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高中物理竞赛试题解题方法:对称法(2)


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高中物理竞赛试题解题方法:对称法
例 8: 一无限长均匀带电细线弯成如图 7—8 所示的平面图形,其中 AB 是半径为 R 的半 圆孤,AA′平行于 BB′,试求圆心 O 处的电场强度.

解析:如图 7—8—甲所示,左上

1 圆弧内的线元△L1 与右下直线上的线元△L3 具有角 4<

br />
元△ ? 对称关系。△L1 电荷与△L3 电荷在 O 点的场强△E1 与△E3 方向相反,若它们的大小也 相等,则左上与右下线元电场强度成对抵消,可得圆心处场强为零。

设电荷线密度为常量 ? ,因△ ? 很小,△L1 电荷与△L3 电荷可看做点电荷,其带电量

q1 ? R???

q2 ? ?L3?
R??? cos ? ? cos ?

当 ??很小时 , 有q 2 ? 又因为 ?E1 ? K

q1 q2 R??? cos2 ? R??? , ? E ? K ? K ? ?K , 2 2 2 2 2 R r cos ? R R2

与△E1 的大小相同,且△E1 与△E2 方向相反,所以圆心 O 处的电场强度为零. 例 9:如图 7—9 所示,半径为 R 的半圆形绝缘线上、下 q,求圆心处的场强。

1 圆弧上分别均匀带电+q 和- 4

解析:因圆弧均匀带电,在圆弧上任取一个微小线元,由于带电线元很小,可以看成点 电荷。用点电荷场强公式表示它在圆心处的分场强,再应用叠加原理计算出合场强。由对称 性分别求出合场强的方向再求出其值。

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在带正电的圆孤上取一微小线元,由于圆弧均匀带电,因而线密度 ? ?

2q 。 ?R

在带负电的圆弧上必定存在着一个与之对称的线元,两者产生的场强如图 7—9—甲所 示。显然,两者大小相等,其方向分别与 x 轴的正、负方向成 ? 角,且在 x 轴方向上分量相 等.由于很小,可以认为是点电荷,两线元在 O 点的场强为 ?E ? 2 ? 方向沿 y 轴的负方向,所以 O 点的合场强应对△E 求和。
KR ? ??? 2 K??h sin ? ? , 2 R R2

即E ?

? ?E ? ?

2 K??h 2 K? 2 K? 4 Kq ? 2 ? ?h ? 2 R ? 。 2 R R R ?R 2

例 10:电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面的半径为 R,CD 为通过半球顶点 C 与球 心 O 的轴线,如图 7—10 所示,P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧,离 O 点距离相等的两点, 已知 P 点的电势为 UP,试求 Q 点的电势 UQ。

解析:可以设想一个均匀带电、带电量也是 q 的右半球,与题中所给的左半球组成一个 完整的均匀带电球面,根据对称性来解.

? 等于左半球在 Q 点的电势 UQ. 由对称性可知,右半球在 P 点的电势 U P

? ? U Q 所以有U P ? U Q ? U P ? U P ? , 而U P ? U P ? 正是两个半球在 P 点的电势, 即UP 因
? ?K 为球面均匀带电,所以 U P ? U P 2q 2 Kq . 由此解得 Q 点的电势 U Q ? ?UP. R R

例 11:如图 7—11 所示, 三根等长的细绝缘棒连接成等边三角形,A 点为三角形的内 心, B 点与三角形共面且与 A 相对 ac 棒对称,三棒带有均匀分布的电荷,此时测得 A、B 两点的电势各为 UA、UB,现将 ac 棒取走,而 ab、bc 棒的电荷分布不变,求这时 A、B 两点

? 的电势 U ? A 、U B 。

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解析:ab、bc、ac 三根棒中的电荷对称分布,各自对 A 点电势的贡献相同,ac 棒对 B 点电势的贡献和对 A 点电势的贡献相同,而 ab、bc 棒对 B 点电势的贡献也相同。 设 ab、bc、ac 棒各自在 A 点的电势为 U1,ab、bc 棒在 B 点的电势为 U2. 由对称性知, ac 棒在 B 点的电势为 U1. 由电势叠加原理得: 3U1=UA U1+2U2=UB 由①、②两式得 U1=UA/3 ① ②

U ? U1 U2 ? B ? 2

UB ?

