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数学奥林匹克竞赛讲座 12覆盖


竞赛讲座 12-覆盖
一个半径为 1 的单位圆显然是可以盖住一个半径为 圆.那么两个半径为 的圆的.反过来则不然,一个半径为 的圆无法盖住单位

的圆能否盖住呢?不妨动手实验一下,不行.为什么不行?需几个这样的小圆方能盖住

大圆?……,这里我们讨论的就是覆盖问题,它是我们经常遇到的一类有趣而又困难的问题. 定义 设G和F是两个平面图形.如果图形F或由图形F经过有限次的平移,旋转,对称等变换扣得到的大小 形状不变的图形F′上的每一点都在图形G上.我们就说图形G覆盖图形F;反之,如果图形F或F′上至少存在 一点不在G上,我们就说图形G不能覆盖图形F. 关于图形覆盖,下述性质是十分明显的: (1) 图形G覆盖自身; (2) 图形G覆盖图形E,图形E覆盖图形F,则图形G覆盖图形F. 1.最简单情形――用一个圆覆盖一个图形. 首先根据覆盖和圆的定义及性质即可得到: 定理1 如果能在图形F所在平面上找到一点O,使得图形F中的每一点与O的距离都不大于定长r,则F可 被一半径为r的圆所覆盖. 定理2 对于二定点A,B及定角 α 若图形F中的每点都在AB同侧,且对A,B视角不小于 α,则图形F被 以AB为弦,对AB视角等于 α 的弓形G所覆盖. 在用圆去覆盖图形的有关问题的研究中,上述二定理应用十分广泛. 例1 求证: (1)周长为2l的平行四边形能够被半径为 的圆面所覆盖. 的圆纸片所

(2)桌面上放有一丝线做成的线圈,它的周长是2l,不管线圈形状如何,都可以被个半径为

覆盖. 分析 (1)关键在于圆心位置,考虑到平行四边形是中心对称图形,可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交 点叠合. (2)"曲"化"直".对比(1) ,应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心. 证明 (1)如图45-1,设ABCD的周长为2l,BD≤AC,AC,BD交于O,P为周界上任意一点, 不妨设在AB上,则 ∠1≤∠2≤∠3, 有OP≤OA. 又AC<AB+BC=l,故OA< . 的圆所覆盖,命题得证.

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心;半径为

(2)如图 45-2,在线圈上分别取点 R,Q,使 R,Q 将线圈分成等长两段,每段各长 l.又设 RQ 中点为 G,M 为 线圈耻任意一点,连 MR,MQ,则

因此,以 G 为圆心,

长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈. 的圆所覆盖.

例2△ABC 的最大边长是a,则这个三角形可被一半径为

分析 a为最大边,所对角 A 满足60°≤A<180°. 证明 不妨设 BC=a,以 BC 为弦,在 A 点所在一侧作含 60°角的弓形弧(图45-3) .因60°≤A≤180°,故 根据定理2,△ABC 可被该弓形所覆盖. 由正弦定理,弓形相应半径r= 盖. 显然覆盖△ABC 的圆有无穷多个,那么半径为 尽然. 的圆是否是最小的覆盖圆呢?事实并不 ,所以△ABC 可被半径为 的圆所覆

例3 △ABC的最大边 BC 等于a,试求出覆盖△ABC 的最小圆. 解 分三种情形进行讨论: (1) ∠A为钝角,以BC为直径作圆即可覆盖△ABC. (2) ∠A是直角,同样以BC为直径作圆即可覆盖△ABC; (3)∠A是锐角.假若⊙O 覆盖△ABC,我们可在⊙O 内平移△ABC,使一个顶点 B 落到圆周上,再经过适 当旋转,使另一个顶点落在圆周上,此时第三个顶点 A 在⊙O 内或其圆周上,设 BC 所对圆周角为 α,那么∠ BAC≥α,设⊙O 直径d,△ABC 外接圆直径d0,那么

所以对于锐角三角形 ABC,最小覆盖圆是它的外接圆. 今后我们称覆盖图形 F 的圆中最小的一个为 F 的最小覆盖圆.最小覆盖圆的半径叫做图形 F 的覆盖半径. 综合例2,例3,即知△ABC 中,若a为最大边,则△ABC 的覆盖半径r满足

2.一个图形F能否被覆盖,与图形中任意两点间的距离最大值d密切相关. 以下我们称图形F中任意两点间的距离最大值d为图形F的直径. 我们继续研究多个圆覆盖一个图形问题. 定义 对于图形G1,G2,…,Gn,若图形F中的每一点都被这组图形中的某个所覆盖,则称这几个图形覆盖 图形F.

