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【专题复习02】数列、数列的极限与数学归纳法


数列、 数列、数列的极限与数学归纳法
基础概念
一、复习策略 本章内容是中学数学的重点之一, 它既具有相对的独立性, 又具有一定的综合性和灵活 性,也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点,因而历来是高考的重点. 高考对本章考查比较全面, 等差、 等比数列, 数列的极限的考查几乎每年都不会遗漏. 就 近五年高考试卷平均计算,本章内容在文史类中分数占13%,理工类卷中分数占11%,由此 可以看出数列这一章的重要性. 本章在高考中常见的试题类型及命题趋势: (1)数列中 S n 与 an 的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最为常见的题目,要 切实注意 S n 与 an 的关系.关于递推公式,在《考试说明》中的考试要求是: “了解递推公 式是给出数列的一种方法, 并能根据递推公式写出数列的前几项” 近几年命题严格按照 , 《考 试说明》 ,不要求较复杂由递推公式求通项问题. (2)探索性问题在数列中考查较多,试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论, 然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求. (3)等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题,填空题,又有解答题;有容 易题、中等题,也有难题. (4)求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问 题应掌握,还应该掌握一些特殊数列的求和. (5)将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点,从本章在高考中 所占的分值来看,一年比一年多,而且多注重能力的考查. 通过上述分析,在学习中应着眼于教材的基本知识和方法,不要盲目扩大,应着重做好 以下几方面: 理解概念,熟练运算 巧用性质,灵活自如

典型例题
项和】 【考点一:数列的通项与它的前 n 项和】 考点一: 例1、只能被1和它本身整除的自然数(不包括1)叫做质数.41,43,47,53,61,71,83, 、

97是一个由8个质数组成的数列,小王正确地写出了它的一个通项公式,并根据通项公式得 出数列的后几项,发现它们也是质数.试写出一个数 p 满足小王得出的通项公式,但它不 是质数,则 p = ________. 解析: 解析:

a1 = 41 , an ? an?1 = 2(n ? 1) ,∴ an ? a1 = 2(1 + 2 + 3 + ? + n ? 1) ,
∴ an = n ? n + 41 .显然当 n = 41 时 an 有因数41,此时 a41 = 1681 .
2

答案: 答案:1681 点评: 点评: 本题主要考查了根据数列的前 n 项写数列的通项的能力. 体现了根据数列的前 n 项写通 项只能是满足前 n 项但不一定满足其所有的性质的特点. 例2、已知等差数列 {an } 中, a1 = 2 ,前10项之和是15,又记 、

An = a2 + a4 + a8 + ? + a2n (n ∈ N ? ) .
(1)求 {an } 的通项公式; (2)求 An ; (3)求 An 的最大值. (参考数据: ln 2 = 0.6931 ) 解析: 解析: (1)由 S10 = 10a1 +

10 × 9 1 × d = 10 × 2 + 45d = 15 ,得 d = ? , 2 9 1 19 ? n ∴ an = a1 + ( n ? 1) d = 2 + ( n ? 1) ? ( ? ) = . 9 9
n

(2) An = na1 + d [1 + 3 + 7 + ? + (2 ? 1)]

= na1 + d (2 + 2 2 + 23 + ? + 2 n ? n)
1 2 ? 2 n +1 1 = 2n ? ( ? n) = (19n + 2 ? 2 n +1 ) . 9 1? 2 9
(3)解法一: An = f ( n) = 解法一: 解法一

1 1 (19n + 2 ? 2 n +1 ) , f ' (n) = (19 ? 2 n +1 ? ln 2) ,由 ln2=0.6931, 9 9
?

计算 f ' (3) > 0 , f ' ( 4) < 0 ,所以极大值点 n0 满足 3 < n0 < 4 ,但 n ∈ N ,所以只需比较

f (3) 与 f (4) 的大小: f (3) =

43 46 46 , f ( 4) = ,∴ ( A n ) max = A4 = . 9 9 9

解法二:数列 {a2 n } 的通项 a2 n = 解法二:
n n

19 ? 2 n , 9
? ?

