n ? 2)(1 ? 3n ? 8) 3n 2 13 ? ? n ? 14 2 2 2

? 3 2 13 ?? 2 n ? 2 n n ? 2 ? 综上, S n ? ? ? 3 n 2 ? 13 n ? 14 n ? 3 ?2 ? 2
46.(【解析】山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(文)试题)已知 {an } 是公比大于 1 的等

经数列, a1 , a3 是函数 f ( x) ? x ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

9 ? 10 的两个零点 x

(2)若数列 {an } 满足 bn ? 1og3 ? n ? 2, 且b1 ? b2 ? b3 ?? ? bn ? 80 ,求 n 的最小值.
【答案】

47. ( 【解析】 山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟文科数学) 正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a4

? 16 ,

且 a2 , a3 的等差中项为 S 2 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

n a2 n ?1

,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

【答案】解:(1)设等比数列 {an } 的公比为 q ( q ? 0) ,

? 3 ?a1 ? 2 ?a1q ? 16 由题意,得 ? ,解得 ? 2 ?a1q ? a1q ? 2(a1 ? a1q ) ?q ? 2 ?
所以 an ? 2 n (2)因为 bn ? 所以 Tn ?

n a2 n?1

?

n 2
2 n ?1

,

1 2 3 4 n ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n?1 , 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n?1 , 3 4 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 n 所以 Tn ? ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n?1 4 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 4 ? n ? 2 ? 4 ? 3n ?2 1 2 2 n?1 3 3 ? 2 2 n?1 1? 4

故 Tn ?

48 . ( 山 东 省 淄 博 市 2013 届 高 三 复 习 阶 段 性 检 测 ( 二 模 ) 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 等 比 数 列 ?cn ? 满 足 ....

8 16 ? 12n ? 9 9 ? 22 n ?1

cn ?1 ? cn ? 10 ? 4n ?1 ? n ? N * ? , 数列?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 an ? log 2 cn .
(I)求 an , S n ; (II) 数 列 ?bn ? 满足bn ?

1 4Sn ? 1

, Tn为数列?bn ? 的 前 n 项 和 , 是 否 存 在 正 整 数 m, ? m ? 1? , 使得

T1 , Tm , T6 m 成等比数列?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】解: (Ⅰ) c1

? c 2 ? 10, c 2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4

c1 ? 4c1 ? 10

得 c1 ? 2

c n ? 2 ? 4 n ?1 ? 2 2 n ?1
所以 an ? log 2 2 2 n ?1 ? 2n ? 1

Sn ?

n(a 1 ? an ) n[1 ? (2n ? 1)] ? ? n2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ?

1? 1 1 ? ? ? ? ? 4n ? 1 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1
2

于是 Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ?? 1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 ? ? ? 2 n ? 1 2 ?? ? ? ? ? ??

假设存在正整数 m ? m ? 1? ,使得 T1 , Tm , T6 m 成等比数列,则

6m ? m ? 1 , ? ? ? ? 3 12m ? 1 ? 2m ? 1 ?
整理得 4m 2 ? 7 m ? 2 ? 0 , 解得 m ? ?
?

2

1 或 m?2 4

由 m ? N , m ? 1 ,得 m ? 2 , 因此,存在正整数 m ? 2 ,使得 T1 , Tm , T6 m 成等比数列
49. (【解析】山东省临沂市 2013 届高三 3 月教学质量检测考试(一模)数学(文)试题)已知等比数列{ an }

的首项为 l,公比 q≠1, S n 为其前 n 项和,al,a2,a3 分别为某等差数列的第一、第二、第四项.

(I)求 an 和 S n ; (Ⅱ)设 bn ? log 2 an ?1 ,数列{
【答案】

3 1 }的前 n 项和为 Tn,求证: Tn ? . 4 bnbn ? 2

50.(【解析】山东省烟台市 2013 届高三 5 月适应性练习(一)文科数学)在等差数列 {an } 中,a1 =3,其前 n

项和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1 =1,公比为 q,且 b2 +S2 =12, q= (1)求 an 与 bn; (2)设数列{Cn}满足 cn=
【答案】

S2 . b2

1 ,求{ cn }的前 n 项和 Tn. Sn

51. 【解析】 ( 山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试文科数学) 已知等差数列 ?a n ? 的首项 a1 =1,公差 d>0,

且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别为等比数列 ?bn ? 的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列 ?a n ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列{ cn }对 n ? N ? 均有

c1 b1

+

c2 cn ++ = an ?1 成立,求 c1 + c2 c3 ++ c2012 . b2 bn

【答案】.解答:(1)由已知得 a2 =1+d,

a5 =1+4d, a14 =1+13d, an =2n-1

? (1 ? 4d ) 2 =(1+d)(1+13d), ? d=2,

又 b2 = a2 =3, b3 = a5 =9 ? 数列{ bn }的公比为 3,

bn =3 ? 3n? 2 = 3n?1
(2)由

c1 b1

+

c2 cn ++ = an ?1 b2 bn

(1)

当 n=1 时,

c1 b1 c1 b1

= a2 =3, ? c1 =3

当 n>1 时,

+

c2 cn ?1 ++ = an b2 bn ?1

(2)

(1)-(2)得

cn = an ?1 - an =2 bn
对 c1 不适用

? cn =2 bn =2 ? 3n?1

? 3 n ?1 ? cn = ? n ?1 ?2?3 n ? 2
? c1 ? c2 ? c3 ? c2012 =3+2 ? 3+2 ? 32 ++2 ? 32011
=1+2 ? 1+2 ? 3+2 ? 32 ++2 ? 32011 =1+2 ?

1 ? 32012 2012 =3 1? 3

52.(【解析】山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(文)试题)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和

为 S n , a4 ? a1 ? 9, a5 , a3 , a4 成等差数列.

(I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)证明:对任意 R ? N ? , S k ? 2 , S k , S k ?1 成等差数列.
【答案】


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