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高考数学大题训练10












题 训 练 10

1. (本题满分 14 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos 2C ? ? (1)求 sin C ; (2)当 c ? 2a ,且 b ? 3 7

时,求 a .

3 4

.

解: (1)由已知可得 1 ? 2sin 2 C ? ?

3 4

.所以 sin 2 C ?

7 8
.

.

……………… 2 分 ……………………4 分 ………………………………6 分

因为在 ?ABC 中, sin C ? 0 ,所以 sin C ? (2)因为 c ? 2a ,所以 sin A ?

14 4

1 2

sin C ?

14 8

.

因为 ?ABC 是锐角三角形,所以 cos C ? 所

2 4

, cos A ?

5 2 8

.

………………8 分 以

s

B ?n i

? s ? s nA (n A iC i

? c )o C
a

sA ?

4 2 5 3 7 2 1 4 c o s C ? n . 11 分 ?s i ?? 8 4 8 84
…………………14 分

1

由正弦定理可得:

3 7 sin B

?

sin A

,所以 a ? 14 .

说明:用余弦定理也同样给分.

2. (本题满分 14 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? 3 AF ,

BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 .
(1)求证: AC ? 平面 BDE ; (2)设点 M 是线段 BD 上一个 动点,试确定点 M 的

E

F

D

C

A

B

位置,使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论.

2. (本题满分 14 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形,DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? 3 AF . E (1)求证: AC ? 平面 BDE ; (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置, 使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论. 16.(1)证明:因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . ……………………2 分 F D 因为 ABCD 是正方形, 所以 AC ? BD ,因为 DE ? BD ? D ………………4 分 从而 AC ? 平面 BDE . ……………………6 分 A B (2)当 M 是 BD 的一个三等分点,即 3BM=BD 时,AM∥平 面 BEF. …………7 分 取 BE 上的三等分点 N,使 3BN=BE,连结 MN,NF,则 DE∥MN,且 DE=3MN, 因为 AF∥DE,且 DE=3AF,所以 AF∥MN,且 AF=MN, 故四边形 AMNF 是平行四边形. ……………………………………10 分 所以 AM∥FN, 因为 AM ? 平面 BEF,FN ? 平面 BEF, …………………………………………12 分 所以 AM∥平面 BEF. …………………………………………14 分

C

3. (本题满分 14 分)已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为 2,一条准线方程为 l:x ? 2 . ⑴ 求椭圆的标准方程;⑵ 设 O 为坐标原点,F 是椭圆的右焦点,点 M 是直线 l 上的动点, 过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值.

3.(本题满分 14 分) 已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为 2,一条准线方程为 l: x ? 2 . ⑴ 求椭圆的标准方程; ⑵ 设 O 为坐标原点,F 是椭圆的右焦点,点 M 是直线 l 上的动点,过点 F 作 OM 的垂 线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值. 解:⑴∵椭圆 C 的短轴长为 2,椭圆 C 的一条准线为 l: x ? 2 ,

∴不妨设椭圆 C 的方程为 即 c ? 1 . 分) (5 ∴椭圆 C 的方程为

x2 a2

(2 ? y 2 ? 1 . 分)∴

a2 c

?

1 ? c2 c

( ? 2 , 4 分)

x2 2

(6 ? y 2 ? 1 . 分)

⑵ F(1,0) ,右准线为 l: x ? 2 , 设 N ( x0 , y0 ) , 则直线 FN 的斜率为 k FN ?

y0 x0 ? 1

,直线 ON 的斜率为 kON ?

y0 x0

, 分) (8

∵FN⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM ? ? ∴直线 OM 的方程为: y ? ?
x0 ? 1 y0

x0 ? 1 y0

, 分) (9
2( x0 ? 1) y0 ). (11 分)

x ,点 M 的坐标为 M (2, ?

y0 ?
∴直线 MN 的斜率为 k MN ?