令 a2 n ≥ 0 ? 19 ? 2 ≥ 0 ? 2 ≤ 19 ( n ∈ N ) ? n ≤ 4 ( n ∈ N ) , ∴ ( A n ) max = A4 = 点评: 点评:

1 46 (19 × 4 + 2 ? 25 ) = . 9 9

19 ? 2 n n 求 An 时,也可先求出 bn = a2 n = ,这要正确理解“ a2 n ”,其中 2 应处在 an 的表 9
达式中 n 的位置. . 例3、已知数列 {an } 的首项 a1 = 5 ,前 n 项和为 S n ,且 S n +1 = 2 S n + n + 5 ( n ∈ N ) 、 (1)证明数列 {an + 1} 是等比数列; (2) f ( x ) = a1 x + a2 x + + an x , 令 求函数 f (x ) 在点 x = 1 处的导数 f ' (1) , 并比较 2 f ' (1)
2

?

n

与 23n ? 13n 的大小.
2

解析: 解析: (1)由已知 S n +1 = 2 S n + n + 5 ,∴ n ≥ 2 时, S n = 2 S n ?1 + n + 4 . 两式相减,得 S n +1 ? S n = 2( S n ? S n ?1 ) + 1 ,即 an +1 = 2an + 1 ,从而 an +1 + 1 = 2( an + 1) . 当 n = 1 时, S 2 = 2 S1 + 1 + 5 ,∴ a1 + a2 = 2a1 + 6 . 又 a1 = 5 ,∴ a2 = 11 .从而 a2 + 1 = 2( a1 + 1) . 故总有 an +1 + 1 = 2( an + 1) , n ∈ N . 又∵ a1 = 5 ,∴ an + 1 ≠ 0 .从而
?

an+1 + 1 = 2. an + 1

即 {an + 1} 是以 a1 + 1 = 6 为首项,2为公比的等比数列. (2)由(1)知 an = 3 × 2 ? 1 ,∵ f ( x ) = a1 x + a2 x + ? + an x ,
n 2 n

∴ f ' ( x ) = a1 + 2a2 x + ? + nan x

n ?1


2 n

从而 f ' (1) = a1 + 2a2 + ? + nan = (3 × 2 ? 1) + 2(3 × 2 ? 1) + ? + n(3 × 2 ? 1)

= 3 ? (2 + 2 × 2 2 + + n × 2 n ) ? (1 + 2 + ? + n)
= 3 ? [n × 2 n +1 ? (2 + ? + 2 n )] ? = 3 ? (n ? 1) ? 2 n +1 ? n(n + 1) +6 2
2

n(n + 1) n(n + 1) = 3 ? [n × 2 n+1 ? 2 n +1 + 2] ? 2 2

由上 2 f ' (1) ? ( 23n ? 13n) = 12 ? ( n ? 1) ? 2 ? 12 ? ( 2n ? n ? 1)
n 2

= 12(n ? 1) ? 2 n ? 12(n ? 1) ? (2n + 1) = 12(n ? 1) ? [2 n ? (2n + 1)] (?)
当 n = 1 时, (?) 式 = 0 ,∴ 2 f ' (1) = 23n ? 13n ;
2

当 n = 2 时, (?) 式 = ?12 < 0 ,∴ 2 f ' (1) < 23n 2 ? 13n ; 当 n ≥ 3 时, n ? 1 > 0 . 又 2 = (1 + 1) = Cn + Cn + ? + Cn
n n o 1 n ?1 n + Cn ≥ 2n + 2 > 2n + 1 ,

∴ (n ? 1)[2 n ? ( 2n + 1)] > 0 ,即 (?) 式 > 0 ,从而 2 f ' (1) > 23n 2 ? 13n . 【考点二:等差数列与等比数列】 考点二:等差数列与等比数列】 . 例4、有 n ( n ≥ 4 )个正数,排成 n × n 矩阵( n 行 n 列的数表,如下图) 、
2

其中每一行的数成等差数列, 每一列的数成等比数列, 并且所有的公比都相等, 且满足:

1 3 a24 = 1 , a42 = , a43 = , 8 16 (1)求公比 q ;
(2)用 k 表示 a4 k ; (3)求 a11 + a22 + a33 + ? + ann 的值. 分析: 分析: 解答本题的关键首先是阅读理解,熟悉矩阵的排列规律,其次是灵活应用等差、等比数 列的相关知识求解. 解析: 解析:

1 . 4 1 1 2 又每一列的数成等比数列, a44 = a24 ? q 2 , a24 = 1 ,∴ q = ,且 an > 0 ,∴ q = . 4 2 1 k (2) a4 k = a42 + ( k ? 2) d = + ( k ? 2)( a43 ? a42 ) = . 8 16
(1) ∵每一行的数列成等差数列. a42 , a43 , a44 成等差数列. 2a43 = a42 + a44 , 44 = ∴ ∴ a (3)∵第 k 列的数成等比数列. ∴ akk = a4 k ? q
k ?4

=

1 k 1 k ?4 ? ( ) = k ? ( ) k (k = 1 , 2 , ? , n) . 16 2 2

记 S n = a11 + a22 + a33 + ? + ann ,

1 1 1 1 + 2( ) 2 + 3( )3 + ? + n( ) n , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 S n = ( ) 2 + 2( ) 3 + ? + (n ? 1)( ) n + n( ) n +1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n 1 n +1 n+2 两式相减,得 S n = + ( ) + ? + ( ) ? n( ) = 1 ? n +1 , 2 2 2 2 2 2 n+2 n+2 ∴ S n = 2 ? n ,即 a11 + a22 + a33 + ? + ann = 2 ? n . 2 2
则 Sn = 例5、已知 i , j 分别是 x 轴, y 轴方向上的单位向量, OA1 = j , OA2 = 10 j ,且 、

An?1 An = 3 An An +1 ( n = 2 , 3 , 4 , ? ) ,在射线 y = x ( x ≥ 0 )上从下到上依次有点
Bi (i = 1 , 2 , 3 , ?) , OB1 = 3i + 3 j 且 | Bn ?1 Bn |= 2 2 ( n = 2 , 3 , 4 , ? ) .
(1)求 A4 A5 ; (2)求 OAn , OBn ; (3)求四边形 An An +1 Bn +1 Bn 面积的最大值. 解析: 解析: (1)由已知

An ?1 An = 3 An An +1 ,得 An An +1 =

1 A n ?1 An 3



1 1 1 1 1 A4 A5 = A3 A4 = ( )2 A2 A3 = ( )3 A1 A2 = (OA2 ? OA1 ) = j . 3 3 3 27 3
(2)由(1)知 A A +1 = n n

1 1 A A2 = n?3 j , 1 3n?1 3

OAn = OA1 + A1 A2 + ? + An ?1 An = j + A1 A2 + ? + An ?1 An

= j + 9 j + 3 j +? +

1 3 n?3

1 1 9 [1 ? ( ) n ?1 ] 29 ? ( ) n ? 4 3 3 j= j+ j= j. 1 2 1? 3




Bn?1Bn = 2 2 且 Bn ?1 , Bn 均在射线 y = x ( x ≥ 0) 上, Bn ?1 Bn = 2 i + 2 j

∴ OBn

= OB1 + B1B2 + B2 B3 + ? + Bn ?1 Bn

= 3 i + 3 j + (n ? 1)(2 i + 2 j ) = (2n + 1) i + (2n + 1) j .
(3)四边形 An An +1 Bn +1 Bn 的面积为: S n

= S ?An An +1 Bn +1 + S ?Bn +1 Bn An .



An An+1 =

1 , ?An An +1 Bn +1 的底边 An An +1 上的高为 h1 = 2n + 3 . 3n?3
1 1 29 ? ( ) n ? 4 29 ? ( ) n ? 4 3 3 2 , An (0 , ) 到直线 y = x 的距离为 h2 = . 2 2 2



Bn Bn +1 = 2

1 29 ? ( ) n ? 4 1 1 1 29 n 3 = + n ?3 , ∴ S n = ? ( 2n + 3) ? n ?3 + ? 2 2 ? 2 3 2 2 3 2 2
而 S n ? S n ?1 =

n 3
n ?3

?

n ? 1 ? 2n + 3 = < 0, 3n ? 4 3n ? 3

∴ S1 > S 2 > S 3 > ? > S n > ? , ∴ S max = S1 = 点评: 点评: 本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合,体现了在知识交汇点设题的命题 原则.其中割补法是解决四边形面积的常用方法. 【考点三:数列的极限】 考点三:数列的极限】
2 例6、给定抛物线 y = x ,过原点作斜率为1的直线交抛物线于点 P ,其次过 P 作斜率为 、 1 1

