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调兵山一高高一数学竞赛试卷


调兵山一高中高一数学竞赛试卷 2013-4-1
考试时间:120 分钟 一、 满分 150 分 班级_________姓名_________ 选择题(每小题 5 分,总计 50 分)

9.若实数 x,y 满足(x+5) +(y-12) =14 ,则 x +y 的最小值为( B ) (A)2 (B)1 (C)√3 (D)√2

2



2

2

2

2

10.命题 1 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;

1.已知集合 M ? x x ? px ? 2 ? 0 , N ? x x ? x ? q ? 0 , 且M ? N ? ?2? ,则 p, q 的值为 ( B
2 2

?

?

?

?

) .

命题 2 长方体中,必存在到各棱离相等的点;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 命题 3 长方体中,必存在到各面离相等的点;以上三个命题中正确的有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ( B )

A. p ? ?3, q ? ?2 B. p ? ?3, q ? 2 C. p ? 3, q ? ?2 2.函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为( C ) A.必有一个 B.1 个或 2 个 C.至多一个 3.把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 到原来的

D. p ? 3, q ? 2

D.可能 2 个以上

? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短 3

二.填空题(每小题 5 分,总计 30 分) 11..直线 x+7y-5=0 分圆 x2+y2=1 所成的两部分弧长之差的绝对值是_____ ? _____. 12. 设 0≤a<1 时,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒为正值。则 f(x)定义域为_______ ? ? 1, ? 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( C ) 2 ? x ? (A) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (B) y ? sin( ? ) , x ? R 3 2 6 ? 2? ) ,x?R (C) y ? sin(2 x ? ) , x ? R (D) y ? sin(2 x ? 3 3
4.给定性质:①最小正周期为 ? ,②图象关于直线 x ? (D ) (D) y ? sin(2 x ?

? ?

1? ?
_________。 ____ ?

13. 已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3, -2cos3),则 x 的弧度数为__ 3 ?
? ?

?
2

?

3

对称,则下列四个函数中,同时具有性质①②的是

14. 已知

不共线,点 C 满足 AC ? 2 CB ,且

,则

1 ______. 3

? x ? (A) y ? sin( ? ) (B) y ? sin(2 x ? ) (C) y ? sin x 6 2 6
5、 如果实数 x、y满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3,则

?
6

)

y 的最大值为 ( x

D)

? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,则△ABC 的形状为____等腰三 15. 若 O 为△ABC 的内心,且, ? ? OB ?OC ?? OB ?OC ? 2OA ? ?? ? ? ?? ?
角形______.

A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

D. 3
16. ) B. 2 x ? 5 y ? 0 D. x ? y ? 7 ? 0或2 y ? 5x ? 0

函数

的值域是

6、一条直线过点(5,2) ,且在 x 轴,y 轴上截距相等,则这直线方程为( C A. x ? y ? 7 ? 0 C. x ? y ? 7 ? 0或2 x ? 5y ? 0

? 2 ?1 ? ? 2 ? 1? ,?1? ? ? ? 1, ?? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

7.已知集合 A ? x 5x ? a ? 0 , B ? x 6x ? b ? 0 , a, b ? N ,且 A ? B ? N ? ?2,3, 4? ,则整数对 ?a, b ? 的个 数为 A. 20 B. 25 C. 30 ( C ) D. 42

?

?

?

?

三.解答题: 16.(本小题满分 10 分)已知正四棱锥 R—ABCD 的底面边长为 4, 高为 6,点 O 是底面 ABCD 的中心,点 P 是 RO 的中点,点 Q 是 △RBC 的重心. (1)求证:面 ROQ⊥面 RBC; (2)求异面直线 PQ 与 BR 所成的角的余弦值. 解: (1)∵正四棱锥 R—ABCD 中 Q 是△RBC 的重心,∴RQ⊥BC 又∵RO⊥底面 ABCD,∴RO⊥BC, ∵RO∩RQ=R,∴BC⊥平面 ROQ ∴平面 ROQ⊥平面 RBC

8 已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数.如果对于任意的 a、b∈R 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a),则函数 f(x) (A)是奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (B)是偶函数 (D)既不是奇函数也不是偶函数 ( A )

(2)在 BC 上取一点 K,使 BK ?

