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(第14讲)高中数学复习专题讲座-构建数学模型解数列综合题和应用性问题


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题目 高中数学复习专题讲座 构建数学模型解数列综合题和应用性问题 高考要求 纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方 程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实 际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒 等问题 这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关 数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度 重难点归纳 1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分 析、解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关 等差(比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题 2 纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关 (1)事理关 需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力 (2)文理关 需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系 (3)事理关 在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建 相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化 构建出数学模型后,要正确得到问 题的解,还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力 典型题例示范讲解 典型题例示范讲解 某地投入资金进行生态环境建设, 并以此发展旅游产 例 1 从社会效益和经济效益出发,
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1 ,本年度当地旅游业收 5 入估计为 400 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比上 1 年增加 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出 an,bn 的 表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入? 命题意图 本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合 运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考 的热点和重点题型 知识依托 本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、 不等式的解法等知识点 错解分析 (1)问 an、bn 实际上是两个数列的前 n 项和,易与“通项”混淆;(2)问是既 解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差 技巧与方法 正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指 数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧 解 (1)第 1 年投入为 800 万元, 1 第 2 年投入为 800×(1- )万元,… 5 1 - 第 n 年投入为 800×(1- )n 1 万元, 5 所以,n 年内的总投入为
业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少
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an=800+800×(1-

1 1 - )+…+800×(1- )n 1 5 5

=


k =1

n

800×(1-

1 k -1 4 ) =4000×[1-( )n] 5 5

第 1 年旅游业收入为 400 万元, 第 2 年旅游业收入为 400×(1+ 第 n 年旅游业收入 400×(1+

1 ),…, 4
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1 n- 1 ) 万元 4 所以,n 年内的旅游业总收入为 1 1 - bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k 1 4 4
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=


k =1

n

400×(

5 k -1 5 ) =1600×[( )n-1] 4 4 5 n ) 4

(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0,即 1600×[( -1]-4000×[1-( 令 x=(

4 n ) ]>0, 5
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4 n ) ,代入上式得 5x2-7x+2>0 5 2 解此不等式,得 x< ,或 x>1(舍去) 5 4 2 即( )n< ,由此得 n≥5 5 5 ∴至少经过 5 年,旅游业的总收入才能超过总投入 1 1 1 例 2 已知 Sn=1+ + +…+ ,(n∈N*),设 f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数 m 的取值范围, 2 3 n 使得对于一切大于 1 的自然数 n,不等式 11 f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 恒成立 20 命题意图 本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析 问题、解决问题的能力 知识依托 本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙 错解分析 本题学生很容易求 f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理 技巧与方法 解决本题的关键是把 f(n)(n∈N*)看作是 n 的函数,此时不等式的恒成立 就转化为 11 函数 f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 20 1 1 1 (n∈N*) 解 ∵Sn=1+ + +…+ 2 3 n
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∴ f ( n ) = S 2 n +1 ? S n +1 =

1 1 1 + +?+ n+2 n+3 2n + 1 1 1 1 1 1 2 又f ( n + 1) ? f ( n ) = + ? = + ? 2 n + 2 2n + 3 n + 2 2n + 2 2 n + 3 2n + 4 1 1 1 1 =( ? )+( ? )>0 2n + 2 2n + 4 2n + 3 2n + 4

∴f(n+1)>f(n) ∴f(n)是关于 n 的增函数 ∴f(n) min=f(2)=

1 1 9 + = 2 + 2 2 + 3 20 ∴要使一切大于 1 的自然数 n,不等式 11 f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 恒成立 20 9 11 只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2 成立即可 20 20
?m > 0, m ≠ 1 由? 得 m>1 且 m≠2 ?m ? 1 > 0, m ? 1 ≠ 1
此时设[logm(m-1)]2=t 则 t>0

11 ?9 ? >t? 于是 ? 20 20 ?t > 0 ?

