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高中数学配套课件:第1部分 第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示


理解教 材新知

第 二 章

2.3

2.3.4

把握热 点考向

考点一 考点二 考点三

应用创 新演练

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知下列几组向量 (1)a=(0,2),b=(0,4); (2)a=(2,3),b=(4,6); (3)a=(-1,4),b=(2,-8); 1 1 (4)a=( ,1),b=(- ,-1). 2 2 问题1:上面几组向量中,a,b有什么关系?

提示:(1)、(2)中,b=2a,(3)中,b=-2a,(4)

中,b=-a.
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问题2:以上几组向量中a,b共线吗? 提示:共线. 问题3:当a∥b时a,b的坐标成比例吗? 提示:坐标不为0时成比例.

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(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当 x1y2-x2y1=0 时,向量a与b共线. (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),如果向量b不平行于坐
x1 y1 = x2 y2.

标轴,即x2≠0,y2≠0,则a∥b?

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x1 y1 1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2).若 = ,则一定有 x2 y2 a∥b,但反过来则不一定. 2.利用向量共线的坐标表示可以解决的问题有: (1)三点共线问题. (2)判断两条直线平行问题. 注意:0与任何一个向量都共线.

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[例1]

已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka

+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?

[思路点拨]

用坐标表示出ka+b和a-3b,利用平

行的条件列方程求k值,再判断.

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[精解详析] ∵a=(1,2),b=(-3,2), ∴ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2); a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). ∵(ka+b)∥(a-3b), ∴-4(k-3)-10(2k+2)=0. 1 解得k=- . 3 10 4 这时ka+b=(- , ). 3 3 1 1 ∴ka+b=- (10,-4)=- (a-3b). 3 3 1 故k=- 时,ka+b与a-3b平行且反向. 3

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[一点通] 向量共线的坐标表示, 揭示了共线向量坐标 之间的重要关系,为用代数方法判断向量共线提供了重要 依据.

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1.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线, 则m =________.

解析:ma+4b=(2m,3m)+(-4,8)=(2m-4,3m+8); a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1), 由题意得4(3m+8)-(-1)(2m-4)=0, 解得m=-2.

答案:-2 返回

1 2.已知a=(1,2),b=( ,1),c=a+2b,d=2a-b,判断c与 2 d是否共线.
1 解:∵a=(1,2),b=( ,1). 2 1 ∴c=a+2b=(1,2)+2( ,1)=(2,4), 2 1 3 d=2a-b=2(1,2)-( ,1)=( ,3). 2 2 2 4 又∵ = ,∴c∥d. 3 3 2 故c与d共线.

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[例2]

??? ? ??? ? 已知O是坐标原点, OA =(k,12), OB =(4,5),

??? ? OC =(10,k),当A,B,C三点共线时求k的值.

[思路点拨]

??? ? ??? ? 利用坐标表示出 AB , AC 后,再把三点共

线转化为向量共线求解.

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??? ? ??? ??? ? ? [精解详析] ∵ AB = OB - OA =(4-k,-7),
? ? ??? ???? ??? AC = OC - OA =(10-k,k-12),

??? ? ???? ∵A、B、C三点共线,∴ AB ∥ AC ,
则(4-k)(k-12)+7(10-k)=0, 解得k=-2或k=11. ∴A、B、C三点共线时,k=-2或11.

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[一点通]
??? ? ??? ? 1.已知A、B、C三点共线时可转化为 AB ∥ AC ,可利用向

量共线的条件求解. 2.利用向量共线证明三点共线时需分两步完成:①证明向 量共线;②证明两个向量有公共点.

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1 3.若点A(1,-3),B(8, ),C(x,1)共线,则x=________. 2 ??? ? 7 ???? 解析: AB =(7, ), AC =(x-1,4). 2
∵A、B、C共线, 7 ∴7×4- (x-1)=0.解得x=9. 2

答案:9

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??? ? ??? ? 4.如果向量 AB =i-2j, BC =i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴

正方向上的单位向量,试确定实数m的值使A、B、C三点共 线.

??? ? ??? ? 解:法一:∵A、B、C三点共线,即 AB 、 BC 共线, ??? ? ??? ? ∴存在实数λ使得 AB =λ BC ,
?λ=1, ? 即i-2j=λ(i+mj).∴? ?λm=-2. ?

