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2011年函数值域求法十一种(免费)1


一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或 组)即得原函数的定义域。 例 1 求函数 y ?

x 2 ? 2 x ? 15 的定义域。 | x ? 3 | ?8

解:要使函数有意义,则必须满足

?x 2 ? 2 x ? 15 ? 0 ① ? ② ?| x ? 3 | ?8 ? 0 由①解得 x ? ?3 或 x ? 5 。 ③ 由②解得 x ? 5 或 x ? ?11 ④ ③和④求交集得 x ? ?3 且 x ? ?11 或 x>5。 故所求函数的定义域为 {x | x ? ?3且x ? ?11} ? {x | x ? 5} 。 1 例 2 求函数 y ? sin x ? 的定义域。 16 ? x 2
解:要使函数有意义,则必须满足

① ?sin x ? 0 ? 2 ② ?16 ? x ? 0 由①解得 2k? ? x ? ? ? 2k?,k ? Z 由②解得 ? 4 ? x ? 4
由③和④求公共部分,得

③ ④

故函数的定义域为 (?4, ?] ? (0,?] ? 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数 的解析式,一般有两种情况。 (1)已知 f ( x ) 的定义域,求 f [g(x)] 的定义域。 (2)其解法是:已知 f ( x ) 的定义域是[a,b]求 f [g(x)] 的定义域是解 a ? g(x ) ? b ,即为所求的定义域。 例 3 已知 f ( x ) 的定义域为[-2,2] ,求 f ( x 2 ? 1) 的定义域。 解:令 ? 2 ? x 2 ? 1 ? 2 ,得 ? 1 ? x 2 ? 3 ,即 0 ? x 2 ? 3 ,因此 0 ?| x |? 是 {x | ? 3 ? x ? 3} 。 (2)已知 f [g(x)] 的定义域,求 f(x)的定义域。 其解法是:已知 f [g(x)] 的定义域是[a,b] ,求 f(x)定义域的方法是:由 a ? x ? b ,求 g(x)的值域,即所求 f(x)的定 义域。 例 4 已知 f (2x ? 1) 的定义域为[1,2] ,求 f(x)的定义域。 解:因为 1 ? x ? 2,? 2x ? 4,? 2x ? 1 ? 5 。 2 3 即函数 f(x)的定义域是 {x | 3 ? x ? 5} 。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R,求参数的范围问题通常是转化为 恒成立问题来解决。 例 5 已知函数 y ?

? 4 ? x ? ??或0 ? x ? ?

3 ,从而 ? 3 ? x ? 3 ,故函数的定义域

mx 2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。

分析:函数的定义域为 R,表明 mx 2 ? 6mx ? 8 ? m ? 0 ,使一切 x∈R 都成立,由 x 2 项的系数是 m,所以应分 m=0 或 m ? 0 进行讨论。 解:当 m=0 时,函数的定义域为 R; 当 m ? 0 时, mx 2 ? 6mx ? m ? 8 ? 0 是二次不等式,其对一切实数 x 都成立的充要条件是

?m ? 0 ? 2 ?? ? ( ?6m) ? 4m( m ? 8) ? 0 ? 0 ? m ?1 综上可知 0 ? m ? 1 。
评注:不少学生容易忽略 m=0 的情况,希望通过此例解决问题。

kx ? 7 的定义域是 R,求实数 k 的取值范围。 kx ? 4kx ? 3 解:要使函数有意义,则必须 kx 2 ? 4kx ? 3 ≠0 恒成立,因为 f ( x ) 的定义域为 R,即 kx 2 ? 4kx ? 3 ? 0 无实数 3 ①当 k≠0 时, ? ? 16k 2 ? 4 ? 3k ? 0 恒成立,解得 0 ? k ? ; 4
例 6 已知函数 f ( x ) ?
2

