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第10章-第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理


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1.纵观近两年各地高考题,涉及本章 1.对于复杂的计数问题要掌握“先分 知识的有一个解答题和 1~2 个小题, 类,再分步” ,淡化技巧,侧重分析问 约占 17~22 分, 选择题、 填空题主要 题和解决问题的思想积累. 考查概率、计数原理、二项式定理、 2.掌握对于复杂事件的概率问题的两 正态分布等知识;解答题主要考查离 个处理角度, 即正面分类或研究对立事 散型随机变量的分布列、均值与方 件, 对于几何概型一定要注意测度的选 差,相互独立事件的概率,尤其注重 择, 即保证基本事件无限多个且等可能 与统计知识的交汇. 性. 2.本章与实际问题联系密切,是高 3.互斥事件、相互独立事件的概率,n 中数学中相对独立的一部分,概念性 次独立重复试验是常考的一个热点, 应 强,思维方法独特,因此,本章内容 切实理解掌握. 既是高中数学的重点,又是高考考查 4.离散型随机变量的分布列,均值问 的热点. 题是高考应用题的一个热点, 常在解答 3.在命题思路上,以考查基础知识、 题中出现,需要充分重视.这类问题在 基本技能为主,同时注重创新,把几 处理时,弄清楚事件的含义是关键,并 个知识点揉和到一个题目中,考查学 加强与统计知识渗透交汇训练. 生的综合能力.
菜 单

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第一节 原理
考纲传真

分类加法计数原理与分步乘法计数
理解分类加法计数原理和分步乘法计数原

理, 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决 一些简单的实际问题.

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1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案, 在第 1 类方案中有 m 种不 同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法,那么完成这 件事共有 N=m+n 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤, 做第 1 步有 m 种不同的方法, 做第 2 步有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法.
菜 单

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1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以 相同( )

(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接 完成这件事( )

(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的 方法是各不相同的( )

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(4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中 任何一个单独的步骤都能完成这件事( 【解析】 (2)(3)正确.
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×

)

根据两个计数原理的含义, (1)(4)不正确,

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2.(人教 A 版教材习题改编)某班新年联欢会原定的 6 个 节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目,如果将这 3 个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为( A.504 C.336
【解析】

)

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B.210 D.120
分三步,先插一个新节目,有 7 种方法,再

插第二个新节目,有 8 种方法,最后插第三个节目,有 9 种 方法. 故共有 7×8×9=504 种不同的插法.
【答案】
菜 单

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A

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3.(2014· 潍坊质检)三个人踢毽,互相传递,每人每次只 能踢一下,由甲开始踢,经过 5 次传递后,毽又被踢回给甲, 则不同的传递方式共有( A.6 种 C.10 种
【解析】

)

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B. 8 种 D.16 种
如下图,甲第一次传给乙时有 5 种方法,同

理,甲传给丙也可以推出 5 种情况,综上有 10 种传法.

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【答案】
菜 单

C

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4. 在某种信息传输过程中, 用 4 个数字的一个排列(数字 允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数 字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字 相同的信息个数为( A.10 C.12 ) B.11 D.15

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【解析】 若 4 个位置的数字都不同的信息个数为 1; 若 恰有 3 个位置的数字不同的信息个数为 C3 4;若恰有 2 个位置 上的数字不同的信息个数为 C2 4.
2 由分类计数原理知满足条件的信息个数为 1+C3 + C 4 4=

11.
【答案】 B

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5.(2013· 山东高考)用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有 重复数字的三位数的个数为( A.243 C.261 B.252 D.279 )

【解析】

0,1,2,?,9 共能组成 9×10×10=900(个)

三位数,其中无重复数字的三位数有 9×9×8=648(个), ∴有重复数字的三位数有 900-648=252(个).
【答案】 B

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考向 1

分类加法计数原理

【例 1】 (2013· 福建高考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关 于 x 的方程 ax +2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个数 为( ) A.14 C.12 B.13 D.10
2

【尝试解答】

根据 a,b 的限制范围分类讨论,利用

分类加法计数原理计算.
菜 单

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【尝试解答】

a,b∈{-1,0,1,2}.

b (1)当 a=0 时,有 x=- ,b=-1,0,1,2 有 4 种可能. 2 (2)当 a≠0 时,则 Δ=4-4ab≥0,ab≤1, ①若 a=-1 时,b=-1,0,1,2 有 4 种不同的选法. ②若 a=1 时,b=-1,0,1,有 3 种可能; ③若 a=2 时,b=-1,0,有 2 种可能. ∴有序数对(a,b)共有 4+4+3+2=13(个).
【答案】 B

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规律方法 1

1.本题常见的错误: (1)想当然认为二次方程

(a≠0),错选 D;(2)误认为 a≠b. 2.分类标准是运用分类计数原理的难点所在,应抓住题 目中的关键词、关键元素、关键位置.根据题目特点恰当选 择一个分类标准,分类时应注意完成这件事情的任何一种方 法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不 同的方法.

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变式训练 1 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友一本,则不同 的赠送方法共有( A.4 种 C.18 种 ) B.10 种 D.20 种

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【解析】 赠送一本画册,3 本集邮册.需从 4 人中选取 一人赠送画册,其余送邮册,有 C1 4种方法. 赠送 2 本画册,2 本集邮册,只需从 4 人中选出 2 人送画
2 册,其余 2 人送邮册,有 C4 种方法. 2 由分类加法计数原理,不同的赠送方法有 C 1 + C 4 4=

10(种).
【答案】 B
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考向 2 分步乘法计数原理 【例 2】 (2014· 青岛质检)将字母 a,a,b,b,c,c 排

成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不 相同,则不同的排列方法共有( A.12 种 C.24 种 B.18 种 D.36 种 )

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【尝试解答】

先排第一列三个位置,再排第二列第一

行上的元素,则其余位置上元素就可以确定.
【尝试解答】 先排第一列,由于每列的字母互不相同, 因此共有 A3 3种不同排法. 再排第二列,其中第二列第一行的字母共有 2 种不同的 排法,第二列第二、三行的字母只有 1 种排法. 因此共有 A3 2· 1=12(种)不同的排列方法. 3·

【答案】

A

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规律方法 2

1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事

件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步 必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个 步骤都完成了,才算完成这件事. 2.分步必须满足两个条件: (1)步骤互相独立,互不干 扰.(2)步与步确保连续,逐步完成.