2( x0 ? 1) y0

x0 ? 2


. (12 分)

y0 ?
∵MN⊥ON,∴ k MN ? kON ? ?1 ,

2( x0 ? 1) y0 y ? 0 ? ?1 , x0 ? 2 x0

∴ y0 2 ? 2( x0 ? 1) ? x0 ( x0 ? 2) ? 0 ,即 x0 2 ? y0 2 ? 2 . (13 分) ∴ ON ? 2 为定值. (14 分) 说明:若学生用平面几何知识(圆幂定理或相似形均可)也得分,设垂足为 P,准线 l 与 x 轴交于 Q,则有 ON 2 = OPgOM ,又 OPgOM = OF gOQ = 2 ,所以 ON = 2 为定值.

4. (本题满分 16 分)已知某种稀有矿石的价值 y (单位:元)与其重量 ? (单位:克)的 平方成正比,且 3 克该种矿石的价值为 54000 元。⑴写出 y (单位:元)关于 ? (单位: 克)的函数关系式; ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为 1: 3 的两块矿石,求价值损失的百分率; ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时,切割的重量比为多少时,价值损失的百分率最大。 原有价值 ? 现有价值 ? 100% ;在切割过程中的重量损耗忽略 (注:价值损失的百分率 ? 原有价值 不计) 4、解⑴依题意设 y ? k? (? ? 0) ,又当 ? ? 3 时, y ? 54000 ,∴ k ? 6000 ,
2

故 y ? 6000? (? ? 0) 。
2

⑵设这块矿石的重量为 a 克,由⑴可知,按重量比为 1: 3 切割后的价值 为 6000( a ) 2 ? 6000( a ) 2 ,价值损失为 6000a 2 ? (6000( a ) 2 ? 6000( a ) 2 ) ,

1

3

1

3

4

4

4

4

1 3 6000a 2 ? [6000( a ) 2 ? 6000( a ) 2 ] 4 4 价值损失的百分率为 ? 100% ? 37.5% 。 6000a 2
⑶解法 1:若把一块该种矿石按重量比为 m : n 切割成两块,价值损失的百分率应为

m?n 2 ) 1 2 ,又 ? ? ,当且仅当 m ? n 时 1 ? [( )2 ? ( )2 ] ? 2 2 2 ( m ? n) ( m ? n) 2 m?n m?n (m ? n)
m n 2mn

2mn

2?(

取等号,即重量比为 1:1 时,价值损失的百分率达到最大。 解法 2:设一块该种矿石切割成两块,其重量比为 x :1 ,则价值损失的百分率为

x 2 1 2 2x ,又 x ? 0 ,∴ x 2 ? 1 ? 2 x , 1 ? [( ) ?( ) ]? 2 1? x 1? x x ? 2x ?1 2x 2x 1 故 2 ? ? ,等号当且仅当 x ? 1 时成立。 x ? 2x ?1 2x ? 2x 2
答:⑴函数关系式 y ? 6000? (? ? 0) ; ⑵价值损失的百分率为 37.5% ;
2

⑶故当重量比为 1:1 时,价值损失的百分率达到最大。

5. (本小题满分 16 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n =2- an ,n=1,2,3,…. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 b1 =1,且 bn ?1 = bn + an ,求数列 ?bn ? 的 通项公式; (3)设 cn =n (3- bn ),求数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .

5. (1)因为 n=1 时, a1 + S1 = a1 + a1 =2,所以 a1 =1. 因为 S n =2- an ,即 an + S n =2,所以 an ?1 + S n ?1 =2. 两式相减: an ?1 - an + S n ?1 - S n =0,即 an ?1 - an + an ?1 =0,故有 2an ?1 = an . 因为 an ≠0,所以
an ?1 an



1 2

( n∈ N ? ).

?1? 所以数列 ?an ? 是首项 a1 =1,公比为 的等比数列, an = ? ? 2 ?2?

1

n?1

( n∈ N ? ).

?1? (2)因为 bn ?1 = bn + an ( n=1,2,3,…),所以 bn ?1 - bn = ? ? ?2?

n?1

.从而有

b2 ? b1 =1, b3 ? b2 =

1

?1? ?1? , b4 ? b3 = ? ? ,…, bn ? bn ?1 = ? ? 2? 2 ? ?2?