1 11 5 2 11 BC , 则 QK // BR ,计算可得 PK ? , PQ ? , OK ? , 3 3 3 3

13 11 由此可求得 PQ 与 BR 所成的角为 arccos 55

故有

4m ? 2(m 2 ? 1) ? 4m m ? (m ? 1)
2 2 2

? 1 ,整理得 3m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 .

∵ ? ? 52 ? 4 ? 3 ? 3 ? 0 ,∴ 3m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 无实数解. 17. (本小题满分 15 分) 已知α ,β 为锐角,且 x·(α +β )>0,求证: 因此直线 l 不可能将圆 C 分割成弧长的比值为 19(本小题满分 15 分).设函数 f(x)=|x+1|+|ax+1|. (1)当 a=2 时, 求 f(x)的最小值; -β )=sinβ , (2)若 f(-1)=f(1), f(所以 0< <1,又 sinα >sin( -β )=cosβ , 所以 0< <1,

1 的两段圆弧. 2

【证明】 若α +β >

,则 x>0,由α >

-β >0 得 cosα <cos(

1 1 )=f( )(a∈R, 且 a≠1), 求 a 的值 a a

所以

? ?? 3x ? 2, x ? ?1 ? 1 ? 19.(1)当 a=2 时, f(x)=|x+1|+|2x+1|= ?? x, ? 1 ? x ? ? 2 ? 1 ? ?3x ? 2, x ? ? 2 ?
1 1 1 时, f(x)递减, 故 f(x)>f(? )= , 2 2 2 1 1 1 1 当 x≥? 时, f(x)递增, 故 f(x)≥f(? )= , 因此, f(x)的最小值为 2 2 2 2
∴当 x≤?1 时, f(x)递减, 故 f(x)≥f(?1)=1, 当?1<x<? (2)由 f(?1)=f(1)得 2+|a+1|=|1?a| (*), ∴ a≤?1 ① 两边平方后整理得|a+1|= ?(a+1)

若α +β <

,则 x<0,由 0<α <

-β <

得 cosα >cos(

-β )=sinβ >0,

所以

>1。又 0<sinα <sin(

-β )=cosβ ,所以

>1,

所以

,得证。

同理, 由 f(-

1 1 1 1 )=f( )得 2+| +1|=|1? |, 对比(*)式可得 a a a a


18. (本小题满分 15 分)已知 m ? R , 直线 l : mx ? (m 2 ? 1) y ? 4m 和圆 C : x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 16 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围; (Ⅱ)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 解: (Ⅰ)? k ?

1 ≤?1 ∴ ?1≤a<0 a
由①②得 a= ?1

1 的两段圆弧?为什么? 2

20. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? 3a( a ? 0 ,a ? 1 ) 的反函数是 y ? f 的图象与函数 y ? f
?1

?1

而且函数 y ? g (x) ( x) ,

m ,?km2 ? m ? k ? 0(?) , m ?1
2

( x) 的图象关于点 (a,0) 对称.
?1

? m ? R , ∴当 k≠0 时 ? ≥ 0 ,解得 ? ≤ k ≤ 且 k≠0
又当 k=0 时,m=0,方程 (?) 有解,所以,综上所述 ? ≤ k ≤ (Ⅱ)假设直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为

1 2

1 2

(Ⅰ)求函数 y ? g (x) 的解析式; (Ⅱ)若函数 F ( x) ? f

( x) ? g (? x) 在 x ? [a ? 2, a ? 3] 上有意义,求 a 的取

1 2

1 2

值范围. 【解】 (Ⅰ)由 f ( x) ? a x ? 3a ( a ? 0 , a ? 1 ) ,得 f 又函数 y ? g (x) 的图象与函数 y ? f 则 g (a ? x) ? ? f
?1
?1

1 的两段圆弧.设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点 2

?1

( x) ? loga ( x ? 3a) ……5 分

则∠ACB=120°.∵圆 C : ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,∴圆心 C(4,-2)到 l 的距离为 1.

( x) 的图象关于点 (a,0) 对称,

( (a ? x) ,于是, g ( x) ? ? f ?1 (2a ? x) ? ? loga (? x ? a) . x ? ?a )…………………10 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,有 F ( x) ? f 要使 F (x) 有意义,必须 ? 又 a ? 0 ,故 x ? 3a .