29 1 29 47 + ?2 = +9 = . 2 3 2 2

1 2

的直线与抛物线交于 P2 .过 P2 作斜率为

1 的直线与抛物线交于 P3 ,由此方法确定: 4

P , P2 , P3 , ? ,一般地说,过 Pn 作斜率为 2 ? n 的直线与抛物线交于点 Pn +1 .设 Pn 的坐标为 1 ( xn , yn ) ,试求 x2 n +1 ,再试问:点 P , P3 , P5 , ? 向哪一点无限接近? 1
解析: 解析:

∵ Pn 、 Pn +1 都位于抛物线 y = x 上,从而它们的坐标分别为 ( xn , xn ) 、 ( xn +1 , xn +1 ) .
2
2 2

∴直线 Pn Pn +1 的斜率为 即 xn +1 = 2 ∴
?n

2 2 xn +1 ? xn = xn +1 + xn ,于是 xn +1 + xn = 2 ? n , xn+1 ? xn

? xn , x2 n +1 = 2 ?2 n ? x2 n = 2 ?2 n ? (2 ?2 n +1 ? x2 n ?1 ) , x2 n +1 ? x2 n ?1 = ?2 ?2 n .

x2 n+1 ? x2 n ?1 ? 2 ?2 n = = 2 ?2 . ? 2 ( n ?1) x2 n?1 ? x2 n?3 ? 2
?2 ?2

∴数列 {x2 n +1 ? x2 n ?1} 是首项为 x3 ? x1 = ?2 ,公比 q = 2 的等比数列.又 x1 = 1 . ∴ x2 n +1 ? x1 = ( x2 n +1 ? x2 n ?1 ) + ( x2 n ?1 ? x2 n ?3 ) + ? + ( x3 ? x1 )

=

? 2 ?2 (1 ? 2 ?2 n ) 1 4 1 = × [1 ? ( ) 2 n ] ?2 1? 2 4 3 2

1 1 2 1 (1 ? 2 n ) = + 3 2 3 3 × 22n 2 4 2 4 2 ∴ lim x2 n +1 = , lim x2 n +1 = ,因此点列 {P2 n ?1} 向点 ( , ) 无限接近. n →∞ 3 n →∞ 9 3 9
∴ x2 n +1 = 1 ? 点评: 点评: 本例考查极限的计算在几何图形变化中的应用, 求解问题的关键是要利用图形的变化发 现点运动的规律,从而便于求出极限值来. 例7、已知点 Pn ( an , bn ) 满足:对任意的 n ∈ N , an +1 = an bn +1 , bn +1 = 、
?

bn .又已知 2 1 ? an

1 2 P0 ( , ) . 3 3
(1)求过点 P0 、 P 的直线 l 的方程; 1 (2)证明点 Pn ( n ≥ 2) 在直线 l 上; (3)求点 Pn 的极限位置. 解析: 解析:

2 b0 3 1 3 1 3 (1)∵ b1 = = = , a1 = a0b1 = × = . 2 1 ? a0 1 ? ( 1 ) 2 4 3 4 4 3

2 1 y? x? 1 3 3 = 3. ∴ P ( , ) ,则 1 3 2 1 1 4 4 ? ? 4 3 4 3
化简得 x + y = 1 ,即直线 l 的方程为 x + y ? 1 = 0 . (2)已知 P0 、 P 在直线 l 上,假设 Pk ( ak , bk ) 在直线 l 上,则有 ak + bk = 1 ,此时: 1

ak +1 + bk +1 = ak bk +1 + bk +1 = (ak + 1)bk +1 = (ak + 1)
∴ Pk +1 ( ak +1 , bk +1 ) 也在直线 l 上. ∴点 Pn ( n ≥ 2) 在直线 l 上. (3)∵ bn +1 =

bk b 1 ? ak = k = = 1, 2 1 ? ak 1 ? ak 1 ? ak

bn 1 ? an 1 an = = .∴ an +1 = an bn +1 = . 2 1 ? an (1 + an )(1 ? an ) 1 + an 1 + an