解得 0<t<1

由此得 0<[logm(m-1)]2<1 解得 m>

1+ 5 且 m≠2 2

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例 3 已知二次函数 y=f(x)在 x=

t+2 t2 处取得最小值- (t>0),f(1)=0 2 4

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(1)求 y=f(x)的表达式; (2)若任意实数 x 都满足等式 f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式,n∈N*),试用 t 表 示 a n 和 b n; (3)设圆 Cn 的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,圆 Cn 与 Cn+1 外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都 是正数的等比数列,记 Sn 为前 n 个圆的面积之和,求 rn、Sn
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t + 2 2 t2 ) - ,由 f(1)=0 得 a=1 2 4 ∴f(x)=x2-(t+2)x+t+1 (2)将 f(x)=(x-1)[x-(t+1)]代入已知得 (x-1)[x-(t+1)]g(x)+anx+bn=xn+1, 上式对任意的 x∈R 都成立, 取 x=1 和 x=t+1 分别代入上式得

源 源 源

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(1)设 f(x)=a(x-

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?an + bn = 1 ? 且 t≠0, ? ?(t + 1)an + bn = (t + 1) n+1 ?
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1 t +1 解得 an= [(t+1)n+1-1] n= ,b [1-(t+1 ] n) t t (3)由于圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2, 又由(2)知 an+bn=1,故圆 Cn 的圆心 On 在直线 x+y=1 上,
又圆 Cn 与圆 Cn+1 相切,故有 rn+rn+1= 2 |an+1-an|= 2 (t+1)n+1 ? 设{rn}的公比为 q,则

?rn + rn q = 2(t + 1) n +1 ???① ? ? n+2 ?rn +1 + rn +1q = 2(t + 1) ??② ?
q=

② ÷ ① 得

rn+1 2 (t + 1) n+1 =t+1,代入①得 rn= rn t+2
∴Sn=π(r1 +r2 +…+rn )=
源 源 源

2

2

2

πr1 (q 2 n ? 1) 2π(t + 1) 4 2n [(t+1) -1] = 2 3 q ?1 t (t + 2)
2

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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学生巩固练习 学生巩固练习 巩固 1 已知二次函数 y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当 a=1,2,…,n,…时,其抛物线在 x 轴
新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源

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上截得的线段长依次为 d1,d2,…,dn,…,则 lim (d1+d2+…+dn)的值是(
n →∞
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王
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)

A 1 B 2 C 3 D 4 2 在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限的两个点,若 1, x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成等比数列,则△OP1P2 的面积是_________ 3 从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升,然后再用水加满,再倒出 b 升,再用水加满; 这样倒了 n 次,则容器中有纯酒精_________升 4 据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 “2001 年国内生产总值 达到 95933 亿元,比上年增长 7 3%, ”如果“十·五”期间(2001 年~2005 年)每年的国内 生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿 元 5 已知数列{an}满足条件 a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为 q(q>0)的等比数列, 设 bn=a2n-1+a2n(n=1,2,…) (1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N*)成立的 q 的取值范围;
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(2)求 bn 和 lim

n →∞

1 ,其中 Sn=b1+b2+…+bn; Sn log 2 bn +1 1 ,求数列{ }的最大项和最小项的值 2 log 2 bn

(3)设 r=219

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2

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-1,q=

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6 某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为奖金发给 n 位职工,奖金分配方案如下 首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由 1 到 n 排序,第 1 位职工得奖金
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b 元,然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最 n
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后剩余部分作为公司发展基金 (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得奖金金额,试求 a2,a3,并用 k、n 和 b 表示 ak(不必 证明); (2)证明 ak>ak+1(k=1,2,…,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义;
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(3)发展基金与 n 和 b 有关,记为 Pn(b),对常数 b,当 n 变化时,求 lim Pn(b)
n →∞
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7 据有关资料,1995 年我国工业废弃垃圾达到 7 4×108 吨, 占地 562 4 平方公里, 若环保部门每年回收或处理 1 吨旧物资, 则相当于处理和减少 4 吨工业废弃垃圾, 并可节约 开采各种矿石 20 吨,设环保部门 1996 年回收 10 万吨废旧物资,计划以后每年递增 20%的 回收量,试问 (1)2001 年回收废旧物资多少吨? (2)从 1996 年至 2001 年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)? (3)从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地? 8 已知点的序列 An(xn,0),n∈N,其中 x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点,A4 是线 段 A2A3 的中点,…,An 是线段 An-2An-1 的中点,… (1)写出 xn 与 xn-1、xn-2 之间关系式(n≥3); (2)设 an=xn+1-xn,计算 a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明;
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(3)求 lim xn
n →∞