?1

( x) ? g (?x) ? loga ( x ? 3a) ? loga ( x ? a) .

? x ? 3a ? 0, ? x ? a ? 0.
……………………………………………………… 15 分

由题设 F (x) 在 x ? [a ? 2, a ? 3] 上有意义,所以 a ? 2 ? 3a ,即 a ? 1 . 于是, 0 ? a ? 1 . …………………………………………………………… 20 分

21. (本题满分 15 分)设 f ( x) 是定义在实数 R 上的函数, g ( x) 是定义在正整数 N * 上的函数,同时满足下列条件: (1)任意 x, y ? R ,有 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 且 f (?1) ? 5 ; (2) g (1) ? f (0), g (2) ? f (?2) ; (3) f ? g (n ? 2)? ?
f ? (n ? 3) g (n ? 1)? f ? (n ? 2) g (n)?

n! ? g (2) ? g (1)?, n ? 3 …① 2 n! 又由① 式得: g (n) ? g (n ? 1) ? ? g (2) ? g (1)?, n ? 3 2 (n ? 1)! g (n ? 1) ? g (n ? 2) ? ? g (2) ? g(1)? 2 … 3! 2! g (3) ? g (2) ? ? g (2) ? g (1)? , g (2) ? g (1) ? ? g (2) ? g (1)? 2 2 1 相加得: g (n) ? g (1) ? ? g (2) ? g (1)? (2!? 3!? ... ? n!) , n ? 2 2 g (n) ? 2(2!? 3!? ... ? n!) ? 1, n ? 2 g (1) ? 1, g (2) ? 5 , g (3) ? 17 , g (4) ? 65 , g (5) ? 305 , g (6) ? 1745 , g (7) ? 11825 , g (8) ? 92465 , g (9) ? 818225 , 由于当 n ? 10 时, n ! 能被 25 整除 综上,存在正整数 n ,当 n ? 7 或 n ? 9, n ? N 时, g (n) 是 25 的倍数
相乘得:? g (n) ? g (n ? 1) ?

, n ? N*
f ( x) ? f ( y ) ?0; x? y

试求: (1)证明:任意 x, y ? R , x ? y ,都有

(2)是否存在正整数 n ,使得 g (n) 是 25 的倍数,若存在,求出所有自然数 n ;若不存在说明理由. (阶乘 定义: n ! ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ) 解: (1)当 x ? y ? 0 时, ? f (0) ? 0 , f (0) ? 1 , 若 f (0) ? 0 ,则得 f ( x) ? f ( x ? 0) ? f ( x) f (0) ? 0 ,不可能,舍去 ? f (0) ? 1 1 ? 1 ,得, 0 ? f ( x) ? 1 ? f ( x) ? 0, x ? R 当 x ? 0 时, f ( x) ? f (? x) 若 x ? y ,则, x ? y ? 0 , f ( x ? y ) ? 1 , f ( x) ? f ( x ? y) ? f ( y) ? f ( y) , f ( x) ? f ( y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 0, ?0 x? y f ( x) ? f ( y ) f ( x) ? f ( y ) ? 0 ? 任意 x, y ? R , x ? y ,都有 ?0 同理,若 x ? y , x? y x? y (2)? g (1) ? f (0) ? 1, g (2) ? f (?2) ? f (?1) f (?1) ? 5 由(1)可得 f ( x) 为单调减函数
? f ?(n ? 3) g (n ? 1) ? (n ? 2) g (n) ? f ? (n ? 2) g (n)? ? g (n ? 2) ? (n ? 3) g (n ? 1) ? (n ? 2) g (n) 得? g (n ? 2) ? g (n ? 1) ? (n ? 2)( g (n ? 1) ? g (n)), n ? 1 ? g (n) ? g (n ? 1) ? n( g (n ? 1) ? g (n ? 2)), n ? 3 g (n ? 1) ? g (n ? 2) ? (n ? 1)( g (n ? 2) ? g (n ? 3)) … g (3) ? g (2) ? 3( g (2) ? g (1))

? f ? g (n ? 2)? ?

f ? (n ? 3) g (n ? 1)?


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