2

n? 2

( n=2,3,…).

将这 n-1 个等式相加,得
?1? 1? ? ? 2 n? 2 1 ?1? ?1? ?2? bn - b1 =1+ + ? ? +…+ ? ? = 1 2? 2 ?2? ? 1? 2
?1? 又因为 b1 =1,所以 bn =3- 2 ? ? ?2?
n?1

n?1

?1? =2- 2 ? ? ?2?

n?1



( n=1,2,3,…).
n ?1

?1? (3)因为 cn =n (3- bn )= 2n ? ? ?2?



2 n?2 n ?1 ?? 1 ? 0 ?1? ?1? ?1? ?1? ? 所以 Tn = 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ? n ? ? ? . ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?? 2 ? ? ? 2 3 n ?1 n ?? 1 ?1 ?1? ?1? ?1? ?1? ? Tn = 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ? n ? ? ? . 2 ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?? 2 ? ? ? 0 2 n?1
n ? ?1? ? - 2n ? ? . ?2? ? ?



1



?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ?1? ①-②,得 Tn = 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2? ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?
n

?1? 1? ? ? n n 8 1 2 ?1? ?1? 故 Tn = 4 ? ? - 4n ? ? =8- n - 4n ? ? =8- (8 ? 4n) n ( n=1,2,3,…). 1 2 2 ?2? ?2? 1? 2

6. (本题满分 16 分) 已知 k ? R ,函数 f ( x) ? m x ? k ? n x (0 ? m ? 1, 0 ? n ? 1) . (1) 如果实数 m, n 满足 m ? 1, mn ? 1 ,函数 f ( x) 是否具有奇偶性?如果有,求出相应的 k 值,如果没有,说明为什么? (2) 如果 m ? 1 ? n ? 0, 判断函数 f ( x) 的单调性; (3) 如果 m ? 2 , n ?
1 2

,且 k ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 的对称轴或对称中心.

解: (1)如果 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x), m ? x ? k ? n ? x ? m x ? k ? n x 恒成立, 分) (1 即: n x ? k ? m x ? m x ? k ? n x , (n x ? m x ) ? k (m x ? n x ) ? 0 , (n x ? m x )(k ? 1) ? 0 (2 分) 由 n x ? m x ? 0 不恒成立,得 k ? 1. (3 分) 如果 f ( x) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x), m ? x ? k ? n ? x ? ?m x ? k ? n x 恒成立, 分) (4 即: n x ? k ? m x ? ?m x ? k ? n x , (n x ? m x ) ? k (m x ? n x ) ? 0 , (5 分)

(n x ? m x )(k ? 1) ? 0 , 由 n x ? m x ? 0 恒成立,得 k ? ?1. (6 分)

? (2) m ? 1 ? n ? 0,

m n

? 1 , ∴ 当 k ? 0 时,显然 f ( x) ? m x ? k ? n x 在 R 上为增函数; 分) (8
m

当 k ? 0 时, f ?( x) ? m x ln m ? kn x ln n ? [( ) x ln m ? k ln n)]n x ? 0 , 由 n x ? 0, 得 ( ) x ln m ? k ln n ? 0, 得 ( ) x ? ?k
n n m m

n ln n

ln m

? ? k log m n, 得 x ? log m (?k log m n) .(9 分)
n

∴当 x ? (??, log m (?k log m n)] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数; (10 分)
n

当 x ? [log m (?k log m n), ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. (11 分)
n

(3) 当 m ? 2, n ?

