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2016-2017年数学·选修4-5(人教A版)练习:第二讲2.3反证法与放缩法


第二讲 2.3 证明不等式的基本方法 反证法与放缩法 A级 一、选择题 基础巩固 3 3 1.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 a> b”时,假设的 内容是( 3 ) 3 3 3 A. a= b 3 3 3 3 B. 3 a< b 3 3 3 C. a= b,且 a< b 3 3 D. 3 a= b或 a< b 3 3 3 解析:应假设 a≤ b,即 a= b或 a< b. 答案:D 2.实数 a,b,c 不全为 0 的等价命题为( A.a,b,c 均不为 0 B.a,b,c 中至多有一个为 0 C.a,b,c 中至少有一个为 0 D.a,b,c 中至少有一个不为 0 答案:D 3.用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有有理根, 那么 a, b, c 中至少有一个偶数, 下列假设中正确的是( A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 ) ) C.假设 a,b,c 至多有一个偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个偶数 解析:至少有一个是的否定为都不是. 答案:B 1 1 1 4.设 x,y,z 都是正实数,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a, y z x b,c 三个数( ) A.至少有一个不大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不小于 2 D.都大于 2 1 1 1 解析:因为 a+b+c=x+ +y+ +z+ ≥2+2+2=6,当且仅 x y z 当 x=y=z=1 时等号成立,所以 a,b,c 三者中至少有一个不小于 2. 答案:C 5.若不等式 x2-2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立,则关于 t 的不等式 at2+2t-3<1 的解集为( A.(-3,1) C.? ) B.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(0,1) 解析:不等式 x2-2ax++a>0 对一切实数 x∈R 恒成立,则Δ =(-2a)2-4a<0,即 a2-a<0,解得 0<a<1, 所以不等式 at2+2t-3<1 转化为 t2+2t-3>0, 解得 t<-3 或 t >1. 答案:B 二、填空题 6.某同学准备用反证法证明如下一个问题,函数 f(x)在[0,1] 上有意义,且 f(0)=f(1),如果对于不同的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1) 1 - f(x2)| < |x1 - x2| ,求证: |f(x1) - f(x2)| < ,那么它的假设应该是 2 ________. 1 答案:假设|f(x1)-f(x2)|≥ 2 7.lg 9·lg 11 与 1 的大小关系是________. lg 9+lg 11 lg 99 lg 100 解析:因为 lg 9·lg 11< = < =1, 2 2 2 所以 lg 9·lg 11<1. 答案:lg 9·lg 11<1 8.设 a,b,c 均为正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a -b,则“PQR>0”是“P,Q,R 同时大于零”的________条件. 解析:必要性是显然成立的;当 PQR>0 时,若 P,Q,R 不同 时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设 P>0,Q<0,R<0, 则 Q+R=2c<0,这与 c>0 矛盾,即充分性也成立. 答案:充要 三、解答题 9.已知 x,y>0,且 x+y>2.求证: 小于 2. 证明:(反证法)设 ? ?1+x≥2y, 则? ?1+y≥2x. ② ? 1+x 1+y , 中至少有一个 y x 1+x 1+y ≥2, ≥2, y

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