1 1 1 1 ? = 1 ,∴ { } 构成等差数列,公差 d = 1 ,首项 = 3 , an+1 an an a0
1 1 = 3 + n , an = , ,故 lim an = 0 . n →∞ an 3+ n



∴ bn +1 =

an +1 an

1 3 + (n + 1) n + 3 = = . 1 n+4 3+ n

∴ lim bn = lim bn +1 = 1 .故 Pn 的极限位置为 (0 , 1) .
n →∞ n→∞

【考点四:数学归纳法】 考点四:数学归纳法】
k ?1 例8、设 f (k ) 是满足不等式 log 2 x + log 2 (3 ? 2 ? x ) ≥ 2k ? 1 ( k ∈ N ) 的自然数 x 的个数. 、

(1)求 f ( k ) 的解析式; (2)设 S n = f (1) + f ( 2) + ? + f ( n) ,求 S n 的解析式; (3) Pn = n + n ? 1 ( n ∈ N ) ,试比较 S n 与 Pn 的大小.
2 ?

解析: 解析: 先由条件解关于 x 的不等式,从而求出 f (k ) .

?x > 0 ?x > 0 ? ? k ?1 k ?1 (1) ? x < 3 ? 2 ,即 ? x < 3 ? 2 . ? ? k ?1 2 k ?1 k ?1 k ?1 ? x ? (3 ? 2 ? x) ≥ 2 ?( x ? 2 )( x ? 2 ? 2 ) ≤ 0
得2
k ?1

≤ x ≤ 2 k ,∴ f (k ) = 2 k ? 2 k ?1 + 1 = 2 k ?1 + 1 .
0 1 n ?1

(2) S n = f (1) + f ( 2) + ? + f ( n) = 2 + 2 + ? + 2 (3) S n ? Pn = 2 ? n .
n 2

+ n = 2n + n ? 1 .

n = 1 时, 21 ? 12 > 0 ; n = 2 时, 2 2 ? 2 2 = 0 ; n = 3 时, 23 ? 32 < 0 ; n = 4 时, 2 4 ? 4 2 = 0 ; n = 5 时, 25 ? 5 2 > 0 ; n = 6 时, 2 6 ? 6 2 > 0 .
猜想: n ≥ 5 时, S n > Pn ,下面对 n ≥ 5 时 2 > n 用数学归纳法证明:
n 2

1)当 n = 5 时,已证 2 > 5 .
5 2

2)假设 n = k ( k ≥ 5) 时, 2 > k ,那么:
k 2

2 k +1 = 2 ? 2 k > 2k 2 = k 2 + 2k + 1 + k 2 ? 2k ? 1 = (k + 1) 2 + [k (k ? 2) ? 1] .
∵ k ≥ 5 ,∴ k ( k ? 2) ? 1 > 0 ,∴ ( k + 1) 2 + [ k ( k ? 2) ? 1] > ( k + 1) 2 . ∴ 2 k +1 > ( k + 1) 2 ,即当 n = k + 1 时不等式也成立. 根据1)和2)时,对 n ∈ N , n ≥ 5 , 2 > n ,即 S n > Pn .
n 2

综上, n = 1 或 n ≥ 5 时, S n > Pn ; n = 2 或 n = 4 时, S n = Pn ; n = 3 时, S n < Pn . 点评: 点评: 这是一道较好的难度不太大的题, 它考查了对数不等式的解法、 数列求和及数学归纳法 等知识.对培养学生综合分析问题的能力有一定作用. 例9、已知数列 {an } 中 a1 = 2 , an +1 = ( 2 ? 1)( an + 2) , n = 1 , 2 , 3 , ? . 、 (1)求 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 中 b1 = 2 , bn +1 =

3bn + 4 , n = 1 , 2 , 3 , ? .证明: 2 < bn ≤ a4 n ?3 , 2bn + 3

n = 1, 2 , 3 ,?.
解析: 解析:

(1)由题设: an +1 = ( 2 ? 1)( an + 2) = ( 2 ? 1)( an ? 2 ) + ( 2 ? 1)( 2 + 2 )

= ( 2 ? 1)(an ? 2 ) + 2 , an +1 ? 2 = ( 2 ? 1)(an ? 2 ) .
∴数列 {an ? 2} 是首项为 2 ? 2 ,公比为 2 ? 1 的等比数列. ∴ an ? 2 =

2 ( 2 ? 1) n . 2 [( 2 ? 1) n + 1] , n = 1 , 2 , 3 , ? .