∴m=-2,即m=-2时,A、B、C三点共线.

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??? ? 法二:依题意知i=(1,0),j=(0,1),则 AB =(1,0)-2(0,1)

??? ? ??? ? ??? ? =(1,-2), BC =(1,0)+m(0,1)=(1,m),而 AB , BC 共

线,∴1×m+2=0. 故当m=-2时,A、B、C三点共线.

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[例3]

(12分)如图,已知点A(4,0),

B(4,4),C(2,6),O(0,0),求AC与 OB的交点P的坐标.
[思路点拨] 先设出点P的坐标,然后利用共线条件求解.

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[精解详析] 法一:由题意知P、B、O三点共线,可设 ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ? OP =λ OB =(4λ,4λ),则 AP = OP - OA =(4λ-4,4λ), ???? ??? ? ??? ? AC = OC - OA =(-2,6), (6分) ??? ? ???? 由 AP 与 AC 共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0, 3 解之得λ= ,? 4
? ??? ? 3 ??? ∴ OP = OB =(3,3),

(10分)

4

∴P(3,3)即为所求.?

(12分)

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??? ? 法二:设P(x,y),则 OP =(x,y),

??? ? ??? ? ??? ? 且 OB =(4,4),又 OP 与 OB 共线,所以x=y.

(5分)

??? ? ??? ? ??? ? ???? 又 AP =(x-4,y), AC =(-2,6), AP 与 AC 共线,

则得(x-4)×6-y×(-2)=0, 解之得x=y=3.即P的坐标为(3,3).?

? (10分) (12分)

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[一点通] 求两线段交点的坐标,可先根据此点在一条线 段上设出坐标,再根据该点在另一条线段上建立方程,求解, 列方程时要充分利用向量共线,向量相等等条件.

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5.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC, AD∥BC,已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点 的坐标为________.

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解析:因为四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,所以四边形 ABCD为平行四边形,
??? ? ???? ∴ AB = DC ,设D(x,y), ??? ? ???? 又∵ AB =(8,8), DC =(8-x,6-y),
?8-x=8, ?x=0, ? ? ? ∴ 解得? ?6-y=8, ?y=-2. ? ?

∴D点的坐标为(0,-2)

答案:(0,-2)
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??? 1 ? 6.在△AOB中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3), OC = 4
??? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? OA , OD = OB , AD 与 BC 交于点M,求点M的坐标.

2

解:∵点O(0,0),A(0,5),B(4,3), ??? ? ??? ? ∴ OA =(0,5), OB =(4,3).
? ??? ? 1 ??? 5 ∵ OC =(xc,yc)= OA =(0, ).

4

4

5 ∴点C的坐标为(0, ). 4 3 同理可得点D的坐标为(2, ). 2

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???? ? 设点M的坐标为(x,y),则 AM =(x,y-5),

??? ? 7 AD =(2,- ). 而 2
??? ? ???? ? ∵A,M,D三点共线,∴ AM 与 AD 共线.
7 ∴- x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.① 2
???? 5 CM =(x,y- ), 而

4

??? ? 5 7 CB =(4-0,3- )=(4, ). 4 4

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???? ??? ? ∵C,M,B三点共线,∴ CM 与 CB 共线.

7 5 ∴ x-4(y- )=0,即7x-16y=-20.② 4 4 12 由①②得x= ,y=2. 7 12 ∴点M的坐标为( ,2). 7

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1.向量共线的条件: (1)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),由x1y2-x2y1=0成立, 可判断a与b共线;反之,若a与b共线,它们的坐标应满足x1y2 -x2y1=0. (2)在讨论向量共线时,规定零向量可以与任一向量共 x1 y1 线,故在x2y2≠0的条件下,a与b共线的条件可化为 = ,即 x2 y2 两向量共线的条件为相应坐标成比例.

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2.三点共线的证明. 设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),要证三点共线,只需
??? ? ??? ? 证 AB =λ BC , ??? ? ??? ? ∵ AB =(x2-x1,y2-y1), BC =(x3-x2,y3-y2),

∴只需证(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0.

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