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直线和圆的位置关系 习题精选


直线和圆的位置关系
一、选择题

习题精选

1.以三角形一边为直径的圆切三角形的另一边,则该三角形为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 2.⊙O 的半径 R ? 3 厘米,直线 l 与圆有公共点,且直线 l 与点 O 的距离为 d,则() A.d= 3 厘米 B.d≤ 3 厘米 C.d≥ 3 厘米 D.d< 3 厘米 3.正方形 ABCD 为边长为 2 2 ,若以 A 为圆心、2 为半径作圆,则此圆与 BD 的位置 关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 4.△ABC 为等腰三角形,其中 AB=AC=4 厘米。若以 A 为圆心、2 厘米为半径的圆与 BC 相切,那么∠BAC=() A.30° B.60° C.90° D.120° 5.如图,梯形 ABCD 各边与⊙O 相切,AD∥BC,则∠DOC=()

A.70° B.90° C.100° D.60° 6.已知⊙I 是△ABC 的内切圆,⊙I 与 AB,BC,AC 分别切于 D,E,F。若∠C=60° , ∠DIF=120° ,则∠B=() 。 A.130° B.40° C.50° D.60° 7.如图所示,P 是⊙O 外一点,PA,PB 分别和⊙O 切于 A,B 两点,C 是 BA 上任意 一点,过 C 作⊙O 的切线分别交 PA,PB 于 D,E。若△PDE 的周长为 12,则 PA 的长为() A.12 B.6 C.8 D.4

8.如图所示,直线 AD 与△ABC 的外接圆相切于点 A。若∠B=60° ,则∠CAD=() 。 A.30° B.60 ° C.90° D.120°

二、填空题

1.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AB=10 厘米,BC=8 厘米。若以 C 为圆心、5 厘米长为 半径作⊙C,则 AB 与⊙C 的位置关系是____。当半径为_______时,AB 与⊙C 相切。 2.已知∠AOB=45° ,M 为 OA 上一点,OM=10 厘米。若以 M 为圆心、以 5 厘米为半 径作⊙M,则⊙M 与 OB 的位置关系是_________。 3.已知⊙O 的直径为 13 厘米,若直线和圆心的距离为 4.5 厘米,那么直线与圆有___ 个公共点。 4.已知∠AOC=60° ,点 B 在 OA 上,且 OB ? 2 3 。若以 B 为圆心、R 为半径的圆与 直线 OC 相离,则 R 的取舍范围是_____。 5.在射线 OA 上取一点 P,使 OP=4 厘米,以 P 为圆心,作直径为 4 厘米的圆。若⊙P 与射线 OB 相交,则锐角∠AOB 的取舍范围是______________。 6.如图,PA 为⊙O 的切线,PA=8,PB=4,则⊙O 的半径为__________。

7.在△ABC 中,∠C=90° ,AC=5,BC=12,则它的外接圆半径为_________,内切圆 半径为__________。 8.等边三角形的边长为 a,则它的内切圆半径为_________,外接圆的半径为 ___________。 9. 已知⊙O 的半径 4 厘米, PO=8 厘米, 则过点 P 与⊙O 相切的两条切线长为________, 两切线的夹角为_____。 10.如图所示,⊙O 的半径为 1,圆心 O 在正三角形的边 AB 上沿图示方向移动,当⊙ O 移动到与 AC 边相切时,OA 的长为_________。

三、解答题 1.在△ACD 中,BC=6 厘米,∠B=30° ,∠C=45° ,以 A 为圆心,当半径多长时,所作 ⊙O 与 BC 相切、相交和相离? 2.在 Rt△ABC 的直角边 BC 为直径作⊙O 交斜边 AB 于 D。若 P 是 AC 的中点,DP 与⊙O 的位置关系如何? 3.如图,在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠B=90° ,AD∥BC,E 为 AB 上一点,DE 平分

∠ADC,CE 平分∠BCD。问以 AB 为直径的圆与边 CD 有何位置关系。

4.如图,已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,AC=BC。求证:直线 AB 为⊙O 的切线。