即 an 的通项公式为: an = (2)用数学归纳法证明.

1)当 n = 1 时,∵ 2 < 2 , b1 = a1 = 2 .∴ 2 < b1 ≤ a1 ,结论成立. 2)假设当 n = k 时,结论成立,即 2 < bk ≤ a4 k ?3 ,也即 0 < bk ? 2 ≤ a4 k ?3 ? 2 . 当 n = k + 1 时,

bk +1 ? 2 =

3bk + 4 (3 ? 2 2 )bk + (4 ? 3 2 ) (3 ? 2 2 )(bk ? 2 ) ? 2= = > 0. 2bk + 3 2bk + 3 2bk + 3



1 1 < = 3? 2 2 , 2bk + 3 2 2 + 3 (3 ? 2 2 )(bk ? 2 ) < (3 ? 2 2 ) 2 (bk ? 2 ) 2bk + 3

∴ bk +1 ? 2 =

≤ ( 2 ? 1) 4 (a4 k ?3 ? 2 ) = a4 k +1 ? 2 .
也就是说,当 n = k + 1 时,结论成立. 根据1)和2)知 2 < bn ≤ a4 n ?3 , n = 1 , 2 , 3 , ? . 【考点五:数列的应用】 考点五:数列的应用】 ,要求每12小时服一片,已知 例10、李先生因病到医院求医,医生给他开了处方药(片剂) 、 该药片每片220毫克,他的肾脏每12小时排出这种药的60%,并且如果这种药在体内残留量 超过386毫克,将会产生副作用,请问: 李先生第一天上午8时第一次服药, 则第二天早上8时服完药时, 药在他体内的残留量是 多少毫克? 如果李先生坚持长期服用此药,会不会产生副作用?为什么?

解析: 解析: (1)设第 n 次服药后,药在他体内残留量为 an 毫克,依题意,

a1 = 220 , a2 = 220 + a1 (1 ? 60%) = 220 × 1.4 ,

a3 = 220 + a2 (1 ? 60%) = 220 + 220 × 1.4 2 = 343.2 ,
故第二天早上8时第三次服完药时,药在他体内的残留量是 343.2 毫克. (2)由题意得:

an = 220 + 0.4an ?1 , an ?

1100 1100 = 0.4 × (an ?1 ? ) ( n ≥ 2) , 3 3

1100 1100 = (a1 ? ) × 0.4 n ?1 (n ≥ 2) . 3 3 1100 1100 ∵ a1 ? = 220 ? < 0. 3 3 1100 1100 ∴ an ? < 0 , an < < 386 . 3 3 an ?
故长期服用此药不会产生副作用. (07安徽高考 例11、 安徽高考 、 安徽高考)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金, 数目为 a1 ,以后每年交纳的数目均比上一年增加 d ( d > 0) ,因此,历年所交纳的储务金数 目 a1 , a2 ,? 是一个公差为 d 的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采 用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为 r (r > 0) ,那么,在第 n 年末, 第一年所交纳的储备金就变为 a1 (1 + r ) n ?1 , 第二年所交纳的储备金就变为 a2 (1 + r ) n ? 2 , , ? 以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额. (1)写出 Tn 与 Tn ?1 ( n ≥ 2) 的递推关系式; (2)求证: Tn = An + Bn ,其中 { An } 是一个等比数列, {Bn } 是一个等差数列. 解析: 解析: (1)我们有 Tn = Tn ?1 (1 + r ) + an ( n ≥ 2) . (2) T1 = a1 ,对 n ≥ 2 反复使用上述关系式,得:

Tn = Tn ?1 (1 + r ) + an = Tn ? 2 (1 + r ) 2 + an ?1 (1 + r ) + an = ? = a1 (1 + r ) n ?1 + a2 (1 + r ) n ? 2 + ? + an ?1 (1 + r ) + an