1 2

时, f ( x) ? 2 x ? k ? 2? x ,
2 (?k )

如果k ? 0, f ( x) ? 2 x ? k ? 2? x ? 2 x ? (? k ) ? 2? x ? 2 x ? 2log

(13 分) ? 2 ? x ? 2 x ? 2log2 ( ? k ) ? x ,
1 2

则 f (log 2 (?k ) ? x) ? ? f ( x), ∴函数 y ? f ( x) 有对称中心 ( log 2 (?k ), 0). (14 分) 如果 k ? 0, f ( x) ? 2 x ? k ? 2? x ? 2 x ? 2log k ? 2? x ? 2 x ? 2log
2 2

k?x

, (15 分)
2

则 f (log 2 k ? x) ? f ( x),

∴函数 y ? f ( x) 有对称轴 x ? log 2 k .(16 分)

1

7.在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60° 为 AB 的中点,Q 为 CD1 的中点. ,P (1)求证:DP⊥平面 A1ABB1; (2)求证:PQ∥平面 ADD1A1. A1

D1 B1 Q

C1

D

C P B

A

8. 今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日,有一个群名为 “天狼星”的自驾游车队。该车队是由 31 辆车身长都约为 5m(以 5m 计算)的同一车型组成 的,行程中经过一个长为 2725m 的隧道(通过该隧道的车速不能超过 25m/s), 匀 速通过该隧道,设车队的速度为 x m/s ,根据安全和车流的需要,当 0 ? x ? 12 时, 相邻两车之间保持 20m 的距离;当 12 ? x ? 25 时,相邻两车之间保持 ( x2 ?

1

1 3

6

x) m

的距离.自第 1 辆车车头进入隧道至第 31 辆车车尾离开隧道所用的时间为 y (s ) . (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)求该车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度.

8. 解: (1)当 0 ? x ? 12 时, y ?

2725 ? 5 ? 31 ? 20 ? (31 ? 1) x

?

3480 x

----3 分

1 1 2725 ? 5 ? 31 ? ( x 2 ? x ) ? (31 ? 1) 6 3 当 12 ? x ? 25 时, y ? x
? 5 x 2 ? 10 x ? 2880 x ? 5x ? 2880 x ? 10 -----------------------------------3 分

3480 ? ( 0 ? x ? 12 ) ? x 所以, y ? ? -----------------------------7 分 2880 ?5 x ? ? 10 (12 ? x ? 25 ) x ?
(2)当 0 ? x ? 12 时,在 x ? 12 (m/s)时, y min ? 当 12 ? x ? 25 时, y ? 5 x ? 当且仅当 5 x ?

3480 12

? 290 ( s ) -------9 分

2880 x

? 10 ? 2 5 x ?

2880 x

? 10 ? 250 ( s ) ――――12 分

,即: x ? 24 (m/s)时取等号。----------------------13 分 x 因为 x ? 24 ? (12 ,25 ] ,所以 当 x ? 24 (m/s)时, y min ? 250 ( s ) 因为 290 ? 250 ,所以当 x ? 24 (m/s)时, y min ? 250 ( s ) 答:该车队通过隧道时间 y 的最小值为 250s 及此时该车队的速度为 24m/s.―――14 分

2880

9.已知椭圆 点 P (4,

x2 a
2

?

y2 b
2

3 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过 5

12 5

) , A 为上顶点, F 为右焦点.点 Q (0, t ) 是线

段 OA (除端点外)上的一个动点,过 Q 作平行于 x 轴的 直线交直线 AP 于点 M ,以 QM 为直径的圆的圆心为 N . (1)求椭圆方程; (2)若圆 N 与 x 轴相切,求圆 N 的方程; (3)设点 R 为圆 N 上的动点,点 R 到直线 PF 的最大距离为 d ,求 d 的取值范围.

9.解: (1)∵e= 圆方程为
x2
2

3 5
y2

不妨设 c=3k,a=5k,则 b=4k,其中 k>0,故椭
? 1( a ? b ? 0) , ∵P ( 4 ,

5 25k 16k 12 ( )2 2 x2 y 42 ∴ ? ? 1 ―――4 分 ? 5 ? 1 解得 k=1,∴椭圆方程为 25 16 25k 2 16k 2 12 ?4 2 2 ?? (2) k AP ? 5 , 则直线 AP 的方程为 y ? ? x ? 4 ―――――5 4 5 5

?

