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第三章 第七节 正弦定理和余弦定理1


第 三 章

第 七 节 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理

抓 基 础

三 角 函 数、 解 三 角 形

明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练

提 能 力

[备考方向要明了] 考 什 么 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三



角形度量问题.

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怎 么 考
1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题 是高考考查的热点. 2.常与三角恒等变换相结合,综合考查三角形中的边与 角、三角形形状的判断等.

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一、正、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理

内容

a b c = = sinA sinB sinC

a2= b2+c2-2bccosA ;
b2= a2+c2-2accosB ; c2=a2+b2-2abcosC .

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正弦定理

余弦定理

变 形




①a= 2RsinA ,b= 2RsinB,c = 2RsinC; a b b2+c2-a2 ②sinA= 2R ,sinB= 2R , cosA= 2bc ; c sinC= ; 2R a2+c2-b2 ; cosB= (其中R是△ABC外接圆半径) 2ac sinA∶sinB∶sinC cosC= a2+b2-c2 . ③a∶b∶c= 2ab ④asinB=bsinA,bsinC=csinB, asinC=csinA. 返回

定理

正弦定理

余弦定理

①已知两角和任一边,求另 ①已知三边,求各角;

解决
一角和其他两条边; 的问 ②已知两边和其中一边的对 角,求第三边和其他两 ②已知两边和它们的夹


角,求另一边和其他两角. 个角.

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二、三角形常用面积公式 1 (1)S=2a·a(ha表示边a上的高); h 1 1 1 (2)S=2absin C= acsin B = bcsin A ; 2 2 1 (3)S=2r(a+b+c)(r为内切圆半径).

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1.(教材习题改编)在△ABC中,A=60° ,a=4 3,b=4 2, 则B= A.45° 或135° C.45° B.135° ( )

D.60° 4 3 4 2 解析:由正弦定理知sin 60° sin B, =

2 ∴sin B= 2 ,又a>b,∴A>B,∴B=45° .

答案: C

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2.在△ABC中,a= 3,b=1,c=2,则A等于 A.30° C.60° B.45°

(

)

D.75° b2+c2-a2 1+4-3 1 解析:∵cos A= = = , 2bc 2×1×2 2

又∵0° <A<180° ,∴A=60° .

答案: C

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3.(教材习题改编)在△ABC中,若a=18,b=24,

A=45°,则此三角形有
)

(

A.无解
C.一解

B.两解
D.解的个数不确定

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a b b 24 解析:因sin A=sin B,∴sin B=asin A=18sin 45° , 2 2 ∴sin B= 3 . 又∵a<b,∴B有两个.

答案: B

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π 1 4.(2011· 北京高考)在△ABC中,若b=5,B=4,sin A=3, 则a=________.
1 5×3 a b 5 2 解析:根据正弦定理sin A=sin B,得a= = 3 . 2 2 5 2 答案: 3

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5.(2011· 新课标全国卷)△ABC中,B=120°,AC=7, AB=5,则△ABC的面积为________.
解析:设BC=x,由余弦定理得49=25+x2-10xcos 120° , 整理得:x2+5x-24=0,即x=3. 1 1 3 15 3 因此S△ABC=2AB×BC×sin B=2×3×5× 2 = 4 .

15 3 答案: 4

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在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系 式 解的

a=bsin A bsin A<a<b

a≥b

a>b

a≤b

个数

一解

两解

一解

一解

无解 返回

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[精析考题] [例1] (2011· 辽宁高考)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分

别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A= 2a. b (1)求a; (2)若c2=b2+ 3a2,求B.

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[自主解答]

(1)由正弦定理得,sin2Asin B+sin Bcos2A=

2sin A,即sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A. b 故sin B= 2sinA,所以a= 2. ?1+ 3?a (2)由余弦定理和c =b + 3a ,得cos B= 2c .
2 2 2

由(1)知b2=2a2,故c2=(2+ 3)a2. 1 2 可得cos B=2,又cos B>0,故cos B= 2 ,所以B=45° .
2

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本例条件不变,求角A.
b 解:由(1)(2)知a= 2,B=45° . b sin B 1 ∴a=sin A,∴sin A=2.∴A=30° .

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2012· 长沙模拟)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c, π 已知A=3,a= 3,b=1,则c等于 A.1 C. 3-1 B.2 D. 3 ( )

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π 1×sin3 bsin A 1 解析:由正弦定理得sin B= a = =2, 3 π π 又b<a,故B=6,所以C=2,故c= a2+b2=2.

答案:B

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2.(2012· 福州质检)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若a=1,c=4 2,B=45° ,则sin C等于 4 A.41 4 C.25 4 B.5 4 41 D. 41 ( )

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解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=1+32-8 2 2× 2 =25,b=5. a2+b2-c2 3 4 b 2 所以cos C= 2ab =-5,sin C= 1-cos C=5或sin B c csin B 4 =sin C.sin C= b =5.

答案:B

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3.(2012· 南通模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 1 a,b,c,已知cos 2C=-4. (1)求sin C的值; (2)当a=2,2sin A=sin C时,求b及c的长.

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1 解:因为cos 2C=1-2sin2C=-4,及0<C<π, 10 所以sin C= 4 . (2)当a=2,2sin A=sin C时, a c 由正弦定理sin A=sin C,得c=4. 1 由cos 2C=2cos2C-1=-4,

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6 及0<C<π得cos C=± 4 . 由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得b2± 6b-12=0, 解得b= 6或2 6,
?b= 6, ? 所以? ?c=4. ? ?b=2 ? 或? ?c=4. ?

