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100测评网高二新课标数学必修5第二章数列单元试题


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新课标数学必修 5 第二章数列单元试题
说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ 卷可在各题后直接作答.共 100 分,考试时间 90 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题

3 分,共 30 分) 1.在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数为( ) A.34 B.35 C.36

D.37

2.在数列{an}中,a1=1,an+1=an2-1(n≥1) ,则 a1+a2+a3+a4+a5 等于( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 3.{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是( ) A.24 B.27 C.30 D.33 4.设函数 f(x)满足 f(n+1)=

2 f (n) ? n (n∈N*)且 f(1)=2,则 f(20)为( 2



A.95 B.97 C.105 D.192 * 5.等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d∈N ,则 n(n≥3)的最大值为( A.5 B.6 C.7 D.8 2 6.设 an=-n +10n+11,则数列{an}从首项到第几项的和最大( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项 D.第 12 项



7.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为( ) A.180 B.-180 C.90 D.-90 8.现有 200 根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少, 那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 9. 由公差为 d 的等差数列 a1、 a2、 a3…重新组成的数列 a1+a4, a2+a5, a3+a6…是 ( A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列 C.公差为 3d 的等差数列 D.非等差数列 10.在等差数列{an}中,若 S9=18,Sn=240,an-4=30,则 n 的值为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 第Ⅱ卷(非选择题 共 70 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.在数列{an}中,a1=1,an+1= )

2a n 2 (n∈N*) ,则 是这个数列的第_________项. an ? 2 7

12.在等差数列{an}中,已知 S100=10,S10=100,则 S110=_________. 13. 在-9 和 3 之间插入 n 个数, 使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列, 则 n=_______. 14.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若

Sn a 2n = ,则 11 =_________. b11 Tn 3n ? 1

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 8 分)若等差数列 5,8,11,…与 3,7,11,…均有 100 项,问它们 有多少相同的项? 16. (本小题满分 10 分)在等差数列{an}中,若 a1=25 且 S9=S17,求数列前多少项和最 大. 17. (本小题满分 12 分)数列通项公式为 an=n2-5n+4,问 (1)数列中有多少项是负数?(2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. 18. (本小题满分 12 分)甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动,甲第一 分钟走 2 m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后,几分钟相遇. (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继 续每分钟走 5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 19. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 an+2Sn· Sn-1=0 (n≥2) , a1=

1 . 2
(1)求证:{

1 }是等差数列; Sn

(2)求 an 表达式; (3)若 bn=2(1-n)an(n≥2) ,求证:b22+b32+…+bn2<1.

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参考答案:
1. 考查等差数列的应用. 【解析】观察出 100 至 500 之间能被 11 整除的数为 110、121、132、…它们构成一个 等差数列,公差为 11,数 an=110+(n-1) ·11=11n+99,由 an≤500,解得 n≤36.4, * n∈N ,∴n≤36. 【答案】C 2. 考查数学建模和探索问题的能力.

n(n ? 1) <200. 2 19 ? 20 显然 n=20 时,剩余钢管最少,此时用去 =190 根. 2
【解析】1+2+3+…+n<200,即 【答案】B 3.考查等差数列的运用. 【解析】 由等差数列性质, a4+a6=a3+a7=-4 与 a3· a7=-12 联立, 即 a3, a7 是方程 x2+4x -12=0 的两根,又公差 d>0,∴a7>a3 ? a7=2,a3=-6,从而得 a1=-10,d=2,S20=180. 【答案】A 4.考查等差数列的通项. 【解析】an=a1+(n-1)d,即-6+(n-1)d=0 ? n=

6 +1 d

∵d∈N*,当 d=1 时,n 取最大值 n=7. 【答案】C 5.考查数列通项的理解及递推关系. 【解析】由已知:an+1=an2-1=(an+1) (an-1) , ∴a2=0,a3=-1,a4=0,a5=-1. 【答案】A 6.考查等差数列的性质及运用. 【解析】a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9 成等差数列,故 a3+a6+a9=2×39-45=33. 【答案】D 7.考查递推公式的应用.

1 ? ? f (2) ? f (1) ? 2 ? 1 ? ? f (3) ? f (2) ? 1 ? 2 n ? 【解析】f(n+1)-f(n)= ? ? 2 2 ? ? ? ? ? f (20) ? f (19) ? 1 ? 19 ? 2 ?
相加得 f(20)-f(1)=

1 (1+2+…+19) ? f(20)=95+f(1)=97. 2

【答案】B 8.考查数列求和的最值及问题转化的能力. 【解析】由 an=-n2+10n+11=-(n+1) (n-11) ,得 a11=0,而 a10>0,a12<0,S10=S11. 【答案】C 9. 考查等差数列的性质.