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参考答案: 1 解析 当 a=n 时 y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1
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由|x1-x2|=

? 1 ,得 dn= , n(n + 1) a

∴d1+d2+…+dn =

1 1 1 + +? + 1? 2 2 ? 3 n(n + 1)

1 1 1 1 1 1 = 1? + ? +? + ? = 1? 2 2 3 n n +1 n +1 1 ∴ lim (d1 + d 2 + ? + d n ) = lim (1 ? ) =1 n →∞ n →∞ n +1
答案 A 2 解析 由 1,x1,x2,4 依次成等差数列得 2x1=x2+1,x1+x2=5 解得 x1=2,x2=3 又由 1,y1,y2,8 依次成等比数列,得 y12=y2,y1y2=8,解得 y1=2,y2=4,
源 源 源

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∴P1(2,2),P2(3,4)

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∴ OP = (2,2), OP2 =(3,4) 1

∴ OP OP2 = 6 + 8 = 14, OP = 2 2 , | OP2 |= 5, 1 1

∴ cos POP2 = 1

OP OP2 14 7 2 2 1 = = ,∴ sin POP2 = 1 10 10 | OP || OP2 | 5 × 2 2 1

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∴ S ?OP1P2 =
答案 3
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王
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源 源 源

1 1 2 | OP || OP2 | sin POP2 = × 2 2 × 5 × =1 1 1 2 2 10
b )升, a

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
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特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

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1
源 源 源

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解析

新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源















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特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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特特特特 特 特 特特特特王 特特王 王王新特特 新 王王 王王 新新
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第一次容器中有纯酒精 a-b 即 a(1-

b 第二次有纯酒精 a(1- )- a
故第 n 次有纯酒精 a(1- 答案
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王
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源 源 源

b a(1 ? ) a b ,即 a(1- b )2 升, a a
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b n ) 升 a

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b n ) a 4 解析 从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项, 7 以 4 的等比数列,∴a5=95933(1+7 3%) ≈120000(亿元) 答案 120000 - 5 解 (1)由题意得 rqn 1+rqn>rqn+1
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a(1-
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3%为公比

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由题设 r>0,q>0,故从上式可得 <







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q2-q-1<0,解得

1? 5 1+ 5 <q< ,因 q>0,故 0<q 2 2

1+ 5 ; 2
an+1an + 2 an+ 2 b a + a 2 n + 2 a2 n?1q + a2 n q = = q,∴ n+1 = 2 n+1 = =q≠0 an a n+1 an bn a 2 n ?1 + a2 n a2 n?1 + a2 n
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(2)∵

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b1=1+r≠0,所以{bn}是首项为 1+r,公比为 q 的等比数列,从而 bn=(1+r)qn-1 当 q=1 时,Sn=n(1+r), lim

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1 1 = lim = 0; n →∞ S n →∞ n (1 + r ) n

当0 < q < 1时, Sn =

(1 + r )(1 ? qn ) 1 1? q 1? q , lim = lim = ; n n→∞ S n→∞ (1 + r )(1 ? q ) 1? q 1+ r n
lim 1 1? q = lim = 0, n n→∞ S n→∞ (1+ r)(1? q ) n

(1 + r )(1 ? q n ) 当q > 1时, Sn = , 1? q
?1 ? q , 1 ? 所以lim = ?1 + r n →∞ S n ?0, ?
(3)由(2), 有bn = (1 + r )q n ?1