6,

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[冲关锦囊]

1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有
时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个 定理更方便、简捷. 2.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的; 已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通 常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

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[精析考题] [例2] (2010· 辽宁高考)在△ABC中a,b,c分别为内角A,

B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求A的大小; (2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.

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[自主解答]

(1)由已知,根据正弦定理得

2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 故 cos A=-2, 又 A∈(0,π),故 A=120° .

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(2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 1 又 sin B+sin C=1,得 sin B=sin C=2. 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.

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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
4.(2012· 蚌埠模拟)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a, cos A a b,c,若cos B=b,则△ABC一定是 A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形 ( )

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cos A a sin A 解析:法一:由正弦定理得cos B=b=sin B, ∴sin Acos B=cos Asin B, 即sin(A-B)=0,可得A-B=0,∴A=B. 法二:由余弦定理将角化为边,可得a=b.

答案:A

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5.(2012· 苏北四市联考)在△ABC中,角A、B、C所对 的边分别为a、b、c,且b2+c2=a2+bc. (1)求角A的大小; (2)若sin B· C=sin2A,试判断△ABC的形状. sin

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b2+c2-a2 bc 1 解:(1)由已知得cos A= 2bc =2bc=2, π 又∠A是△ABC的内角,∴A=3. (2)由正弦定理,得bc=a2, 又b2+c2=a2+bc,∴b2+c2=2bc. ∴(b-c)2=0,即b=c.∴△ABC是等边三角形.

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[冲关锦囊] 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主 要有如下两种方法

1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因
式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的 形状; 2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间 的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从

而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π
这个结论. 返回

注意:在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约 去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

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[精析考题] [例3] (2011· 山东高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别

cos A-2cos C 2c-a 为a,b,c.已知 = b . cos B sin C (1)求sin A的值; 1 (2)若cos B=4,b=2,求△ABC的面积S.

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[自主解答]

a b c (1)由正弦定理得,设sin A=sin B=sin C=k,

2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 b = = , ksin B sin B cos A-2cos C 2sin C-sin A = . cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得sin(A+B)=2sin(B+C). sin C 又A+B+C=π,所以sin C=2sin A.因此sin A=2.

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sin C (2)由sin A=2得c=2a. 1 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B及cos B=4,b=2, 1 得4=a2+4a2-4a2×4. 解得a=1,从而c=2. 1 15 又因为cos B=4,且0<B<π,所以sin B= 4 , 1 1 15 15 因此S=2acsin B=2×1×2× 4 = 4 .

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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!)
6.(2011· 朝阳二模)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、c,若角 A、B、C 依次成等差数列,且 a=1,b= 3,则 S△ABC 等于 A. 2 3 C. 2 B. 3 D.2 ( )

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解析:因为A、B、C成等差数列,所以2B=A+C=π-B,∴B= π 3 1 1 π π 1 = 3 ,由正弦定理得sin 60° sin A,sin A=2,A= 6 ,C= 2 ,S△ABC=2 3 ×1× 3= 2 .

答案:C

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7.(2011· 北京西城区一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a, 4 b,c,且 cos B= ,b=2. 5 (1)当 A=30° 时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值.

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4 3 解:(1)因为cos B=5,所以sin B=5. a b a 10 5 由正弦定理sin A=sin B,可得sin 30° 3 ,所以a=3. =

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1 3 (2)因为△ABC的面积S=2ac· B,sin B=5, sin 3 所以10ac=3,ac=10. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, 8 得4=a +c -5ac=a2+c2-16,即a2+c2=20.
2 2

所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40. 所以a+c=2 10.

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[冲关锦囊]
1.利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化; 2.除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有 ①S= p?p-a??p-b??p-c?=p· r(p是周长的一半,即p= a+b+c 2 ,r为内切圆半径); abc ②S= 4R (R为外接圆半径).

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易错矫正(九)因忽视隐含条件致误

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[考题范例] (12 分) (2011· 浙江高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 1 2 为 a,b,c.已知 sin A+sin C=psin B(p∈R),且 ac= b . 4 5 (1)当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值; 4 (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围.

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[失误展板] 错解:(1)由题设并由正弦定理,得 5 ? a+c=4, ? ? ?ac=1, 4 ? 1 ?a=1, ? ? ?a= , 4 解得? 1 或? ?c=4 ?c=1. ? ?

(2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac-2accos B 1 1 =p2b2-2b2-2b2cos B,

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3 1 即 p2=2+2cos B. 因为 0<cos B<1,所以 p
2

?3 ? ? ,2?, ∈2 ? ?

6 6 所以 2 <p< 2或- 2<p<- 2 . 错因:本题解答只有一处错误,由于 sin A+sin C=psin B 中 sin A、 sin B、sin C 都大于零,则 p>0,解题时忽略这一点.

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[正确解答] (1)由题设并利用正弦定理,得 5 ? a+c=4, ? ? ?ac=1, 4 ? 1 ?a=1, ? ? ?a= , 4 解得? 1 或? ?c=4, ?c=1. ? ?

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(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B 1 2 1 2 =p b -2b -2b cos B,
2 2

3 1 即p2=2+2cos B, 因为0<cos B<1,得p
2

?3 ? ∈?2,2?. ? ?

6 由题设知p>0,所以 2 <p< 2.

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