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初高中数学知识衔接第二讲函数与方程参考答案


第二讲
2.1

函数与方程
一元二次方程 练习 (3)x2+2x-3=0

1. (1)C (2)D 2. (1)-3 (2)有两个不相等的实数根 3.k<4,且 k≠0 4.-1 提示:(x1-3)( x2-3)=x1 x2-3(x1+x2)+9 习题 2.1 A 组 1. (1)C

提示:②和

④是错的,对于②,由于方程的根的判别式 2 Δ<0,所以方程没有实数根;对于④,其两根之和应为- . 3 (3)C 提示:当 a=0 时,方程不是一元二次方程,不合题意. 17 2. (1)2 (2) (3)6 (3) 3 4 1 1 3.当 m>- ,且 m≠0 时,方程有两个不相等的实数根;当 m=- 时,方程 4 4 1 有两个相等的实数根;当 m<- 时,方程没有实数根. 4 4.设已知方程的两根分别是 x1 和 x2,则所求的方程的两根分别是-x1 和-x2,∵x1+x2
=7,x1x2=-1,∴(-x1)+(-x2)=-7,(-x1)× (-x2)=x1x2=-1,∴所求的方程为 y2 +7y-1=0.

(2)B

B组
1.C 提示:由于 k=1 时,方程为 x +2=0,没有实数根,所以 k=-1. 2. (1)2006 提示:∵m+n=-2005,mn=-1,∴m2n+mn2-mn=mn(m+n-1)=-
1× (-2005-1)=2006.
2

(2)-3 提示;∵a+b=-1,ab=-1,∴a3+a2b+ab2+b3=a2(a+b)+ b2(a + b) = (a + b)( a2 + b2) = (a + b)[( a + b) 2 - 2ab] = ( - 1)× [( - 1)2 - 2× (-1)]=-3. 3. (1)∵Δ=(-k)2-4× 1× (-2)=k2+8>0,∴方程一定有两个不相等的实数根. (2)∵x1+x2=k,x1x2=-2,∴2k>-2,即 k>-1. 4. (1)| x1-x2|=
x ?x b 3abc ? b3 b 2 ? 4ac , 1 2 =? ; (2)x13+x23= . 2 2a a3 |a|

5.∵| x1-x2|= 16 ? 4m ? 2 4 ? m ? 2 ,∴m=3.把 m=3 代入方程,Δ>0,满 足题意,∴m=3.

C组
1. (1)B (2)A
1 ,∴α+β=2(1-m)≥1. 2 (4)B 提示:∵a,b,c 是 ΔABC 的三边长,∴a+b>c,∴Δ=(a+b)2-c2>0. 2. (1)12 提示:∵x1+x2=8,∴3x1+2x2=2(x1+x2)+x1=2× 8+x1=18,∴

(3)C

提示:由 Δ≥0,得 m≤

x1=2,∴x2=6,∴m=x1x2=12. 3. (1)假设存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=-
3 成立. 2 ∵一元二次方程 4kx2-4kx+k+1=0 有两个实数根, ∴k≠0,且 Δ=16k2-16k(k+1)=-16k≥0,∴k<0. k ?1 ∵x1+x2=1,x1x2= , 4k ∴ (2x1-x2)( x1-2 x2)=2 x12-51x2+2 x22 9(k ? 1) 3 =2(x1+x2)2-9 x1x2=2- =- , 4k 2 9(k ? 1) 7 9 即 = ,解得 k= ,与 k<0 相矛盾,所以,不存在实数 k,使 4k 2 5 3 (2x1-x2)( x1-2 x2)=- 成立. 2 2 x x x ? x22 ( x ? x )2 ? 2 x1 x2 ( x ? x )2 (2)∵ 1 ? 2 -2= 1 ?2 ? 1 2 ?2 ? 1 2 ?4 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4k 4k ? 4(k ? 1) 4 ?4? ?? = , k ?1 k ?1 k ?1 x x ∴要使 1 ? 2 -2 的值为整数,只须 k+1 能整除 4.而 k 为整数, x2 x1 ∴k+1 只能取± 1,± 2,± 4.又∵k<0,∴k+1<1, ∴k+1 只能取- 1,-2,-4,∴k=-2,-3,-5. x x ∴能使 1 ? 2 -2 的值为整数的实数 k 的整数值为-2,-3 和-5. x2 x1 1 (3)当 k=-2 时,x1+x2=1,① x1x2= , ② 8 1 x x ①2÷ ②,得 1 ? 2 +2=8,即 ? ? ? 6 ,∴ ? 2 ? 6? ? 1 ? 0 , ? x2 x1

