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2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标2卷) 理科数学


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 2 卷) 理科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1) 已知集合 A={-2,-1,0,2} ,B={x|(X-1) (x+2)<0}, 则 A∩B= (A) {--1,0} (B) {0,1} (C) {-1,0,1} (D) {,0, ,1

,2}

(2)若 a 为实数且(2+ai) (a-2i)=-4i, 则 a= (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下 结论不正确的是

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (4)等比数列{an }满足 a1 =3,a1+ a3+ a5 =21,则 a3 + a5 + a7 = (A)21 (B)42 (C)63 (D)84

(5)设函数{an }=,则(-2)+= (A)3 (B)6 (C)9 (D)12

(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图, 则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 (A)

1 8

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 5

(7)过三点 A (1,3) ,B (4,2) ,C(1,7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点, 则 MN = (A)2

6

(B)8

(C)4 6

(D)10

(8) 右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著 《九章算术》 中的“更 相减损术”。执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a= A.0 B.2 C.4 D.14

(9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠ AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π

10. 如图,长方形 ABCD 的边 AB=2, BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,∠BOP=x。将动点 P 到 AB 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大 致为

(11)已知 A ,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶角 为 120° ,则 E 的离心率为 (A)√5 (B)2 (C)√3 (D)√2 (12)设函数 f , ( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0, 当x ? 0时,

xf , ( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是
(A) (??, ?1) (C) (??, ?1) 二、填空题 (13)设向量 a, b 不平行,向量 ? a ? b 与 a +2b ,则实数 ? =

(0,1) (-1 , 0)

, 0) (B) (?1
(D) (0,1)

(1 , +?) (1 , +?)

? x ? y ?1 ? 0 ? (14)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为____________. ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
(15) (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 α=__________. (16)设 Sn 是数列{an }的前 n 项和,且 α1 =-1,αn+1 =Sn Sn +1,则 Sn=___________________________. 三.解答题 (17)? ABC 中,D 是 BC 上的点, AD 平分∠BAC,? ABD 是 ? ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ )

sin ?B sin ?C

(Ⅱ ) 若AD ? 1, DC ?

2 ,求BD 和 AC 的长 2

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A, B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得 到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ; (Ⅱ )根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C: “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 ”。 假设两地区用户的评 价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概 率

19. (12 分) 如图,长方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中 AB=16, BC=10, AA1 =8,点 E,F 分别在 A 1B 1, D 1C1 上,

A1E ? D1F 。过点 E,F 的平面 a 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形

(Ⅰ )在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ )求直线 AF 与平面 a 所成角的正弦值

20. 已知椭圆 C:错误!未找到引用源。 ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两 个交点 A, B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ )证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ )若 l 过点(错误!未找到引用源。 ), 延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否 平行四边行?若能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由.

21. 设函数 f(x)=emx+x2 -mx.

(Ⅰ )证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ )若对于任意 x 1, x2 ∈ [-1,1], 都有|f(x1 )- f(x2 )|≤e-1,求 m 的取值范围

请考生在 22、 23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写 清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M、N 两点与底边上 的高 AD 交于点 G,且与 AB 、AC 分别相切于 E 、F 两点.

(1)证明:EF 平行于 BC (2) 若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN= , 求四边形 EBCF 的面积。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 : (1). 求 (2). 若 与 与 交点的直角坐标 相交于点 A, 与 相交于点 B,求 的最大值 ,曲线 : ,在以 O 为 .

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设 a、b、c、d 均为正数,且 a+b=c+d, 证明:


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