12

2

)在椭圆上,

分 令 y=t

? 0 ? t ? 4 ? ,则 x ? 5(4 ? t )
5(4 ? t ) 4
2

∴M(

5( 4 ? t ) 2

, t ) ,∵Q(0,t)∴N( 5( 4 ? t ) 4

5( 4 ? t ) 4

, t) ,
20 9

∵圆 N 与 x 轴相切 ∴ ∴ N(

由题意 M 为第一象限的点, 则 ?t ,

解得 t ? ?t ,

20 20 20 20 400 ――――――――10 分 , ) ,圆 N 的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 9 9 9 9 81 12 12 (3)F(3,0) k PF ? , ∴直线 PF 的方程为 y ? ( x ? 3) 即 12x ? 5 y ? 36 ? 0 ――11 分 5 5

∴点 N 到直线 PF 的距离为 ∴d ?
4 13 6 ? 5t +
6 5

15( 4 ? t ) ? 5t ? 36 13



24 ? 20t 13



4 13

6 ? 5t

5 4

( 4 ? t ) ,∵0<t<4
4 (6 ? 5t ) ? 5

――――12 分
356 ? 145t

∴当 0<t≤

13 4 52 2 13 6 4 5 164 ? 15t 7 56 当 <t<4 时, d ? (5t ? 6) ? ( 4 ? t ) = ,此时 ? d ? -16 分 5 13 4 52 2 13

时, d ?

(4 ? t ) =

,此时

7

?d ?

89

-14 分

∴综上, d 的取值范围为 ? ,

? 7 89 ? ?. ? 2 13 ?

10.设函数 f ( x ) ?

1 3

x 3 ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0) 在 x ? 0 处取得极值 ?1 .

(1)设点 A( ? a, f ( ? a )) ,求证:过点 A 的切线有且只有一条;并求出该切线方程. (2)若过点 (0, 0) 可作曲线 y ? f ( x ) 的三条切线,求 a 的取值范围; (3)设曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 )处的切线都过点 (0, 0) , 证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
' '

10. (1) f ( x ) ? x ? 2 ax ? b , 解: ? 由题意可得 f (0) ? 0 , f (0) ? ?1 , 解得 b ? 0, c ? ?1
' 2 '

经检验, f ( x ) 在 x ? 0 处取得极大值。? f ( x ) ?
'

1 3

x 3 ? ax 2 ? 1 ………………………2 分

设切点为 ( x0 , y0 ) ,则切线方程为 y ? y 0 ? f ( x0 )( x ? x0 )

2 即为 y ? ( x0 ? 2 ax0 ) x ?

2 3

3 2 x0 ? ax0 ? 1 ……………………………………………………3 分

把 ( ? a , f ( ? a )) 代入可得 x0 ? 3ax0 ? 3a x0 ? a ? 0 ,即为 ( x0 ? a ) ? 0
3 2 2 3 3

∴ x0 ? ? a ,即点 A 为切点,且切点是唯一的,故切线有且只有一条. 切线方程为 a 2 x ? y ?

1 3

a 3 ? 1 ? 0 ………………………………………………………5 分
2 3
3 x0 ? ax02 ? 1 ,把 (0, 0) 代入可得

2 (2)因为切线方程为 y ? ( x0 ? 2 ax0 ) x ?

2 3

3 2 x0 ? ax0 ? 1 ? 0 ,

因为有三条切线,故方程 设 g ( x) ?

2 3

3 2 x0 ? ax0 ? 1 ? 0 有三个不同的实根.………………………6 分

2 3

x 3 ? ax 2 ? 1 ( a ? 0)

? g '( x ) ? 2 x ? 2ax ,令 g '( x ) ? 2 x ? 2ax =0,可得 x ? 0 和 x ? ?a

x
g ' ( x)

( ?? , 0)

0

(0, ? a )

?a

( ? a , ?? )

+ 增

0 极大值



0 极小值

+ 增

g ( x)



3 因为方程有三个根,故极小值小于零, a ? 1 ? 0 ,所以 a ? ? 3 3

1

………………10 分

3

(3)假设 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? 2 ax1 ? x2 ? 2 ax2 ,所以 x1 ? x2 ? ? 2 a …………11 分
' ' 2 2