在①式两端同乘 1 + r ,得:

(1 + r )Tn = a1 (1 + r ) n + a2 (1 + r ) n ?1 + ? + an ?1 (1 + r ) 2 + an (1 + r )
②-①得: rTn = a1 (1 + r ) + d [(1 + r )
n n ?1



+ (1 + r ) n? 2 + ? + (1 + r )] ? an

d [(1 + r ) n ? 1 ? r ] + a1 (1 + r ) n ? an . r a r+d d a r+d n 即: Tn = 1 2 (1 + r ) ? n ? 1 2 . r r r a1r + d ar+d d (1 + r ) n , Bn = ? 1 2 ? n ,则 Tn = An + Bn . 如果记 An = 2 r r r a1r + d 其中 { An } 是以 (1 + r ) 为首项,以 1 + r (r > 0) 为公比的等比数列; r2 a r+d d d {Bn } 是以 ? 1 2 ? 为首项, ? 为公差的等差数列. r r r =

基础练习
一、选择题 1、已知等差数列 {an } 中, a7 + a9 = 16 , a4 = 1 ,则 a12 的值是( A.15 C.31 B.30 D.64 ) )

2、已知在等差数列 {an } 中, 1 = 120 , = ?4 , S n ≤ an ( n ≥ 2) , n 的最小值为 d 若 则 ( a A.60 C.70 B.62 D.72

3、在等差数列 {an } 中,a1 + a4 + a7 = 39 ,a3 + a6 + a9 = 27 , 则数列 {an } 的前 9 项之和 S9 等于( A.66 C.144 4、设 f ( x ) = ) B.99 D.297

1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 3 + 3
x

f (?12) + f (?11) + ? + f (0) + ? + f (11) + f (12) + f (13) 的值为(
A. 3 C. B. 13 3 D.



28 3 3

13 3 3

5、设 f (n) 为正整数 n (十进制) 的各数位上的数字的平方之和, 比如 f (123) = 1 + 2 + 3 ,
2 2 2

记 f1 ( n) = f ( n) , f k +1 ( n) = f [ f k ( n)] ( k = 1 , 2 , 3 , ? ) ,则 f 2007 ( 2007) = ( A.53 C.25 B.34 D.29



6、已知方程 ( x 2 ? 6 x + k )( x 2 + 6 2 x + h) = 0 的 4 个实根经过调整后组成一个以 2 为首项 的等比数列,则 k + h = ( A. 2 ? 2 2 C. ? 6 + 6 2 ) B. 2 + 2 2 D. 24

7、如图,一个粒子在第一象限运动,在第一秒内,它从原点运动到 (0 , 1) ,然后它接着按 图所示在 x 轴、 y 轴的平行方向来回运动,即:

(0 , 0) → (0 , 1) → (1 , 1) → (1 , 0) → (2 , 0) → (2 , 2) → ? .且每秒移动一个单位长度,那
么 2008 秒时,这个粒子所处位置为( )

A. ( 21 , 47) C. (44 , 20)

B. (20 , 48) D. ( 44 , 21)

8、用 n 个不同的实数 a1 , a2 , ? , an 可得到 n! 个不同的排列, 每个排列为一行写成一个 n! 行 的数阵.对第 i 行 ai1 , ai 2 , ? , ain ,记 bi = ? ai1 + 2ai 2 ? 3ai 3 + ? + (?1) nain ,
n

i = 1 , 2 , 3 , ? , n! . 例如: 1, 3 可得数阵如图, 用 2, 由于此数阵中每一列各数之和都是 12. 所
以 b1 + b2 + ? + b6 = ?12 + 2 × 12 ? 3 ×12 = ?24 .那么,在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中,

b1 + b2 + ? + b120 等于(



A. ? 3600 C. ? 1080 9、设函数 y =

B. 1800 D. ? 720

n ?1 x2 ? x + n ? ( x∈ R, x ≠ 且 ,x ∈ N ) 的最小值为 an , 最大值为 bn . 若 2 x + x +1 2


cn = (1 ? an )(1 ? bn ) ,则数列 {cn } (
A.是公差不等于零的等差数列 B.是公比不等于 1 的等比数列 C.是常数列 D.不是等差数列也不是等比数列