5. 在 Rt△ABC 中, ∠B=90° , ∠A 的平分线交 BC 于点 D, E 为 AB 上的一点, DE=DC。 以 D 为圆心,DB 长为半径作⊙D。求证: (1)AC 是⊙D 的切线; (2)AB+EB=AC。

答案: 一、1.B 解析:如图,△ABC 中,以 AB 为直径的圆与 BC 相切,则必有 AB⊥BC, 因此△ABC 为直角三角形。

2.B 解析:直线 l 与圆有公共点,则直线 l 与圆可能相切,也可能相交。若直线 l 与圆 相切,则 d=r= 3 。∴d≤ 3 .

3.B 解析:如图所示,

1 ∵正方形 ABCD,∴OA⊥BD,∠ABC=90° ,AB=BC= 2 2 ,OA= 2 AC,∴ 1 ?4 ? 2 2 2 ? (2 2) 2 ? (2 2) 2 AC ? AB ? BC =4,∴OA= 2 .∵r=2,∴OA=r,∴BD
是圆的切线。 4. D 解析: 如图, 过点 A 作 AD⊥BC 于 D, 则 AD 为∠BAC 的角平分线, 且 AD=r=2。 ∴在 Rt△ABD 中,AD=2,AB=4, ∴∠ABD=30° ,∴∠BAD=60° ∴∠BAC=120° 。

5.B

1 1 提示: ∠DOC=180° (∠ODC+∠OCD) = 180° - 2 (∠AOC+∠BCD) =180° -2 × 180° =90°
6.D 解析:如图所示,四边形 ADIF 中,∵∠DIF=120° , ∠A+∠ADI+∠AFI+∠ DIF=360° ,又∵⊙I 切 AB,AC 于 D,F,∴∠A+90° +90° +120° =360° ,∴∠A=60° 。∵∠A+ ∠B+∠C=180° ,∠C=60° ,∴∠B=60° .

7.B 解析:∵PA,PB,DE 都是⊙O 的切线,∴PA=PB,AD=DC,BE=CE, ∴△PDE 的周长=PD+DE+PE=PD+CD+CE+PE=PD+AD+BE+PE=PA+PB=12,∴PA=6. 提示:△PDE 的周长为定理(PA+PB) 。 8.B 如图所示,连接 O 并延长⊙O 于 E,连接 EC

∵直线 AD⊙O 于 A, ∴OA⊥AD, ∴∠1+∠CAD=90° , ∵AE 是直径, ∴∠1+∠E=90° , ∴∠CAD=∠E.又∵∠E=∠B,∴∠CAD=∠B.∵∠B=60° ,∴∠CAD=60°

二、1.解析:如图,过 C 用 CD⊥AB 于 D。 在 Rt△ACD 中,AB=10,BC=8,∴AC=6.

1 1 AC BC 6 ? 8 CD AB ? AC BC ? ? 4.8 ? 5 2 10 ∵2 ,∴CD= AB .∴AB 与⊙C 相交。要
使 AB 与⊙C 相切,则 r=CD=4.8。答案:相交,4.8 厘米

2. 解析: 如图, 过点 M 作 MN⊥OB 交 OB 于 N, ∴∠OMN+∠AOB=90° , ON2+MN2=OM2。 ∵∠AOB=45° ,∴∠OMN=45° ,∴∠OMN=∠AOB,∴ON=NM。∵OM=10,∴2MN2=102, ∴MN= 5 2 >5,即 MN>r,∴OB 与⊙M 相离。答案:相离。

3.解析:⊙O 的半径 6.5,圆心到直线的距离为 4.5,∴直线与⊙O 相交。∴直线与 圆有两个公共点。答案:两。 4.解析:如图,过 B 作 BD⊥OC 于 D,∴OD2+BD2=OB2,∠OBD=90° -∠AOC.