图形G1,G2,…,Gn为n个圆是一特殊情形. 例4 以ABCD的边为直径向平行四边形内作四个半圆,证明这四个半圆一定覆盖整个平行四边形. 分析1 ABCD的每一点至少被某个半圆所盖住. 证明1 用反证法.如图45-4设存在一点P在以AB,BC,CD,DA为直径的圆外,根据定理二,∠A PB,∠BPC,∠CPD∠DPA均小于90°,从而 ∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA<360°.

与四角和应为周角相矛盾.故P应被其中一半圆盖住,即所作四个半圆覆盖ABCD. 分析2 划片包干,如图45-5,将ABCD分为若干部分,使每一部分分别都被上述四个半圆所覆盖. 证明2 在ABCD中,如图45-5,设AC≥BD.分别过B,D引垂线BE,DF垂直AC,交AC于E, F,将ABCD分成四个直角三角形,△ABE,△BCE,△CDF,△DAF.每一个直角三角形恰好被 一半圆所覆盖,从而整个四边形被四个半圆所覆盖. 上述结论可推广到任意四边形,留给读者考虑. 例5 求证:一个直径为1的圆不能被两个直径小于1的圆所覆盖. 证明 如图45-6,先考虑其中一个小圆即⊙O1去覆盖大圆O,连O1,O过O作AB⊥O1O,AB为⊙O 的直径(若O1,O重合,那么AB为任意直径)此时

故A,B两点都不能被⊙O1盖住.至于另一小圆⊙O2无疑不能同时盖住A,B两点,故⊙O1,⊙O2不能覆 盖⊙O. 事实上,我们还可以从另一角度给予证明.那就是一个小圆无法覆盖半个大圆,因此两个小圆也就不可能覆盖 住整个大圆了. 现在,我们着手研究本文一开始就提出的问题.

例6 给定一个半径为1的圆,若用半径为

的圆去覆盖它,问至少要几个才能盖住.

问题需要我们在二个方面给予回答:一是所确定数目的小圆足以覆盖大圆;二是少于确定的数目,则全部小圆 不能覆盖大圆.

对于不能覆盖的推断,以下两个原则是常用的: 原则1 若图形F的面积大于图形G的面积,则图形G不能覆盖图形F. 原则2 直径为d的图形F不能被直径小于d的图形G所覆盖. 两原则十分显然,不再证明.

四个半径为

的小圆面积和为 π,恰等于大圆面积,而四小圆间若不重迭,则覆盖其它图形时,还须排除中间

所夹的不属于四圆的部分,换句话说,四小圆所覆盖大圆部分面积必小于大圆自身面积,根据法则1,不可能 覆盖大圆,少于四个小圆更不可能. 若有五个小圆,我们改变角度考虑,可将大圆周分为六等分.因小圆直径为1,五个小圆无法盖住大圆周,而 六个圆周恰好盖住. 还需考虑大圆圆心没有被盖住,再添加一个小圆,符合要求!