②当 k=0 时,方程左边=3≠0 恒成立。求函数的定义域。 解:设矩形一边为 x,则另一边长为

1 (a ? 2x ) 于是可得矩形面积。 2

1 1 y ? x ? (a ? 2x ) ? ax ? x 2 2 2 1 ? ?x 2 ? ax 。 2
由问题的实际意义,知函数的定义域应满足

?x ? 0 ?x ? 0 ? ?? ?1 ?a ? 2x ? 0 ? 2 (a ? 2 x ) ? 0 ? a ?0?x? 。 2
故所求函数的解析式为 y ? ? x 2 ?

a 1 。 ax ,定义域为(0, ) 2 2

例 8 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为 2x,求此框架围成的面积 y 与 x 的 函数关系式,并求定义域。 解:由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。

L ? AB ? CD L ? 2x ? ?x ? 因为 CD=AB=2x,所以 CD ? ?x ,所以 AD ? , 2 2 L ? 2x ? ?x ?x 2 故 y ? 2x ? ? 2 2 ? ? ?(2 ? ) x 2 ? Lx 2
?

?

根据实际问题的意义知

?2 x ? 0 L ? ?0?x? ? L ? 2x ? ?x ??2 ?0 ? 2 ? L ? 故函数的解析式为 y ? ?(2 ? ) x 2 ? Lx ,定义域(0, ) 。 ??2 2
五、参数型 对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。 例 9 已知 f ( x ) 的定义域为[0,1] ,求函数 F(x) ? f (x ? a ) ? f (x ? a ) 的定 解:因为 f ( x ) 的定义域为[0,1] ,即 0 ? x ? 1 。故函数 F( x ) 的定义域为下列不等式组的解集:

义域。

?0 ? x ? a ? 1 ?? a ? x ? 1 ? a ,即 ? ? ?0 ? x ? a ? 1 ?a ? x ? 1 ? a
即两个区间[-a,1-a]与[a,1+a]的交集,比较两个区间左、右端点,知

1 ? a ? 0 时,F(x)的定义域为 {x | ?a ? x ? 1 ? a} ; 2 1 (2)当 0 ? a ? 时,F(x)的定义域为 {x | a ? x ? 1 ? a} ; 2 1 1 (3)当 a ? 或 a ? ? 时,上述两区间的交集为空集,此时 F(x)不能构成函数。 2 2
(1)当 ?

六、隐含型 有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单 调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。 例 10 求函数 y ? log 2 (? x 2 ? 2x ? 3) 的单调区间。 解:由 ? x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ,即 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 3 。即函数 y 的定义域为(-1,3) 。 函数 y ? log 2 (? x 2 ? 2x ? 3) 是由函数 y ? log 2 t,t ? ?x 2 ? 2x ? 3 复合而成的。 对称轴 x=1, 由二次函数的单调性, 可知 t 在区间 (??, 上是增函数; 在区间 [1, ?) t ? ?x 2 ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1) 2 ? 4 , 1] ? 上是减函数,而 y ? log 2 t 在其定义域上单调增;

1] (?1, ? (??, ? (?1 1], 1 3) ? [1 ? ?) ? [1, ,所以函数 y ? log 2 (? x 2 ? 2x ? 3) 在区间 (?1, 上是增函数,在区间 3) 1] , (? , , 3) [1,) 上是减函数。 3

函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 解:∵x ? 0
1 ?0 ∴x y? 1 x

的值域。

显然函数的值域是:(??,0) ? (0,??) 例2. 求函数y ? 3 ? x 的值域。 解:∵ x ? 0
? ? x ? 0,3 ? x ? 3

故函数的值域是:[??,3] 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 2 例3. 求函数y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。 2 解:将函数配方得:y ? (x ? 1) ? 4 ∵x ?[?1,2] i 由二次函数的性质可知:当x=1 时,y mn ? 4 ,当x ? ?1时,y max 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法 例4. 求函数 的值域。 解:原函数化为关于x 的一元二次方程
( y ? 1) x 2 ? ( y ? 1) x ? 0

?8

y?

1 ? x ? x2 1 ? x2

(1)当y ? 1 时,x ? R
? ? (?1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ? 0

1 3 ?y? 2 解得: 2

?1 3? 1? ? , ? (2)当y=1 时,x ? 0 ,而 ? 2 2 ? ?1 3? ? , ? 故函数的值域为? 2 2 ?

