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等差数列学习资料基础篇及提高篇(含答案)


等差数列学习资料基础篇
1、等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120 ,那么 a1 ? a10 ? ( A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 ) )

2、已知等差数列 ?an ? , an ? 2n ? 19 ,那么这个数列的前 n 项和 s n ( A.有最小值且是整数 C. 有最大值且是整数 3、已知等差数列 ?an ? 的公差

d ? A.80 B.120 B. 有最小值且是分数 D. 有最大值且是分数

1 , a2 ? a4 ? ? ? a100 ? 80 ,那么 S100 ? 2
D.160.

C.135

4、已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? a5 ? a9 ? a12 ? 60 ,那么 S13 ? A.390 B.195 C.180 D.120 ) 5、从前 180 个正偶数的和中减去前 180 个正奇数的和,其差为( A. 0 B. 90 C. 180 D. 360

6、等差数列 ?an ? 的前 m 项的和为 30 ,前 2 m 项的和为 100 ,则它的前 3m 项的和为( A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 ) 7、在等差数列 ?an ? 中, a2 ? ?6 , a8 ? 6 ,若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,则( A. S 4 ? S5 B. S 4 ? S5 C. S 6 ? S5 D. S 6 ? S5

)

8、一个等差数列前 3 项和为 34 ,后 3 项和为 146 ,所有项和为 390 ,则这个数列的项数为( A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前 n 项之和 n 3 为,且前 n 个偶数项的和为 n 2 (4n ? 3) ,则前 n 个奇数项的和为( A. ? 3n 2 (n ? 1) B. n 2 (4n ? 3) C. ? 3n
2





D.

1 3 n 2

10、若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为 100°,最大角为 140°,这个凸多边形的边比为 ( ) A.6 B. 8 C.10 D.12 11、等差数列 ?an ? 中,若 a6 ? a3 ? a8 ,则 s 9 ? 12、等差数列 ?an ? 中,若 Sn ? 3n2 ? 2n ,则公差 d ? 13、在小于 100 的正整数中,被 3 除余 2 的数的和是 14、已知等差数列 {an } 的公差是正整数,且 a 3 ?a7 ? ?12, a4 ? a6 ? ?4 ,则前 10 项的和 S 10 = 15、一个等差数列共有 10 项,其中奇数项的和为

. .

25 ,偶数项的和为 15,则这个数列的第 6 项是 2

16、两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若

S n 7n ? 3 a ? ,则 8 ? Tn n?3 b8

.
-1-

17、在等差数列 ?an ? 中, a4 ? 0.8 , a11 ? 2.2 ,求 a51 ? a52 ? ? ? a80 .

18、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 12 , S12 > 0 , S13 < 0 , ①求公差 d 的取值范围; ② S1 , S2 ,?, S12 中哪一个值最大?并说明理由.

19、设等差数列 {an } 的前n项的和为 S 项的和 S
n

n

,且 S

4

=-62, S
14

6

=-75,求: (1) {an } 的通项公式 a

n

及前n

; (2)|a

1

|+|a

2

|+|a

3

|+……+|a

|.

-2-

等差数列学习资料提高篇
1.{an}为等差数列,a10=33,a2=1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S20-2S10 等于( A.40 B.200 C.400 D.20 )

2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数列{an}的公差是( 3 2 A. 1 2 B.1 C.2 D.3

S3 S2

)

3.(2014·临川一中质检)已知数列{an},{bn}都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1,b1,且

a1+b1=5,a1,b1∈N*.设 cn=abn(n∈N*),则数列{cn}的前 10 项和等于(
A.55 B.70 C.85 D.100

)

4.(2012·浙江高考)设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下列命题错误的是( A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项
*

)

B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0

C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N ,均有 Sn>0 D.若对任意 n∈N ,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列
*

Sn 2n-3 a9 a3 5.设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对任意自然数 n 都有 = ,则 + 的 Tn 4n-3 b5+b7 b8+b4
值为( A. 19 41 ) 4 B. 5 27 C. 43 D. 24 31

6.(2011·广东高考)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k=________. 7.在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,bn=a2n,则数列{bn}的前 5 项和 S5=________. 8.已知各项为正数的等差数列{an}的前 20 项和为 100,那么 a7a14 的最大值为________. 9.(2013·新课标全国高考Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25 ,且 a1,a11,a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2.