∴ ? ? 3? 2 2 . 4. (1)Δ= 2(m ?1)2 ? 2 ? 0 ;
m2 (2)∵x1x2=- ≤0,∴x1≤0,x2≥0,或 x1≥0,x2≤0. 4 ①若 x1≤0,x2≥0,则 x2=-x1+2,∴x1+x2=2,∴m-2=2,∴m=4.此 时,方程为 x2-2x-4=0,∴ x1 ? 1 ? 5 , x2 ? 1? 5 .

②若 x1≥0,x2≤0,则-x2=x1+2,∴x1+x2=-2,∴m-2=-2, ∴m=0.此时,方程为 x2+2=0,∴x1=0,x2=-2. 5.设方程的两根为 x1,x2,则 x1+x2=-1,x1x2=a, 由一根大于 1、另一根小于 1,得 (x1-1)( x2-1)<0, 即 x1x2-(x1+x2)+1<0, ∴ a-(-1)+1<0,∴a<-2. 此时,Δ=12-4× (-2) >0, ∴实数 a 的取值范围是 a<-2.

2

2.2

二次函数

2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 练 习
1. (1)D (2)D 2. (1)4,0 (2)2,-2,0 (3)下,直线 x=-2,(-2,5);-2,大, 5;>-2. 3. (1)开口向上;对称轴为直线 x=1;顶点坐标为(1,-4);当 x=1 时,函数 有最小值 y=-4;当 x<1 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x>1 时,y 随着 x 的增大而增大.其图象如图所示. (2)开口向下;对称轴为直线 x=3;顶点坐标为(3,10);当 x=3 时,函数 有最大值 y=10;当 x<3 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x>3 时,y 随 着 x 的增大而减小.其图象如图所示.
y y x=1 y=x -2x-3
2

(3,10)

-1 O

3

x 1 O

y=-x2+6x+1 x x=3 (2)

-3 (1,-4) (1) (第 3 题)

4.通过画出函数图象来解(图象略) . (1)当 x=-2 时,函数有最大值 y=3;无最小值. (2)当 x=-1 时,函数有最大值 y=4;无最小值. (3)当 x=-1 时,函数有最大值 y=4;当 x=1 时,函数有最小值 y=0. (4)当 x=0 时,函数有最大值 y=3;当 x=3 时,函数有最小值 y=-12.

2.2.2 二次函数的三种表示方式 练 习
1. (1)A (2)C 2. (1)(x+1)(x-1) 3. (1)y=-x2+2x-3 (2)4 3 (2)y=2 (x-3)2+5

(3)y=2(x-1+ 2)( x+1- 2)

2.2.3 二次函数的简单应用 练 习
3

1. (1)B (2)B (3)C 2. (1)2,12 (2)左, 3;下,6;直线 y=3 3. (1)当 x∈[0,1]时,y=x; (2)当 x∈(1,2]时,y= 12 ? ( x ? 1) 2 ? x 2 ? 2 x ? 2 ; (3)当 x∈(2,3]时,y= 12 ? (3 ? x) 2 ? x 2 ? 6 x ? 10 ; (4)当 x∈(3,4 ] 时,y=4-x.
0 ? x ? 1, ? x, ? 2 ? x ? 2 x ? 2, 1 ? x ? 2, 综上所述: y ? ? ? x 2 ? 6 x ? 10, 2 ? x ? 3, ? 3 ? x ? 4. ? 4 ? x,

习题 2.2 A 组
1. (1)D (2)C (3)D (2)y=-x2+2x+3

2. (1)y=x2+x-2 3.y=2x2-12x+20 4.y=2x2-8x-10

B组
1. (1)y=2x2-12x+23,y=-2x2+12x-19 (2)6,2 (3)a≤-3

2.设票价为 y(元) ,里程为 xkm,由题意可知,汽车行驶的里程约为 20km, 所以,x 的取值范围是 0<x≤20.所以,函数关系式为 ?2, 0 ? x ? 5, ?3, 5 ? x ? 10, ? y?? ?4, 10 ? x ? 15, ? ?5, 15 ? x ? 20.
其图象如图所示. y(元) 5 4 3 2 O 5 10 15 20 x(km)

第2 题
4

C组
1.y=-4x2+4x+24 提示:由最大值为 25 可得 a<0,再利用韦达定理由立方和为 19, 求出 a=-4. 2.当长为 6m,宽为 3m 时,矩形的面积最大.