例5. 求函数y ? x ? x (2 ? x ) 的值域。 2 2 解:两边平方整理得:2x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 (1) ∵x ? R 2 ∴? ? 4( y ? 1) ? 8y ? 0 解得:1 ? 2 ? y ? 1 ? 2 但此时的函数的定义域由x(2 ? x) ? 0 ,得0 ? x ? 2 2 2 由? ? 0 ,仅保证关于x 的方程:2x ? 2( y ? 1)x ? y ? 0 在实数集R 有实根,而不能确保其实根在 区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 ? ? 0 求出的范围可能比 y 的实际范围大,故不
?1 3? ? , ? 能确定此函数的值域为? 2 2 ? 。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0 ? x ? 2
? y ? x ? x (2 ? x ) ? 0

? y min ? 0, y ? 1 ? 2 代入方程(1)

解得:

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2

? [0,2]

即当 时, 原函数的值域为:[0,1 ? 2 ] 注: 由判别式法来判断函数的值域时, 若原函数的定义域不是实数集时, 应综合函数的定义域, 将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6.
3x ? 4 求函数 5x ? 6 值域。
x? 4 ? 6y 5y ? 3

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2

解:由原函数式可得: 则其反函数为:
y?

4 ? 6y 3 x? 5x ? 3 ,其定义域为: 5

3? ? ? ? ?, ? 5? 故所求函数的值域为:?

5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数
y? ex ?1 e x ? 1 的值域。

解:由原函数式可得: ∵e x ? 0
y ?1 ?0 ∴y ?1

ex ?

y ?1 y ?1

解得:? 1 ? y ? 1 故所求函数的值域为(?1,1) 例8. 求函数 解:由原函数式可得:y sin x ? cos x ? 3y ,可化为:
y 2 ? 1 sin x ( x ? ?) ? 3y

y?

c x os si x ? 3 的值域。 n

y ?1 即 ∵x ? R ∴sin x(x ? ?) ?[?1,1]
2

sin x ( x ? ?) ?

3y

?1?

3y y2 ? 1
?

?1

即 解得:

2 2 ?y? 4 4

? 2 2? , ?? ? ? 4 4 ? ? ? 故函数的值域为

6. 函数单调性法 x ?5 例9. 求函数y ? 2 ? log 3 x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。 x ?5 解:令y1 ? 2 , y 2 ? log 3 x ? 1 则y1 , y 2 在[2,10]上都是增函数 所以y ? y1 ? y 2 在[2,10]上是增函数 当x=2 时, 当x=10 时,y max
y m ? 2 ?3 ? l g o n i
3

2 ?1 ?

1 8

? 2 5 ? log 3 9 ? 33

?1 ? ? ,33? 故所求函数的值域为:? 8 ?

例10. 求函数y ?

x ? 1 ? x ? 1 的值域。

x ?1 ? x ?1 解:原函数可化为: 令y1 ? x ? 1, y 2 ? x ? 1 ,显然y1 , y 2 在[1,??] 上为无上界的增函数 所以y ? y1 ,y 2 在[1,??] 上也为无上界的增函数

y?

2

2

所以当x=1 时,y ? y1 ? y 2 有最小值 2 ,原函数有最大值 显然y ? 0 ,故原函数的值域为(0, 2 ]

? 2

2

7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式 模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数y ? x ? x ? 1 的值域。 解:令x ? 1 ? t ,(t ? 0) 则x ? t 2 ? 1
1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? 2 4 ∵

又t ? 0 ,由二次函数的性质可知 当t ? 0 时,y min ? 1 当t ? 0 时,y ? ?? 故函数的值域为[1,??) 例12. 求函数y ? x ? 2 ? 1 ? (x ? 1) 的值域。 2 解:因1 ? (x ? 1) ? 0 2 即( x ? 1) ? 1 故可令x ? 1 ? cos ?, ? ?[0, ?]
2

∴y ? cos ? ? 1 ?