-3-

10.已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? * (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N ),且 b1=3,求数列? ?的前 n 项和 Tn. ?bn?

?1?n-1 * n 11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-an-? ? +2(n∈N ),数列{bn}满足 bn=2 ·an. ?2?
(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设 cn=log2
? 2 ? n 25 ?的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn< (n∈N*)的 n 的最大值. ,数列? an 21 ?cncn+2?

-4-

基础篇参考答案 一、 1-5 B A C B C 6-10 C B A B A 二、 1、0 2、6 3、1650 4、-10 5、3 6、6 三.1、 an ? 0.2n , a51 ? a52 ? ? ? a80 ? 393 .

12 ? ? 2a1 ? 11d ? 0 S12 ? (a1 ? a12 ) ? 6(a6 ? a7 ) ? 0 ? ?a6 ? a7 ? 0 ? ? 2 ?? 2、①∵ ? ,∴ ? a1 ? 6 d ? 0 ?a7 ? 0 ? a ? 2d ? 12 ? S ? 13 (a ? a ) ? 13?a ? 0 13 1 13 7 ? 1 ? ? 2
解得, ?

? a6 ? a7 ? 0 ? a6 ? 0 24 24 ?? ? d ? ?3 ,②由 ? ? d ? ?3 ,又∵ ? 7 7 ? a7 ? 0 ? a7 ? 0

∴ ?an ? 是递减数列, ∴ S1 , S2 ,?, S12 中 S6 最大.
4a1 ? 6d ? ?62 3、解:设等差数列首项为 a1,公差为 d,依题意得 ? ? ?6a1 ? 15d ? ?75

解得:a1=-20,d=3。

3 43 ⑴ a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 23, S n ? (a1 ? a n )n ? n(?20 ? 3n ? 23) ? n 2 ? n; 2 2 2 2
⑵? a1 ? ?20, d ? 3, ??an ?的项随着n的增大而增大
设ak ? 0且ak ?1 ? 0, 得3k ? 23 ? 0, 且3(k ? 1) ? 23 ? 0,? 20 23 ? k ? (k ? Z ), k ? 7, 即第7项之前均为负数 3 3



| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | a14 |? ?(a1 ? a2 ? ?? a7 ) ? (a8 ? a9 ? ?? a14 ) ? S14 ? 2S7 ? 147 .
提高篇参考答案 20?a1+a20? 10?a1+a10? -2× 2 2

1.解析:选 C S20-2S10=

=10(a20-a10)=100d.又 a10=a2+8d,∴33=1+8d. ∴d=4.∴S20-2S10=400.故选 C. 2.解析:选 C 因为 Sn= 数列{an}的公差为 2.故选 C. 3.解析:选 C 由题知 a1+b1=5,a1,b1∈N .设 cn=abn(n∈N ),则数列{cn}的前 10 项和等于 ab1+ab2 +…+ab10=ab1+ab1+1+…+ab1+9,ab1=a1+(b1-1)=4,∴ab1+ab1+1+…+ab1+9=4+5+6+…+13=85, 选 C.
* *

n?a1+an?
2

,所以 =

Sn a1+an S3 S2 a3 a2 .由 - =1,得 - =1,即 a3-a2=2,所以 n 2 3 2 2 2

d? 1 d 2 ? 4.解析:选 C 设数列{an}的首项为 a1,则 Sn=na1+ n(n-1)d= n +?a1- ?n.由二次函数性质知 Sn 有最 2? 2 2 ?
-5-