?2 3 2 ? 3 x2 ? ax2 ? 1 ? 0 ? 由题意可得 ? ? 2 x 3 ? ax 2 ? 1 ? 0 1 ? 1 ?3
因为 x1 ? x2 ,故

两式相减可得

2 3

3 2 ( x2 ? x13 ) ? a ( x2 ? x12 ) ? 0

2 3

2 ( x2 ? x2 x2 ? x12 ) ? a ( x1 ? x2 ) ? 0

把 x1 ? x2 ? ? 2 a 代入可得 x2 ? x2 x2 ? x1 ? 3a ,所以 ( x1 ? x2 ) ? x2 x2 ? 3a
2 2 2 2

2

所以 x2 x2 ? a

2

……………………………………………………………………………14 分
2

? x ? x2 ? 2 ' ' 又由 x2 x2 ? ? 1 ? ? a ,矛盾。所以假设不成立,即证 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ………16 分 2 ? ?

11.已知数列 ? a n ? 是由正数组成的等比数列, S n 是其前 n 项和. (1)当首项 a1 ? 2 ,公比 q ? 求 c 的取值范围;
2

1 2
*

时,对任意的正整数 k 都有

S k ?1 ? c Sk ? c

? 2(0 ? c ? 2) 成立,

(2)判断 S n S n ? 2 ? S n ?1 n ? N

?

? 的符号,并加以证明;

(3) 是否存在正常数 m 及自然数 n , 使得 lg( S n ? m ) ? lg( S n ? 2 ? m ) ? 2 lg( S n ?1 ? m ) 成立? 若存在,请求出相应的 m, n ;若不存在,说明理由.

11.解: (1) S k ? 4(1 ?

1 2k

) ? 2 ,―――――――――1 分 6 2k
,因为对任意的 k 恒成立,

? S k ?1 ? c ? 2 S k ? 2c 即 c ? 2 S k ? S k ?1 ,代入计算得 c ? 4 ?
所以 0 ? c ? 1―――――3 分: (2)符号为负

证明:当 q ? 1 时, S n S n ? 2 ? S n ?1 ? na1 ? ( n ? 2) a1 ? [( n ? 1) a1 ] ? ? a1 ? 0
2 2 2

………………5 分 当 q ? 1 时,? ?an ? 是由正数组成的数列? q ? 0 ,则 q ? 0 且 q ? 1

? Sn Sn?2 ? S

2 n ?1

a (1 ? q n ) a1 (1 ? q n ? 2 ) ? a1 (1 ? q n ?1 ) ? ? 1 ? ?? ? ……3 分 1? q 1? q ? 1? q ?

2

?

? (1 ? q n )(1 ? q n ? 2 ) ? (1 ? q n ?1 ) 2 ? ? (1 ? q ) ?
2

a12

?

a12 (1 ? q )
2

( ? q n ? q n ? 2 ? 2 q n ?1 ) ? ? a12 q n ? 0
2

综上, S n S n ? 2 ? S n ?1 n ? N

?

*

? 为负

……………………8 分

(3) 假设存在一个正常数 m 满足题意,则有

?Sn ? m ? 0 ? ? S n ?1 ? m ? 0 ? S n S n ? 2 ? S n2?1 ? m ( S n ? S n ? 2 ? 2 S n ?1 ) (*) ? Sn?2 ? m ? 0 ? ? ( S ? m )( S ? m ) ? ( S ? m ) 2 n?2 n ?1 ? n
………………………………12 分

S n ? S n ? 2 ? 2 S n ?1 ? ( S n ? m ) ? ( S n ? 2 ? m ) ? 2( S n ?1 ? m )
? 2 ( S n ? m )( S n ? 2 ? m ) ? 2( S n ?1 ? m ) ? 0
……………14 分

? S n ? S n ? 2 ? 2 S n ?1 ? 0
2

? m ( S n ? S n ? 2 ? 2 S n ?1 ) ? 0

由(1)得 S n S n ? 2 ? S n ?1 ? 0

?(*)式不成立
故不存在正常数 m 使结论成立 ………………………………16 分


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