3.C1:y=-2(x+1)2+2;C2:y=-2(x-1)2+2;C2:y=2(x-1)2+2; C4:y=-2(x+1)2-2.

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法 练 习
1.(1) (2)是方程的组解; ? x1 ? 15, ? x2 ? ?20, 2. (1) ? ? ? y1 ? 20, ? y2 ? ?15; 5 ? x ? , ? ? 3 (3) ? ?y ? ? 4. ? 3 ? (3) (4)不是方程组的解. ? x1 ? 5, ? x2 ? ?2, (2) ? ? ? y1 ? ?2, ? y2 ? 5;
? x1 ? 2, (4) ? ? y1 ? 2, ? x2 ? 2, ? ? y2 ? ?2.

2.3.2 一元二次不等式解法 练 习
4 1. (1)x<-1,或 x>3 ; (2)-3≤x≤4;

(3)x<-4,或 x>1;

(4)x=4. 2.不等式可以变为(x+1+a)( x+1-a)≤0, (1)当-1-a<-1+a,即 a>0 时,∴-1-a≤x≤-1+a; (2)当-1-a=-1+a,即 a=0 时,不等式即为(x+1)2≤0,∴x=-1; (3)当-1-a>-1+a,即 a<0 时,∴-1+a≤x≤-1-a. 综上,当 a>0 时,原不等式的解为-1-a≤x≤-1+a; 当 a=0 时,原不等式的解为 x=-1; 当 a<0 时,原不等式的解为-1+a≤x≤-1-a.

习题 2.3 A 组

5

? x1 ? 2, 1. (1) ? ? y1 ? 0,

10 ? x2 ? , ? ? x1 ? 0, ? 3 (2) ? ? ? y1 ? 0, ?y ? 4. 2 ? 3 ? ? ? x ? 3 ? 2, ? ? x2 ? 3 ? 2, (3) ? 1 ? ? ? y1 ? 3 ? 2, ? ? y2 ? 3 ? 2; ? x3 ? ? 3, ? ? x ? 3, ? ? x2 ? 3, ? ? ? x4 ? ? 3, (4) ? 1 ? ? ? ? ? ? y1 ? 1, ? ? y2 ? ?1, ? ? y4 ? ?1. ? y3 ? 1,

24 ? x2 ? , ? ? 5 ? ? y ? ? 12 . 2 ? 5 ?

2. (1)无解 (3)1- 2≤x≤1+ 2

2 3 2 3 ?x? 3 3 (4)x≤-2,或 x≥2

(2) ?

B 组
1.消去 y ,得 4 x ? 4(m ? 1) x ? m ? 0 . 1 当 ? ? 16(m ? 1)2 ? 16m2 ? 0 ,即 m ? 时,方程有一个实数解. 2 1 ? 1 ?x ? , 将 m ? 代入原方程组,得方程组的解为 ? 4 2 ? ? y ? 1. 2.不等式可变形为(x-1)(x-a)<0. ∴当 a>1 时,原不等式的解为 1<x<a; 当 a=1 时,原不等式的无实数解; 当 a<1 时,原不等式的解为 a<x<1.
2 2

C 组
1.由题意,得 -1 和 3 是方程 2x +bx-c=0 的两根, b c ∴-1+3=-2 ,-1× 3=-2 , 即 b=-4,c=6. ∴等式 bx2+cx+4≥0 就为-4 x2+6x+4≥0,即 2 x2-3x-2≤0, 1 ∴-2 ≤x≤2. m 2 m2 2 2.∵y=-x +mx+2=-(x- 2 ) +2+ 4 , m m2 ∴当 0≤ 2 ≤2,即 0≤m≤4 时,k=2+ 4 ; m 当 2 <0,即 m<0 时,k=2; m 当 2 >2,即 m>4 时,k=2m-2.
2

6

m ? 0, ? 2, ? 2 ?m k ? ? ? 2, 0 ? m ? 4, ? 4 m ? 4. ? ? 2m ? 2,

7


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