这说明: 至少七个以

为半径的小圆方能覆覆盖半径为 1 的一个大圆.事实上这样的六个小圆若盖住大圆周, 则

大圆心不能被覆盖.若其中一小圆盖住大圆圆心,那么该圆又至多盖住大圆周上一点也就是六个小圆无法覆盖 大圆,而我们作大圆的内接正六边形,分别将小圆圆心与各边中点重合,再将第七个小圆圆心与大圆圆心重合 即可盖住大圆,如图45-7,以下给出证明: 对于正△OAB,设OA,OB中点A1,B1,那么∠AA1B=∠AB1B=90°,故四边形AA1B1B被 以AB为直径的圆覆盖.另外,△OA1B1被小圆⊙O所覆盖.类似地可推得七个小圆覆盖整个大圆. 3.直线形图形覆盖别的图形的问题 解决直线形图形覆盖别的图形的问题,常须较高的智巧,一般的处理方法是通过构造过渡图形,逐步调整,最 终获得问题的解决. 例7 证明直径为1的图形F可被单位正方形覆盖. 分析 先后用互相垂直的两对平行线将图形夹在中间,再向内收缩. 证明 取位于水平方向和铅直方向的两对平行直线将图形F夹在中间,再将位于下方的直线l2向上平移,直至 遇到图形F上点为止,中图45-8中l2′处.接着又将l1向下平移至与l2′相距为1的l1′处止.因图形F 直径为1.故图形F仍被二直线l1′,l2′所夹.同样采用先左后右的顺序,将沿直线m1,m2平移至m1′,m 2′处,m1′,m2′相距为1,而图形F依然夹在直线m1′,m2′中间,从而直线l1′,l2′,m1′,m2′所围成单 位正方形即可覆盖图形F. 运用上述方法,我们可进一步解决以下问题:

例8 直径为1的图形F可被一个边长为

的正三角形覆盖,试证明之.

证明 作三对相距为1的平行直线m1,m2,n1,n2,l1,l2,相交直线所成角为60°,围成可覆盖图形 F的六边形及正△A1B1C1,正△A2B2C2(具体作法可参照例7) .如图45-9.设P为F中任意一点, 它到六边形各边距离依次为x,a,y,b,z,c.又设正△A1B1C1的高为h1,正△A2B2C2的高为h 2.因正三角形内一点到三边距离和等于正三角形的高,得 a+b+c=h1, x+y+z=h2. 相加,得 (x+b)+(y+c)+(z+a)=h1+h2, 又x+b=1,y+c=1,z+a=1, ∴h1+h2=3. 根据抽屉原则,h1,h2中有一不大于 ,不妨设 ,即正△A1B1C1的高不大于 ,那么它的边长

因此图形F可被边长不大于

的正三角形即正△A1B1C1所覆盖.

4.图形的嵌入是覆盖问题的一种重要变化形式 所谓图形F能嵌入图形G,其本质就是图形G能覆盖图形 F. 例 9 试证面积为 S,周长为 P 的四边形一定可嵌入一个半径为 分析 四边形内存在到各边距离不小于 的点. 的圆.

证明 如图 45-10,设四边形 ABCD 面积为S,周长为P.各边长分别为a1,a2,a3,a4.现以a1,a2,a3, a4为长, 为宽,向四边形内侧作矩形,则这些矩形总面积是

即四个矩形面积总和等于四边形面积.由于这四个矩形有重迭部分,所以四边形内部存在点 O 没有被矩形覆盖,那

么以点 O 为圆心,

为半径的圆可嵌入四边形 ABCD 中.

例 10 在一个半径等于 18 的圆中已嵌入 16 个半径为 3 的圆.证明在余下的部分中还能嵌入 9 个半径为 1 的圆. 证明 首先证明大圆中还能嵌入 1 个半径为 1 的小圆.先将大圆的半径收缩为 17,而将半径为 3 的圆膨胀成半径为 4 的圆,此时大圆面积变为 π×172=289π. 16 个半径为 4 的圆的面积是 2 289π-256π=33π. π×4 ×16=256π. 这说明大圆中嵌入 16 个半径为 3 的圆外,还能嵌入半径为 1 的一个小圆,如图 45-11 所示. 再将大圆的半径收缩为 17,半径为 3 的圆的半径膨胀为 4,半径为 1 的圆膨胀为 2,由于 289π-256π-4π=29π,所以大圆中除嵌入 16 个半径为 3 的圆外,还能嵌入两个半径为 1 的圆.依此类推,由于 289π-256π-4π×8=π>0, 故大圆还可嵌入九个半径为 1 的小圆. 将图形收缩,膨胀是解嵌入问题一种重要方法.

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