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变式训练 2 将一个四面体 ABCD 的六条棱上涂上红、 黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同颜色,则不同 的涂色方案有( A.1 种 ) B.3 种 C.6 种 D.9 种

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【解析】 因为只有三种颜色,又要涂六条棱,所以应 该将四面体的对棱涂成相同的颜色. 故有 3×2×1=6 种涂色方案.
【答案】 C

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考向 3

两个计数原理的综合应用 (2014· 南京调研)如图 10-1-1,用 4 种不同

【例 3】

的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用),要求每个区 域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂 色种数为________.

图 10-1-1

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【尝试解答】 区域 1,2,3 与 4 相邻,采用分步;相邻区 域不同色,按区域 1 与 3 是否同色分类处理.

【尝试解答】

按区域 1 与 3 是否同色分类:

(1)区域 1 与 3 同色:先涂区域 1 与 3 有 4 种方法,再涂
3 区域 2,4,5(还有 3 种颜色)有 A3 种方法. 3 ∴区域 1 与 3 涂同色,共有 4A3 =24 种方法.

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(2)区域 1 与 3 不同色:先涂区域 1 与 3 有 A2 4种方法,第 二步涂区域 2 有 2 种涂色方法,第三步涂区域 4 只有一种方 法,第四步涂区域 5 有 3 种方法. ∴这时共有 A2 4×2×1×3=72 种方法, 故由分类计数原理,不同的涂色种数为 24+72=96.

【答案】

96

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规律方法 3 1.解决涂色问题,要切实选好分类的标准, 分清哪些可以同色,哪些不同色. 2 .解决综合问题,关键是明确需要 “ 分类 ” 还是 “ 分 步”.分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整”. 3 .解决即有 “ 分类 ” 又有 “ 分步 ” 的综合问题时,应 “先分类,后分步”.

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变式训练 3

如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<

a2, 且 a2>a3, 则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等), 那么所有凸数的个数为( A.240 B.204 ) C.729 D.920

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【解析】 个.

若 a2=2,则“凸数”为 120 与 121,共 2

若 a2=3,则“凸数”有 2×3=6 个,若 a2=4,满足条 件的“凸数”有 3×4=12 个, ?, 若 a2=9, 满足条件的“凸 数”有 8×9=72 个. ∴ 所 有 凸 数 有 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 = 240(个).

【答案】

A

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两点注意 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合 问题的基础并贯穿始终. (1)分类加法计数原理中,完成一件 事的方法属于其中一类并且只属于其中一类. (2)分步乘法计 数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法, 构成完成这件事的一种方法,简单的说步与步之间的方法 “相互独立,多步完成”.

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三点提醒 1.分类时,标准要明确,应做到不重不漏,可借助几何直 观,探索规律. 2.分步时,要合理设计顺序、步骤,并注意元素是否可 以重复选取. 3.两个原理的综合运用,一般先分类再分步.

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从近两年高考试题看,两个计数原理是高考考查的热点, 一般与排列、 组合等知识结合, 考查分类讨论的数学思想. 主 要涉及数字问题、几何问题、涂色问题,有时也出现与其他 知识相结合的新定义题型.

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创新探究之十二

与计数原理有关的新定义问题

(2012· 湖北高考 )回文数是指从左到右读与从右到 左读都一样的正整数.如 22,121,3 443,94 249 等.显然 2 位回 文 数 有 9 个 : 11,22,33 , ? , 99.3 位 回 文 数 有 90 个 : 101,111,121,?,191,202,?,999.则 (1)4 位回文数有________个; (2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个.

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【解析】 (1)4 位回文数相当于填 4 个方格,首尾相同, 且不为 0,共 9 种填法;中间两位一样,有 10 种填法. 共计 9×10=90(种)填法,即 4 位回文数有 90 个. (2)根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格.由 分步计数原理,共有 9×10n 种填法.
【答案】 (1)90 (2)9×10n

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创新点拨:(1)以“回文数”的新定义为背景,考查计数 原理. (2)一题两问,充分体现转化与化归的思想,从特殊到一 般的归纳推理方法的应用.

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防范措施:(1)通过阅读、分析,弄清新定义,将确定回 文数的问题转化为“填方格”问题, 进而利用分步乘法计数 原理解决,将新信息转化为所学的数学知识来解决. (2)从特殊情形入手,通过分析、归纳,发现问题中隐含 的一些本质特征和规律,然后再推广到一般情形,必要时可 以多列举一些特殊情形,使规律方法更加明确.

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1.(2012· 课标全国卷)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小 组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( A.12 种 C.9 种 B.10 种 D.8 种 )

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【解析】 分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另
1 一名到乙地,共有 C2 =2(种)选派方法;

第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有
2 C4 =6(种)选派方法.

由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有 2×6 = 12(种).
【答案】 A

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2.(2014· 广州六校联考)从 8 名女生 4 名男生中,选出 3 名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的 抽取方法数为________种. 【解析】 从男生中抽 1 人有 4 种方法,从女生中抽两 人有 C2 8=28 种方法, ∴由分步计数原理,共有 28×4=112 种方法.
【答案】 112

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