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 【解析】 (a2+a5)-(a1+a4)=(a2-a1)+(a5-a4)=2d. (a3+a6)-(a2+a5)=(a3 -a2)+(a6-a5)=2d.依次类推. 【答案】B 10. 考查等差数列的求和及运用.

9(a1 ? a9 ) =18 ? a1+a9=4 ? 2(a1+4d)=4. 2 n(a1 ? an ) ∴a1+4d=2,又 an=an-4+4d.∴Sn= =16n=240. 2
【解析】S9= ∴n=15. 【答案】B 11. 考查数列概念的理解及观察变形能力. 【解析】由已知得

1 a n ?1

=

1 1 1 1 1 + ,∴{ }是以 =1 为首项,公差 d= 的等差数列. an 2 an a1 2



1 1 2 2 =1+(n-1) ,∴an= = ,∴n=6. an 2 n ?1 7

【答案】6 12. 考查等差数列性质及和的理解. 【解析】S100-S10=a11+a12+…+a100=45(a11+a100)=45(a1+a110)=-90 ? a1+a110=-2. S110=

1 (a1+a110)×110=-110. 2

【答案】-110 13. 考查等差数列的前 n 项和公式及等差数列的概念. 【解析】-21= 【答案】5 14. 考查等差数列求和公式及等差中项的灵活运用.

(n ? 2)( ?9 ? 3) ,∴n=5. 2

(a1 ? a 21 ) 21(a1 ? a 21 ) a11 S 2 ? 21 21 2 2 ? ? 【解】 = = 21 ? . b11 (b1 ? b21 ) 21(b1 ? b21 ) T21 3 ? 21 ? 1 32 2 2
【答案】

21 32

15. 考查等差数列通项及灵活应用. 【解】设这两个数列分别为{an}、{bn},则 an=3n+2,bn=4n-1,令 ak=bm,则 3k+2=4m -1. ∴3k=3(m-1)+m,∴m 被 3 整除. 设 m=3p(p∈N*) ,则 k=4p-1. ∵k、m∈[1,100] . 则 1≤3p≤100 且 1≤p≤25. ∴它们共有 25 个相同的项. 16. 考查等差数列的前 n 项和公式的应用.

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 【解】∵S9=S17,a1=25,∴9×25+ 解得 d=-2,∴Sn=25n+

9 ? (9 ? 1) 17(17 ? 1) d=17×25+ d 2 2

n(n ? 1) (-2)=-(n-13)2+169. 2

由二次函数性质,故前 13 项和最大. 注:本题还有多种解法.这里仅再列一种.由 d=-2,数列 an 为递减数列. an=25+(n-1) (-2)≥0,即 n≤13.5. ∴数列前 13 项和最大. 17. 【解】 (1)由 an 为负数,得 n2-5n+4<0,解得 1<n<4. ∵n∈N*,故 n=2 或 3,即数列有 2 项为负数,分别是第 2 项和第 3 项. (2)∵an=n2-5n+4=(n-

5 2 9 5 ) - ,∴对称轴为 n= =2.5 2 4 2

又∵n∈N*,故当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,最小值为 22-5×2+4=-2. 18. 考查等差数列求和及分析解决问题的能力. 【解】 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意得 2n+

n(n ? 1) +5n=70 2

整理得:n2+13n-140=0,解得:n=7,n=-20(舍去) ∴第 1 次相遇在开始运动后 7 分钟. (2)设 n 分钟后第 2 次相遇,依题意有:2n+

n(n ? 1) +5n=3×70 2

整理得:n2+13n-6×70=0,解得:n=15 或 n=-28(舍去) 第 2 次相遇在开始运动后 15 分钟. 19.考查数列求和及分析解决问题的能力. 【解】 (1)∵-an=2SnSn-1,∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2) Sn≠0,∴

1 1 1 1 1 - =2,又 = =2,∴{ }是以 2 为首项,公差为 2 的等差数列. Sn S n ?1 S 1 a1 Sn
1 1 =2+(n-1)2=2n,∴Sn= Sn 2n
1 2n( n ? 1)

(2)由(1)

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-

?1 (n ? 1) ? 1 ?2 n=1 时,a1=S1= ,∴an= ? 1 2 ?(n ? 2) ? ? 2n(n - 1)
(3)由(2)知 bn=2(1-n)an= ∴b22+b32+…+bn2=

1 n

1 1 1 1 1 1 + 2 +…+ 2 < + +…+ 2 (n ? 1)n 3 n 1? 2 2 ? 3 2

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1 1 1 1 1 1 )+( - )+…+( - )=1- <1. 2 2 3 n ?1 n n

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