大值时,则 d<0,故 A、B 正确;因为{Sn}为递增数列,但 d>0,不妨设 a1=-1,d=2,显然{Sn}是递增数 列,但 S1=-1<0,故 C 错误;对任意 n∈N ,Sn 均大于 0 时,a1>0,d>0,{Sn}必是递增数列,D 正确. 5.解析:选 A ∵{an},{bn}为等差数列, ∴
*

a9 a3 a9 a3 a9+a3 a6 + = + = = . b5+b7 b8+b4 2b6 2b6 2b6 b6

11 ?a1+a11? S11 2 2a6 2×11-3 19 ∵ = = = = , T11 11 2b6 4×11-3 41 ?b1+b11? 2

a6 19 ∴ = .故选 A. b6 41
6.解析:10 由题意 S9=S4 得 a5+a6+a7+a8+a9=0. ∴5a7=0,即 a7=0. 又 ak+a4=0=2a7,a10+a4=2a7,∴k=10. 15-6 7.解析:90 在等差数列{an}中,由 a2=6,a5=15 易知公差 d= =3, 3 ∴an=a2+(n-2)d=3n,∴bn=a2n=6n, 所以数列{bn}为公差为 6 的等差数列, 5 所以前 5 项和 S5= (b1+b5), 2 又易知 b1=6,b5=30,所以 S5=90. 20?a1+a20? 8.解析:25 因为{an}为各项为正数的等差数列,且前 20 项和为 100,所以 =100,即 a1+ 2

a20=10,
所以 a7+a14=10.所以 a7·a14≤?

?a7+a14?2=25, ? ? 2 ?

当且仅当 a7=a14=5 时等号成立. 9.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25 ,且 a1,a11,a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2. 解:(1)设{an}的公差为 d. 由题意得 a11=a1a13, 即(a1+10d) =a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=-2 或 d=0(舍去). 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.
-62 2

由(1)知 a3n-2=-6n+31, 所以数列{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列. 从而 Sn= (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n +28n. 2 2 10.已知各项都不相等的等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? * (2)若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N ),且 b1=3,求数列? ?的前 n 项和 Tn. ?bn?

n

n

2

解:(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),
?6a1+15d=60, ? 则? 2 ? ?a1?a1+20d?=?a1+5d? ,

解得?

?d=2, ? ? ?a1=5.

∴an=2n+3. (2)由 bn+1-bn=an,得 bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N ),
*

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=an-1+an-2+…+a1+b1 =(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2), ∴bn=n(n+2),n∈N . 1 ∴ =
*

? ? bn n?n+2? 2?n n+2?

1

1 ? 1? 1 = - .

1 1 ? 1? 1 1 1 ∴Tn= ?1- + - +…+ - 3 2 4 n n+2? 2? ?
2 1 1 ? 1?3 3n +5n - = ? - = . ? 2?2 n+1 n+2? 4?n+1??n+2?

?1?n-1 * n 11.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-an-? ? +2(n∈N ),数列{bn}满足 bn=2 ·an. ?2?
(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设 cn=log2
? 2 ? n 25 ?的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn< (n∈N*)的 n 的最大值. ,数列? an 21 ?cncn+2?

?1?n-1 (1)证明:在 Sn=-an-? ? +2 中, ?2?
1 令 n=1,可得 S1=-a1-1+2=a1,得 a1= . 2

?1?n-2 当 n≥2 时,Sn-1=-an-1-? ? +2, ?2? ?1?n-1 ∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+? ? , ?2? ?1?n-1 n n-1 即 2an=an-1+? ? .∴2 ·an=2 ·an-1+1. ?2?
-7-

∵bn=2 ·an,∴bn=bn-1+1. 又 b1=2a1=1,∴{bn}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列.于是 bn=1+(n-1)·1=n,∴an= n. 2 (2)解∵cn=log2 =log22 =n. ∴ 2 = 2 1 1 = - .

n

n

n an

n

cncn+2 n?n+2? n n+2

1 ? ? 1? ?1 1? ?1 ∴Tn=?1- ?+? - ?+…+? - ? ? 3? ?2 4? ?n n+2? 1 1 1 =1+ - - . 2 n+1 n+2 25 1 1 1 25 由 Tn< ,得 1+ - - < , 21 2 n+1 n+2 21 即 1

n+1 n+2 42



1

>

13

,f(n)=

1

n+1 n+2



1

单调递减,

9 11 13 ∵f(3)= ,f(4)= ,f(5)= ,∴n 的最大值为 4. 20 30 42

-8-


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