(0 < q < 1) (q ≥ 1)

log 2 bn+1 log 2 [(1 + r )q n ] log 2 (1 + r ) + n log 2 q 1 = = =1+ . n ?1 log 2 bn n ? 20.2 log 2 [(1 + r )q ] log 2 (1 + r )(n ? 1) log 2 q
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记C n =

log 2 bn+1 ,从上式可知, log 2 bn
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当 n-20

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2>0,即 n≥21(n∈N*)时,Cn 随 n 的增大而减小,
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1 1 =2 25 ① =1+ 21 ? 20.2 0 .8 当 n-20 2<0,即 n≤20(n∈N*)时,Cn 也随 n 的增大而减小, 1 1 故 1>Cn≥C20=1+ =-4 ② =1? 20 ? 20.2 0 .2 综合①②两式知,对任意的自然数 n 有 C20≤Cn≤C21, 故{Cn}的最大项 C21=2 25,最小项 C20=-4 b 6 解 (1)第 1 位职工的奖金 a1= , n 1 1 第 2 位职工的奖金 a2= (1- )b, n n 1 1 第 3 位职工的奖金 a3= (1- )2b,…, n n 1 1 - 第 k 位职工的奖金 ak= (1- )k 1b; n n 1 1 - (2)ak-ak+1= 2 (1- )k 1b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭” n n 的原则 (3)设 fk(b)表示奖金发给第 k 位职工后所剩余数, 1 1 1 则 f1(b)=(1- )b,f2(b)=(1- )2b,…,fk(b)=(1- )kb n n n 1 得 Pn(b)=fn(b)=(1- )nb, n b 故 lim Pn (b) = n →∞ e 7 解 设 an 表示第 n 年的废旧物资回收量,Sn 表示前 n 年废旧物资回收总量,则数 列{an}是以 10 为首项,1+20%为公比的等比数列 (1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)
故 1<Cn≤C21=1+
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(2)S6=

10[(1 + 20%) 6 ? 1] 1 .6 6 ? 1 = 10 × =99.2992≈99.3(万吨) (1 + 20%) ? 1 0 .2
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∴从 1996 年到 2000 年共节约开采矿石 20×99 3≈1986(万吨) (3)由于从 1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾 4×99.3=397.2(万吨), ∴从 1996 年到 2001 年共节约
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562.4 × 397.2 × 10 4 ≈3 平方公里 7.4 × 108

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(1)当 n≥3 时,xn=

xn ?1 + xn?2 ; 2

(2)a1 = x2 ? x1 = a, a 2 = x3 ? x2 =

x2 + x1 1 1 ? x2 = ? ( x2 ? x1 ) = ? a, 2 2 2 x3 + x 2 1 1 1 1 a 2 = x4 ? x3 = ? x3 = ? ( x3 ? x 2 ) = ? ( ? a ) = a 2 2 2 2 4

1 n-1 ) a(n∈N) 2 证法一 因为 a1=a>0,且 x +x x ?x 1 1 an = xn+1 ? xn = n n?1 ? xn = n?1 n = ( xn ? xn?1 ) = ? an?1 (n≥2) 2 2 2 2 1 所以 an=(- )n-1a 2 证法二 用数学归纳法证明 1 (ⅰ)当 n=1 时,a1=x2-x1=a=(- )0a,公式成立; 2 1 - (ⅱ)假设当 n=k 时,公式成立,即 ak=(- )k 1a 成立 2 那么当 n=k+1 时, x + xk 1 1 ak+1=xk+2-xk+1= k +1 ? xk +1 = ? ( xk +1 ? xk ) = ? ak 2 2 2 1 1 1 = ? ( ? ) k ?1 a = ( ? ) (k +1 )?1 a公式仍成立. 2 2 2 1 据(ⅰ)(ⅱ)可知,对任意 n∈N,公式 an=(- )n-1a 成立 2 (3)当 n≥3 时,有 xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+…+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+…+a1,
由此推测 an=(-
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由(2)知{an}是公比为-

a1 2 1 的等比数列,所以 lim xn = = a 1 n →∞ 3 2 1 ? (? ) 2

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课前后备注







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