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2.2.1对数与对数运算(对数及对数的性质)


2.2.1 对数与对数的运算
(第一课时 第一课时) 第一课时

知识引入
1、如果我国GDP平均每年增长8%,则经过多少年我国 如果我国GDP平均每年增长8%, GDP平均每年增长8% GDP是现在的两倍 是现在的两倍? 的GDP是现在的两倍? 年国民生产总值是现在的两倍,令 解:设经过x年国民生产总值是现在的两倍 令 设经过 年国民生产总值是现在的两倍 现在的国民生产总值为a. 现在的国民生产总值为 依题意得: 依题意得:

a(1+8% = 2a )
x
x

即: (1+8% = 2 ) 如何计算式子中的 x

知识引入 2、求下列各式中x的值 、求下列各式中 的值

(1) 2 = 32.
x

x =5

x 1 x= ( 2)( ) 16. (3) 2 = 7. 4

x=? 2

x=

讲授新课
1.对数的定义: 对数的定义: 对数的定义 一般地,如果 一般地,如果ax=N ( a > 0 , 且a ≠ 1 ) 叫做以 的对数, 那么数x叫做以a为底N的对数, : x=logaN 记作 其中a叫做对数的底数, N叫做真数. 其中 叫做对数的底数 叫做真数 叫做对数的底数 叫做真数
注意:限制条件是 注意:限制条件是a > 0 , 且a ≠ 1

讲授新课
练习1:将下列指数式写成对数式: 练习 :将下列指数式写成对数式:


5 = 25
2

为底25的对数是 以5为底 的对数是 , 为底 的对数是2, 记作

log 5 25 = 2
= ?6



2

?6

1 = 64

1 以2为底 的对数是-6, 为底 的对数是 , 64 1

记作

log 2



2 =7
x

64

为底7的对数是 以2为底 的对数是 , 为底 的对数是x, 记作

log 2 7 = x

讲授新课
思考:对数与指数有什么区别与联系 思考:对数与指数有什么区别与联系? x (a > 0, 且a a

a = N ? log N = x
名称

≠ 1)
N

式子

a
底数 底数

x
指数

指数式 a = N
x


真数

对数式loga N = x

对数

讲授新课 2. 指数和对数的相互转化

指数 幂 真数

对数

a = N ?loga N = b
b
底数

讲授新课 3.两个重要的对数: 两个重要的对数: 两个重要的对数 (1)常用对数:以10为底的对数 log10N 。 常用对数: 常用对数 为底的对数 简记作 lgN 。如 (2)自然对数: 自然对数: 自然对数 以无理数e 以无理数 = 2.71828…为底的对数 logeN 。 为底的对数 简记作 lnN 。如 log e 9 简记为 ln 9.

log10 3.5 简记为 lg 3.5.

例题分析 指数式写成对数式: 例1.将下列指数式写成对数式: .将下列指数式写成对数式

(1) 5 = 625
4

(2) e

?6

=

1

b

(3) 10 = 27
a

解:(1) log 5 625 = 4 1 1 (2) log e = ln = ?6 b b (3) log10 27 = lg 27 = a
3

1 )m = 5.73 (4) ( 3

练习: 练习 课本P64 1) (4) log 1 5.73 = m (练习:课本

例题分析 例2.将下列对数式写成指数式: .将下列对数式写成指数式:

(1)log1 16 =?4 2 (3)lg0.01=?2

(2)log2 128 = 7

? 1? 解: (1 ? ? =16 ) ? 2?

?4

(4)ln10 = 2.303

(2) 2 =128
7

(3) 10 = 0.01
(4) e
2.303

?2

=10

(练习:课本P64 2) 练习:课本 练习

例题分析

3、运用指数运算求值 、 求下列各式中的x的值 例3 求下列各式中的 的值

2 (1) log64 x = ? (2) logx 8 = 6 3 2 (3) lg100 = x (4) ? lne = x

讲授新课 4.对数的性质 对数的性质 探究活动 1、试求下列各式的值: 、试求下列各式的值:

log 3 0, log a 0; lg(?5), log a (?1);

结论: 结论:零和负数没有对数

讲授新课 4.对数的性质 对数的性质 探究活动

log a 1 = 0.

2、求下列各式的值: 、求下列各式的值:

log 3 1; lg1; log 0.5 1; ln1.
思考:你发现了什么? 思考:你发现了什么?

讲授新课 4.对数的性质 对数的性质 探究活动

log a a = 1.

3、求下列各式的值: 、求下列各式的值:

log 3 3; lg10; log 0.5 0.5; ln e.
思考:你发现了什么? 思考:你发现了什么?

讲授新课 4.对数的性质 对数的性质 探究活动

a

log a N

= N.
log 0.4 89

3、求下列各式的值: 、求下列各式的值:

2

log 2 3

; 7

log 7 0.6

; 0.4

.

思考:你发现了什么? 思考:你发现了什么?

讲授新课 4.对数的性质 对数的性质 探究活动

log a a = b.
b
5

4、求下列各式的值: 、求下列各式的值:

log 3 3 ; log 0.9 0.9 ; ln e .
思考:你发现了什么? 思考:你发现了什么?
课堂练习: 课堂练习:P64,练习 、4 ,练习3、

4

8

讲授新课 4.对数的性质 (a > 0, 且a ≠ 1) 对数的性质

结论: 结论: (1)负数和零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ) . log 1 = 0 即:1的对数是 的对数是0 的对数是 (2) a ) log (3) a a = 1 即:底数的对数是 ) 底数的对数是1 (4)对数恒等式: log a N = N )对数恒等式: a

log (5)对数恒等式: a a = n )对数恒等式:
n

巩固练习
1、指数式b 2 = a (b > 0, 且b ≠ 1)相应的对数式是(D ) log A log 2 a = b     B    2 b = a   C log a b=2 D log b a = 2

2、 对数式 log 、

1 { } 的取值范围是______ x | < x <1 中x的取值范围是 的取值范围是 2

(2x? 1)

1? x

2

巩固练习 3.求下列各式的值 3.求下列各式的值
(1) ) (2) )

log 5 5
log
1 16

=1

1 16

=1

(3) ) (4) )

lg 1000 = 3

ln1 = 0

归纳小结

思考: 思考:各位同学在这节课上有什么收 获?
1、对数的定义
一般地, =N(a>0,a≠1) 那么数x叫做以 ≠1), 一般地, ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底 的对数, 记作log N=x。 式中的a叫做对数的底 N的对数, 记作logaN=x。(式中的a叫做对数的底 叫做真数 真数.) 数,N叫做真数.)

= x ? a x = N (a > 0, 且a ≠ 1) log a N

2、指数式和对数式的互换; 、指数式和对数式的互换;

归纳小结

3、运用指数运算求值 、 4、对数的性质 (a > 0, 且a ≠ 1) 、
(1)负数和零没有对数 ) (2)log a 1 = 0 ) (3)loga a = 1 )

的对数是0 即:1的对数是 的对数是 即:底数的对数是1 底数的对数是

布置作业

作业: 习题A组 、 作业:P74 习题 组 1、2


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