UA 3 ? 3U B ? U A 2 6

将 ac 棒取走后,A、B 两点的电势分别为

2 U? UA A ? U A ? U1 ? 3 U U ? ? UB ?U2 ? B ? A UB 2 6
例 12:如图 7—12 所示为一块很大的接地导体板,在与导体板相距为 d 的 A 处放有带 电量为-q 的点电荷。

(1)试求板上感应电荷在导体内 P 点产生的电场强度; (2)试求感应电荷在导体外 P′点产生的电场强度(P 与 P′点对导体板右表面是对称 的) ; (3)在本题情形,试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直; (4)试求导体上的感应电荷对点电荷-q 的作用力;

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(5)若在切断导体板与地的连线后,再将+Q 电荷置于导体板上,试说明这部分电荷在 导体板上如何分布可达到静电平衡(略去边缘效应). 解析:在讨论一个点电荷受到面电荷(如导体表面的感应电荷)的作用时,根据“镜像 法”可以设想一个“像电荷” ,并使它的电场可以代替面电荷的电场,从而把问题大大简化. (1)导体板静电平衡后有 E 感=E 点,且方向相反,因此板上感应电荷在导体内 P 点产生 的场强为 E P ?

kq ,r 为 AP 间距离,方向沿 AP,如图 7—12 甲所示。 r2

(2)因为导体接地,感应电荷分布在右表面,感应电荷在 P 点和 P′点的电场具有对 称性,因此有 E P ? ?

kq ,方向如图 7—12—甲所示。 r2

? ? (3)考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点 P1 和 P 1 .如前述分析,在导体外 P 1 点感
应电荷产生的场强大小为 Eip1? ?

kq kq ? .点电荷在 P ? ? 2 . 方向如 1 点产生的场强大小也是 Eq p1 r12 r1

? 图 7—12—乙。从图看出, P 1 点的场强为上述两个场强的矢量和,即与导体表面垂直。

(4) 重复 (2) 的分析可知, 感应电荷在-q 所在处 A 点的场强为 EiA ?

kq kq ? , 2 ( 2d ) 4d 2
kq 2 ,负号 4d 2

方向垂直于导体板指向右方,该场作用于点电荷-q 的电场力为 F ? ?qEiA ? ? 表示力的方向垂直于导体板指向左方.

(5)切断接地线后,导体板上原来的感应电荷仍保持原来的分布,导体内场强为零 . 在此情况下再将+Q 电荷加在导体板上,只要新增加的电荷在导体内部各处的场强为零,即

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可保持静电平衡,我们知道电荷均匀分布在导体板的两侧表面时,上述条件即可满足.显然 这时+Q 将均匀分布在导体板的两侧面上,才能保证板内场强为零,实现静电平衡. 例 13:如图 7—13 所示,在水平方向的匀强电场中,用长为 l 的绝缘细线,拴住质量为 m、带电量为 q 的小球,线的上端 O 固定,开始时将线和球拉成水平,松开后,小球由静止 开始向下摆动,当摆过 60°角时,速度又变为零。求:

(1)A、B 两点的电势差 UAB 多大? (2)电场强度多大? 解析: (1)小球在 A、B 间摆动,根据能量守恒定律有 ? PA ? ? PB 取 A 点为零势能的参考点,即 ? PB ? 0 则 EPB ? ?mglsin 60? ? qUBA ? 0 所以 U BA ?

3mgl 2q

U AB ? ?

3mgl 2q

( 2 ) 小 球 在 平 衡 位 置 的 受 力 如 图 7 — 13 — 甲 。 根 据 共 点 力 的 平 衡 条 件 : 有 :

qE ? mg tan60?

解得电场强度: E ?

3m g q

例 14:如图 7—14 所示,ab 是半径为 R 的圆的一条直径,该圆处于匀强电场中,场强 为 E,在圆周平面内,将一带正电 q 的小球从 a 点以相同的动能抛出,抛出方向不同时,小 球会经过圆周上不同的点, 在这些所有的点中, 到达 c 点时小球的动能最大.已知∠cab=30°,

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若不计重力和空气阻力,试求:

(1)电场方向与直径 ab 间的夹角 ? ? (2)若小球在 a 点时初速度方向与电场方向垂直,小球恰好能落在 c 点,则初动能为 多少?