1 ? cos 2 ? ? sin ? ? cos ? ? 1

? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4



0 ? ? ? ?,0 ? ? ?

? 5 ? ? 4 4

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4 ? ? 0 ? 2 sin(? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 4 ??

故所求函数的值域为[0,1 ? 例13. 求函数
y?

2]

x3 ? x x 4 ? 2x 2 ? 1 的值域。 y? 1 2x 1 ? x2 ? ? 2 1 ? x2 1 ? x2

解:原函数可变形为:

2x 1? x2 ? sin 2?, ? cos 2 ? x ? tg? ,则有1 ? x 2 1? x2 可令

1 1 ? y ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin 4? 2 4



?? ??

k? ? 1 ? y mx ? a 4 2 8 时, k? ? 1 ? ym ? ? n i 2 8 时, 4

当 而此时tan ? 有意义。

? 1 1? ?? , ? 故所求函数的值域为? 4 4 ?

例14. 解:y ? (sin

? ? ?? x ? ?? , ? 求函数y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1) , ? 12 2 ? 的值域。
x ? 1)(c x ? 1) os

? sin x cos x ? sin x ? cos x ? 1

令sin x ? cos x ? t ,则
y?

si x cos x ? n

1 2 ( t ? 1) 2

1 2 1 ( t ? 1) ? t ? 1 ? ( t ? 1) 2 2 2
2 sin(x ? ? / 4)

由t ? sin x ? cos x ?
? ? ?? x ? ?? , ? 且 ? 12 2 ?

可得: ∴当t ?

2 ?t? 2 2
2 时,

y mx ? a

3 2 ? 2 t? 2 ,当 2

时,

y?

3 2 ? 4 2

?3 ? 2 3 , ? 2? ? ? ?。 ? ? 故所求函数的值域为? 4 2 2

例15. 求函数y ? x ? 4 ? 5 ? x 的值域。 解:由5 ? x 2 ? 0 ,可得| x |? 5 故可令x ? 5 cos ?, ? ?[0, ?]
2

? y ? 5 cos ? ? 4 ? 5 sin ? ? 10 sin(? ? ) ? 4 4 ∵0 ? ? ? ? ? ? 5? ? ??? ? 4 4 4

当? ? ? / 4 时,y max ? 4 ? 10 i 当? ? ? 时,y mn ? 4 ? 5 故所求函数的值域为:[4 ? 5 ,4 ? 10 ] 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义, 如两点的距离公式直线斜率等等, 这类题目若 运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例16. 求函数y ?
( x ? 2) 2 ? ( x ? 8) 2

的值域。

解:原函数可化简得:y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 | 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2) B(?8) 间的距离之和。 , y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 由上图可知,当点P 在线段AB 上时, 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时,y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB|? 10 故所求函数的值域为:[10,??] 例17. 求函数y ?
x 2 ? 6x ? 13 ? x 2 ? 4x ? 5 的值域。

解:原函数可变形为:
y ? ( x ? 3) 2 ? (0 ? 2) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2

上式可看成x 轴上的点P(x,0) 到两定点A(3,2), B(?2,?1) 的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,y min 故所求函数的值域为[ 43,??]
?| AB |? (3 ? 2) 2 ? (2 ? 1) 2 ? 43 ,

例18. 求函数y ?

x 2 ? 6x ? 13 ? x 2 ? 4x ? 5
2 2

的值域。
2 2

解:将函数变形为:y ? (x ? 3) ? (0 ? 2) ? (x ? 2) ? (0 ? 1) 上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(?2,1) 到点P(x,0) 的距离之差。 即:y ?| AP | ? | BP | 由图可知: (1)当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P' ,则构成?ABP' ,根据 三角形两边之差小于第三边,有|| AP' | ? | BP' ||?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 26 即:? 26 ? y ? 26 (2)当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有|| AP | ? | BP ||?| AB |? 26 综上所述,可知函数的值域为:(? 26 , 26 ]
2 2

