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2高中数学中蕴含极限思想的解题方法


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上海中学数学?2008年第12期

高中数学中蕴含极限思想的解题方法
325800

浙江省苍南中学

杨君芳

,众所周知,极限是微积分中最基本、最主要 的概念,它从数量上描述变量在变化过程中的 趋势,是一种基本而又重要的数学思想,在数学 学科中,甚至在其它理科学科中都有着不可替 代的作用.但由于《普通高中数学课程标准》(实 验)删除了旧教材中的极限内容,仅仅在导数的 概念中引入了极限的符号,这就使同学们在解 决问题时,对极限思想的运用常常感到比较生 疏.事实上,除了双曲线的渐近线等内容涉及极 限思想以外,在高中数学教学中还有几种常用 的数学解题方法蕴含着极限思想,现例析如下, 以供参考.
1 二分法 万方数据



两边夹法

若a。≤b。≤C。,且lima。一limc。=A,则 limb。一A.这是高等数学中的两边夹定理.与之 相仿,初等数学中也有一个结构相似的两边夹 结论:若A≤口≤A,则口=A.这是一个显而易 见的结论,在数学中有不少应用.从这种方法不 难看出其中的极限思想. 例2 二次函数,(z)一(237 2+bx+C的图

像过点(一1,o),且有z≤,(z)≤兰毒量对一切
的实数z均成立,求,(z). 分析 由题意可知,a—b+c=0, ①

二分法是求方程厂(z)一0近似解的一种算

而z≤,(z)≤兰毒土,令z:1,则1≤
,(1)≤1,故.厂(1)即a+b+C一1. ②

法,适用于函数,(z)连续,并且存在区间[a,
阳,满足厂(以)?厂(6)>0的情况(可称[以,阳为 搜索区间).它通过不断计算搜索区间中点的函 数值,一步一步地缩小搜索区间,直到求出方程 ,(z)一0满足精度要求的近似解.不难看出,二 分法明显蕴含着极限思想.
19

由①一②可得:6一昙,以+,:昙.
又‘.‘工≤,(z),即ax2一÷z+c≥0对一
切的实数z均成立,则a>0且△≤0对一切实 数z均成立,

例1(06年全国卷II)函数,(z)一>:『z 。鬲
一/2 l的最小值(
(A)190


(B)171 (C)90

而△=÷一4ac一4盘2—2a+÷一

(D)45

分析

因I z一,z 1表示数轴上的动点z到

(2口一÷)2,故n一百1,c={.
故,(z)一i1


点”之间的距离.当I z一1 I+l z一19 I最小时, z为区间[1,19]内的任意一个分点;当l z一2 +l
z一18

z2+专z+÷.

f最小时,z为区间[2,18]内的任意一

极端性原理

个分点,……,以此类推,当l z一9 f+I z一11 最小时,z为区间[9,11]内的任意一个分点,当
z一10 I最小时,z=10.利用“二分法”的思想

极端性原理是解决数学问题的一个重要方 法,从极端情形(最大值、最小值、极端有利、极 端不利、边界情形、极端图形以及极端位置等) 入手分析,往往能发现解决问题的突破[21.此法 不仅在解竞赛题中用途广泛,而且在平时的解 题过程中,为了寻求更清晰的解题思路和更简 洁的运算方法,我们也会采用.

方法,当z是搜索区间[1,19]、E2,1s1、E3,17]、 …、[9,11]共同二等分点,即z=10时,厂(z)取 得最小值,所以厂(z)。i。=厂(10)=90.

上海中学数学?2008年第12期

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例3

已知椭圆离心率e一皂,经过点(1,
√5

小寺瓦的J叫题,开且此刀。纭思蹯’缯晰,便于倮 作.

o)且直线2x—y+3—0切于(一吾,导),长轴
平行于y轴,求此椭圆的方程. 分析

,一等1+哿Y+等1恻、妒


例4

设37,Y,z∈I汁,且37+y+z=1.求
1+2

+z2

+z2…“’。。8。

把点P(一号,号)看作离心率e=

分析

猜想厂在z=y—z一了1处取到最

嘉的椭圆系:(卅号)2+i1(y一号)2乩当
k趋于0时的极限情形(“点椭圆”),则与直线L: 2z—y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线 L与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程

小值.下面考查曲线g(z):3,37‘.--,.Z.0<z< l十37‘ 1)在z=可1处的切线方程.

(z+号)2+告(Y一了5)2+A(2x--y+3)=o,
又由于所求椭圆过点(1,o),代入上式可得A

gb,=篱∥(1)--杀,
故所求的切线方程为y—g(÷)=
下面证明当0<z<1时,挈÷;≥ l十Z。

一一÷,故所求椭圆方程为:z2+÷y2=1.

97(÷)(z一可1),即y一杀(z一÷)
.9--。(z一了1),

方程:鱼掣+鱼;孑兰一1,利用已知条件
运算量较大,易出错. 4“以直代曲”思想方法

本例一般解法是用待定系数法,设椭圆的

列出有关方程,通过解方程组求m、咒、b的值,但 万方数据

化简整理后即证:3(z一3)(工一÷)2≤o.
当0<z<1时,上式显然成立.

直线段的长度可能由给定的某一单位线段 比较而得之,而曲线由于各点曲率不同,其长度 不像直线那样可与单位长度比较得到,而是一 个较复杂的问题.一般来说,首先要考虑两个问 题:其一是曲线如何定义;其二是如何去度量或


同理可得:哿≥品(y一÷),等
≥羔(z一÷).

璐厂=等+静+静≥
所以当且仅当z=y=z=i1时,厂有最小

计算.实际上用萌芽状态的变量极限思想方法

南(z+y+2—1)一0?
僖0.

——“以直代曲”的思想方法可以解决如上问
题.延伸开来,以直代曲法有时也可以通过某点 处的切线来代替曲线,当然这种代替是近似的、 不等的.运用这种方法可能解决一些有关轮换


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