10、在三棱锥 A ? BCD 内部有 2007 个点,加上 A 、 B 、 C 、 D 四个顶点,共有 2011 个 点,且任意三点不共线、任意四点不共面,将这 2011 个点中的任意四点连接起来构成小三 棱锥,将三棱锥 A ? BCD 分割成互不重叠的小三棱锥,则小三棱锥的个数为( A.6022 C.6018 二、填空题 11、数列 {an } 中, a3 = 2 , a7 = 1 ,且数列 { B.6020 D.6015 )

1 } 是等差数列,则 a11 = ___________. an + 1
Sn } ,则 S 2n

12、已知某数列 {an } 的公比为 q ,且前 n 项和为 S n ,若集合 M = { X | X = lim
n →∞

M = ___________.
13、已知数列 {an } 满足 a1 = 1 , an = a1 + 2a2 + 3a3 + ? + ( n ? 1) an ?1 (n ≥ 2) ,则 {an } 的通 项公式 an = ?

?1 , n = 1 . ? _________ , n ≥ 2

14、已知 f (x ) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a , b ∈ R ,满足

f (ab) = af (b) + bf (a ) , f (2) = 2 , an =

f (2 n ) f (2 n ) (n ∈ N ? ) , bn = (n ∈ N ? ) 下列结 n n 2

论: f (0) = f (1) ; f (x ) 为偶函数; ① ② ③数列 {an } 为等比数列; ④数列 {bn } 为等差数列. 其 中正确的是__________. 15、对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂” ,

仿此, 5 的“分裂”中最大的数是__________,若 m 3 ( m ∈ N ? ) 的“分裂”中最小的数是
2

211,则 m 的值为__________. 三、解答题 16、设等比数列 {an } 的各项均为正数,项数是偶数,它的所有项的和等于偶数项和的4倍, 且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍,问数列{lgan}的前多少项和最大?

(lg 2 = 0.3 , lg 3 = 0.4)

17、设数列 {an } 前 n 项和为: S n = 2 + n + 1 .
n

(1)求数列 {an } 的通项公式 an . (2)由数列 {an } 中奇数项 a1 , a3 , a5 ,…构成一个新的数列 {a2 n ?1} ,求 {a2 n ?1} 的前 n 项 和.

18、已知数列 {an } 满足 a1 =

1 a 2an ?1 + 1 ? ,且当 n > 1 , n ∈ N 时,有 n ?1 = . 5 an 1 ? 2an

(1)求证:数列 {

1 } 为等差数列; an

(2)试问 a1a2 是否是数列 {an } 中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由。

19、如图所示的树形图形.第一层是一条与水平线垂直的线段,长度为1;第二层在第一层 线段的前端作两条与该段均成135°的线段,长度为其一半;第三层按第二层的方法在每一线 段的前端生成两条线段;重复前面的作法作图至第 n 层.设树形图的第 n 层的最高点到水平 线的距离为第 n 层树形图的高度. (1)求第三层及第四层树形图的高度 H 3 , H 4 ; (2)求第 n 层树形图的高度 H n ; (3)若树形图的高度大于2,则称树形图为“高大” ,否则称为“矮小” .显然,当 n = 1 , 2 时是“矮小”的,是否存在 m ∈ Z .使得当 n > m 时,该树形图是“高大”的?

20、对于数列 {an } ,规定数列 {?an } 为数列 {an } 的一阶差分数列,其中 ?an = an +1 ? an (n∈ N ) ;一般地,规定 {? an } 为 {an } 的 k 阶差分数列,其中 ? an = ? an +1 ? ? an ,
k k
?

k ?1

k ?1

且k ∈N ,k ≥ 2. (1)已知数列 {an } 的通项公式 an =

?

5 2 13 n ? n(n∈ N? ) .试证明 {?an } 是等差数列; 2 2
2 2n
?

(2)若数列 {an } 的首项 a1 = ?13 ,且满足 ? an ? ?an +1 + an = ?2 ( n ∈ N ) ,求数列

{

an +1 an ? } 及 {an } 的通项公式; 2 n +1 2 n

(3)在(2)的条件下,判断 an 是否存在最小值,若存在求出其最小值,若不存在说明理

由.


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