1 ∵∠AOC=60° ,∴∠OBD=30° ,∴OD= 2 OB.∵ OB ? 2 3 ,∴OD= 3 ,∴
BD= OB ? OD =3。 若要使⊙B 与 OC 相离, 则 BD>R, 即 R<3. ∴R 的取值范围是 0<R<3。 答案:0<R<3。
2 2

5.解析:如图,过点 O 作⊙P 的切线 OQ 与 QP 交于点 Q,连接 PQ。在 Rt△POQ 中, PQ=2,OP=4。∴∠POQ=30° .∵OB 与⊙P 相交,∴∠AOB<∠POQ,∴0° <∠AOB<30° 答 案:0° <∠AOB<30°

6.解析:连接 OA。设圆的半径为 r,在 Rt△AOP 中,r2+82=(r+4)2,解得 r=6。答 案:6

1 7.角析:内切圆半径= 2 (5+12-13)=2。答案:6.5

2

1 8.解析:如图,设外接圆半径为 R,内切圆半径为 r.R,r, 2 a 组成直角三角形,

1 3 3 3 r 2 ? ( a) 2 ? (2r ) 2 R ? 2? a? a r? a 2 6 3 。答 6 ,∴ ∠OBD=30° .∴R=2r, ∴ ,∴

3 3 a a 案: 6 , 3

9.解析:如图所示,∵PA,PB 分别切⊙O 于 A,B,∴PA=PB,OA⊥PA,∠APB=2 ∠APO。 ∵OA=4, PO=8, ∴PO=2OA, PA= PO ? OA ? 8 ? 4 ? 4 3 , ∴∠APO=30° ,
2 2 2 2

PB ? 4 3 ,∴∠APB=60° 。答案: 4 3

60°

10.解析:如图所示,AC 切⊙O 于点 D,连接 OD,∴OD⊥AC,∴∠A+∠AOD=90° ,

1 OD +AO =OA 。∵∠A=60° ,∴∠AOD=30° ,∴AD= 2 OA.又∵OD=1,∴ 1 2 2 12 ? ( OA) 2 ? OA2 3 3 2 ,∴OA= 3 .答案: 3
2 2 2

三、 1. 解析: 如图, 过 A 作 AD⊥BC 于 D, 设 AD=x, 则 BD= 3x , CD=x, ∴x+ 3x =6, x= 3x -3。 ∴当 r=AD= 3x -3 时, ⊙A 与 BC 相切。 当 r> 3x -3 时, ⊙A 与 BC 相交。 当 r= 3x -3 时,⊙A 与 BC 相离。

2.解析:如图,连接 OD,CD,则∠ODC=∠OCD。在 Rt△ACD 中 ,P 为 AC 中点, ∴DP=CP,∴∠PDC=∠PCD,∴∠PCB=∠PDO,∴∠POD=90° 。O 到 PD 的距离为 OD, 它的长正好等于半径,∴DP 与⊙O 相切。

3.解析:如图,过 E 作 EF⊥DC 于 F,∵DE 平分∠ADC,AD⊥AE 于 A,EF⊥DF 于

1 AB F。∴AE=EF,同理 BE=EF。∴BE=AE,∴E 为 AB 中点,∴EF= 2 ,∴以 AB 为直径
的圆与 CD 相切。

4.证明:如图所示,连接 OC,∵OA=OB,AC=BC,∴OC 为△ABC 底为 AB 上的中 线,∴AB⊥OC.∵直线 AB 过半径 m 外端 C,∴AB 为⊙O 的切线。

5.证明: (1)如图所示,过点 D 作 DF⊥AC,F 为垂足。

∵∠B=90° ,∴DB⊥AB.∵AD 是∠BAC 的平分线,∴OD=DF,∴点 D 到 AC 是⊙D 的切线。 (2)∵AB⊥BD,BD 为⊙D 的半径,∴AB 是⊙D 的切线。∵AC 是⊙D 的切线,∴ AB=AF.在 Rt△BED 和 Rt△FCD 中,∵DE=DC,BD=FD,∴Rt△BED≌Rt△FCD(HL) , ∴BE=FC,∴AB+EB=AF+FC=AC. 提示: 本题把证明切线的两种类型都包含在其中, 而且融合了角平分线性质定理及“HL” 定理。


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