注:由例17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B 两点在x 轴的两侧,而求 两距离之差时,则要使A,B 两点在x 轴的同侧。 如:例17 的A,B 两点坐标分别为: (3,2) (?2,?1) ,在x 轴的同侧;例18 的A,B 两点坐标 , 分别为(3,2) (2,?1) ,在x 轴的同侧。 , 9. 不等式法 ? 3 利用基本不等式a ? b ? 2 ab , a ? b ? c ? 3 abc (a, b, c ? R ) ,求函数的最值,其题型特征解析式是和 式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技 巧。 例19. 求函数 解:原函数变形为:
y ? (si x ? n 1 2 1 2 ) ? (c x ? os ) ?4 si x n c x os 的值域。

y ? (sin 2 x ? cos 2 x ) ? ? 1 ? ces 2 x ? sec 2 x ? 3 ? tan 2 x ? cot 2 x ? 3 3 tan 2 x cot 2 x ? 2 ?5

1 1 ? 2 sin x cos 2 x

当且仅当tan x ? cot x 即当 故原函数的值域为:[5,??) 例20. 求函数y ? 2 sin x sin 解:y ? 4 sin x sin x cos x
? 4 sin 2 x cos x

x ? k? ?

? 4 时(k ? z) ,等号成立

2x 的值域。

y ? 16 sin 4 x cos 2 x ? 8 sin 2 x sin 2 x (2 ? 2 sin 2 x ) ? 8[(sin 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin 2 x ) / 3]3 ? 64 27
2

当且仅当sin 由
y2 ?

x ? 2 ? 2 sin x ,即当
2

sin 2 x ?

2 3 时,等号成立。

64 8 3 8 3 ? ?y? 9 27 可得: 9

? 8 3 8 3? , ?? ? 9 9 ? ? ? ? 故原函数的值域为:

10. 一一映射法 原理:因为 范围,就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数
y? 1 ? 3x 2x ? 1 的值域。 y? ax ? b (c ? 0) cx ? d 在定义域上 x

与 y 是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量

1 1? ? ?x | x ? ? 或x ? ? ? 2 2? 解:∵定义域为?

由 故

y?
x?

1? y 1 ? 3x x? 2y ? 3 2x ? 1 得 1? y 1? y 1 1 ?? x? ?? 2y ? 3 2或 2y ? 3 2

3 3 y ? ? 或y ? ? 2 2 解得
3? ? 3 ? ? ? ? ?,? ? ? ? ? ,??? 2? ? 2 ? 故函数的值域为?

11. 多种方法综合运用 例22. 求函数 的值域。 解:令t ? x ? 2 (t ? 0) ,则x ? 3 ? t 2 ? 1
y?
y? x?2 x?3

(1)当t ? 0 时, (2)当t=0 时,y=0。

t 1 1 ? ? 1 t ?1 t ? 1 2 0? y? t 2 ,当且仅当t=1,即x ? ?1时取等号,所以
2

? 1? ?0, ? 综上所述,函数的值域为:? 2 ?

注:先换元,后用不等式法
y? 1 ? x ? 2x 2 ? x 3 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4

例23. 求函数 解:
y?

的值域。

1 ? 2x 2 ? x 4 x ? x3 ? 1 ? 2x 2 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4
? x ? ? ? 1? x2 ?
? ? ? cos ? ?
2 2
2

?1? x2 ?? ?1 ? x 2 ?

?1? x2 ? ? x ? tan 2 ? 2 ,则? 1 ? x 令

?

x 1 ? sin ? 2 2 1? x

1 1 ? y ? cos 2 ? ? sin ? ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 2 2
1? 17 ? ? ?? sin ? ? ? ? 4? 16 ?
2

∴当 i 当sin ? ? ?1 时,y mn
tan

sin ? ?

1 17 y max ? 4 时, 16
? ?2

此时 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用sin ? 的有界性。 总之, 在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、 认真观察其题型特征, 然后再选择恰当的方 法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

17 ? ? ? ?? 2, 16 ? ? 2 都存在,故函数的值域为?


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