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必修2课件2.3.3直线与平面垂直的性质


2.3.3

直线与平面垂直的性质

问题提出

1.直线与平面垂直的定义是什么? 如何判定直线与平面垂直? 2.直线与平面垂直的判定定理, 解决了直线与平面垂直的条件问题; 反之,在直线与平面垂直的条件下, 能得到哪些结论?

知识探究(一)直线与平面垂直的性质定理

思考

1:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1 中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线 与底面ABCD的位置关系如何?它们 彼此之间具有什么位置关系?
C1 B1 C B A A1 D D1

思考2:如果直线a,b都垂直于同一 条直线l,那么直线a,b的位置关系 如何?
l
a b a b

l

b

l
a

思考3:一个平面的垂线有多少条? 这些直线彼此之间具有什么位置关 系?
a b

c

α

O

思考4:如果直线a,b都垂直于平面 α ,由观察可知a//b,从理论上如 何证明这个结论?

思考5:根据上述分析,得到一个什 么结论?
定理 垂直于同一个平面的两条直 线平行

思考6:上述定理通常叫做直线与平 面垂直的性质定理.用符号语言可表 述为: ? ? , b ? ? ? a // b.该定理 a 有什么功能作用?

知识探究(二)直线与平面垂直的性质探究

思考1:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//a,则b与α 的位置关 系如何?为什么?
a
b

α

思考2:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//α ,则a与b的位置关 系如何?为什么?
b

a
l

α

思考3:设l为直线,α ,β 为平面, 若l⊥α ,α //β ,则l与β 的位置关 系如何?为什么?
l
b α β a

思考4:设l为直线,α 、β 为平面, 若l⊥α ,l⊥β ,则平面α 、β 的位 置关系如何?为什么?

l α

β

理论迁移

例1 如图,已知 ? ? ? ? l , CA ? ? , 于点A,CB ? ? 于点B, ? ? , a ? AB, a 求证:a // l .
β B α l A a

C

a ? b, b ? ? , a ? ? .

例2 如图,已知 a ? b, b ? ? , a ? ? . 求证: // ? . a
β

b
l

A

a

α

B

例3 如图,已知 PA ? 矩形ABCD所 在平面,M、N分别是AB、PC的中点 求证: (1) MN ? CD; ? (2)若 ?PDA ? 45,求证:MN ? 面PCD
P E N A M B D

PA ?

C


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