解析: 由于对 a 点以相同的初动能沿不同方向抛出的小球到达圆周上的各点时其中到达 c 点的小球动能最大,因此过 c 点的切线一定是等势线,由此可以确定电场线的方向,至于 从 a 点垂直于电场线抛出的小球可按类平抛运动处理. (1)用对称性判断电场的方向:由题设条件,在圆周平面内, 从 a 点以相同的动能向 不同方向抛出带正电的小球, 小球会经过圆周上不同的点,且以经过 c 点时小球的动能最 大,可知,电场线平行于圆平面.又根据动能定理,电场力对到达 c 点的小球做功最多,为 qUac。因此,Uac 最大。即 c 点的电势比圆周上任何一点的电势都低. 又因为圆周平面处于匀 强电场中,故连接 Oc,圆周上各点的电势对于 Oc 对称(或作过 c 点且与圆周相切的线 cf 是等势线) ,Oc 方向即为电场方向(如图 7—14—甲所示) ,它与直径 ab 的夹角为 60°。

(2) 小球在匀强电场中做类平抛运动. 小球沿垂直于电场方向抛出, 设其初速度为 v0 , 小球质量为 m. 在垂直于电场线方向,有: x ? v0 t 在沿电场线方向,有: y ? 由图中几何关系可得 ① ②

1 2 at 2

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x ? R cos30?
③ ④ ⑤
2

y ? R(1 ? cos60? )


a?

qE m

将③、④、⑤式代入①、②两式解得: v 0 ? 所以初动能 E k 0 ?

RqE 4m

1 RqE 2 mv 0 ? . 2 8

例 15:如图 7—15 所示,两块竖直放置的平行金属板 A、B 之间距离为 d,两板间电压 为 U,在两板间放一半径为 R 的金属球壳,球心到两板的距离相等,C 点为球壳上的一点, 位置在垂直于两板的球直径的靠 A 板的一端,试求 A 板与点 C 间的电压大小为多少?

解析:将金属球壳放在电场中达到静电平衡后,球壳为等势体,两极板之间的电场由原 来的匀强电场变为如图 7—15—甲所示的电场, 这时 C 与 A 板间电势差就不能用公式 UAC=EdAC 来计算。我们利用电场的对称性求解。

由于电场线和金属球关于球心 O 对称,所以 A 板与金属板的电势差 UAO 和金属球与 B 板的电势差 UOB 相等,即 UAO=UOB。又 A、B 两板电势差保持不变为 U,即 UAO+UOB=U,由以 上两式解得: UAO=UOB=

U 2 U 2

所以得 A、C 两点间电势差 UAC=UAO=

例 16:如图 7—16 所示,一静止的带电粒子 q,质量为 m(不计重力) ,从 P 点经电场

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E 加速,经 A 点进入中间磁场 B,方向垂直纸面向里,再穿过中间磁场进入右边足够大的空 间磁场 B′(B′=B) ,方向垂直于纸面向外,然后能够按某一路径再由 A 返回电场并回到出 发点 P,然后再重复前述过程. 已知 l 为 P 到 A 的距离,求中间磁场的宽度 d 和粒子运动的 周期。 (虚线表示磁场的分界线)

解析:由粒子能“重复前述过程” ,可知粒子运动具有周期性;又由粒子经过 A 点进入 磁场后能够按某一路径再返回 A 点,可知的运动具有对称性。 粒子从 A 点进入中间磁场做匀速圆周运动,半径为 R,过 C 点进入右边磁场,于做半径 为 R 的匀速圆周运动经点 F 到点 D,由于过 D 点后还做匀速圆周回到 A(如图 7—16—甲所 示) ,故 DA 和 CA 关于直线 OA 对称,且 OA 垂直于磁场的分界线. 同理可知,OA 也同时是 CD 圆弧的对称轴. 因此粒子的运动轨迹是关于直线 OA 对称的. 由于速度方向为切线方向, 所以圆弧 AC、CD、DA 互相相切。

( 1 )设中间磁场宽度为 d ,粒子过 A 点的速度为 v ,由圆周运动的对称性可得

R ?s i n ? ? R ? Rs i n ?
则 ? ?

?
6 1 mv 2 2


带电粒子在加速电场中有 qEl ? 在中间和右边磁场中有 R ?

mv qB

② ③

d=Rcos ?

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d? 6qElm 2qB

解①、②、③得

(2)粒子运动周期 T 由三段时间组成,在电场中做匀变速直线运动的时间为 t1,

t1 ? 2

2lm qE
3

? ( 在中间磁场中运动的时间为 t2,因为 AC 所对圆心角为 ,所以
2?m 2?m t2 ? 2 ? 3 T ? ? 2 ? 3 ? 2? 2? qB 3qB
在右边磁场中运动的时间为 t3 因为 CD 所对圆心角为 ?

?

?

5 3

所以

5 5 ? ? 2?m 5?m t3 ? 3 T ? ? 3 ? 2? 2? qB 3qB

所以周期为 T ? t1 ? t 2 ? t 3 ? 2

2lm 7?m ? qE 3qB


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