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2014年全国高中数学联赛陕西赛区预赛


2 0 1 4年 第 6期 

3 3  

2 0 1 4年全国高 中数学联赛 陕西赛 区预赛 
中图 分 类 号 : G 4 2 4 . 7 9   文献 标 识 码 :A   文 章 编 号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 4) 0 6—0 0 3 3— 0 5  

第 一 试 

/>一

第 二 试 




填空题 ( 每小题 5分 , 共5 0分 )  



( 1 5分 ) 如图 1 ,  

1 . 不等式 1 <I  一 2   I < 4所有 整数解 的和为 

A是 两条 平 行直 线 f 。 、 Z  
之间 的一个定点 , 且点 A  

2 . 已知等差数列 { a   } 、 { b   } 的前 n 项 和分别 

到直线 Z , 、 f : 的距 离分别 
为A M =1 , A N=   . 设 
M  B  

为 s I   、   , 且 对 于 一 切 正 整 数 n , 均 有   =   { { .  
则  =  

△A B C 的 另 两 个 顶 点 

网1  

C 、 B分 别 在 2 。 、 2  上 运 

3 . 函数  ) =  

一  + 3+  

一  的最 小 

动, 且满 足 A  < A C ,   A B =   A C
CO S   COS 乙 .  

值为— — .   4 . 已知 s i n   0 和C O S   0的等差 中项 为 s i n  , 等 
1  

( 1 ) 试判 断△ A B C的形状 , 并证明结论 ;   ( 2 ) 求  +   的最大值?   二、 ( 1 5分 ) 已知数列 { a   } 的各项均为 正数 ,  
其前 n项和为 I s   , 且对任意 n∈ Z+ , 均有 

比中项为 s i n 卢 . 则c 0 s   2 a 一 ÷c o s   = _
二 

.  

5 . 若 正方 体 。   2 A 。 A  一 B , B : B , B 4的棱 长为 
1 , 则集合  {  I x = A 1 B l ? A  , , i 、  ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 } }   中元 素的个数为一  

. s : 一 ( n   + n 一 1 ) I s   一 ( n   + n ) = o .  
( 1 ) 求数列 { a   } 的通项公式 ;   ( 2 ) 设6 n   ( n∈ z+ ) , 数列 { 6 n } 的 

6 . 将 一 颗 均 匀 的 正方 体 色 子 连 续 掷 两 次 ,   先后 出现 的点 数 分 别 为 a 、 b , 则关 于  的方 程 
+   + b : 0 有实 根 的概 率 为— — ( 用最 简分  数作答 ) .   7 . 若实数 a 、 b 、 C 满足 
a+2 6+3 c=6, a  +4 b  +9 c  =1 2,  

前n 项和为  . 证明:  < ÷( 凡 ∈Z + ) .  
三、 ( 1 5 分) 如图 2 , o0 。 与6 ) 0 : 交 于 P、 Q两 
点, 且O0   经过点 0 。 , A是 o0 。 的优弧P Q 上任一  点, A P、 A Q的延长线 与O0   分别 交 于点 B、   证 
明: 0   为△ A B C的垂心.  

则a b c = ^

.  

8 . 在△ A B C中 , 已知 B C= 2 , 3, 边A B、 A C上  的 中线 长之和为 6 . 以直线 B C为 轴 、 边B C的垂  直平分线为 y 轴建 立直角 坐标系. 则顶点  的轨 
迹方程 为一  

9 . 已 知 三 棱 锥 P —A B C的 底 面 是 边 长 为  的正 三 角形 , P A=3 , P B= 4 , P C= 5 . 若 0为 
△A B C 的 中心 , 则P O的长为一  
C  

l 0 . 记[ m] 表示不 超 过实 数 m 的最 大整 数.  
则集合 {   ∈ RI 9 x   一 3 0 [ 戈 ] + 2 0= 0 } 中所有元 素 
的 和为 一  
图2  

中 等 数 学 

四、 ( 1 5分 ) 如图 3 , 已知 6 3 0:   +y   =1与 戈   轴交于 A、  两点 、 与 Y轴交于点 C ,   是6 3 0上任 


3 . √ 3.  

由I [   2 x   zx
-  

+3

≥。 ’ 得 函数  ) 的定义域为 

点( 除去 o0与两 坐标轴 的交点 ) , 直线 A M 与 



≥。



B C交于点 P , 直线 C M 与  轴 交于 点 Ⅳ, 设 直线 

P M、 P Ⅳ的斜率分别为 m、 n . 证明 : m一 2 n为定值.  

( 一∞ , 0 ] u[ 1 , +∞) .   又 函数 f (  ) 在( 一∞, 0 ] 上单调 递减 , 在  [ 1 , +∞) 上单调递增 , 故 

)   = m i n {  0 ) ,   1 ) } =   .  
4 . 0 .  

由题设知 
‘ 

s i n   =— —   — — 一 ,   s i n 2   l :s f i ‘   n  ’ .   C O S0 .  
’ 

:  





 



 

一  

故c o s   2   0 [ 一 ÷c o s  


1 — 2 s i n  一 ÷( 1 — 2 s i n   1 3 )  



÷一 2 s i n  + s i n   卢  


五、 ( 2 O分 ) 设 



2 - 2 (  

i n   0 . c o s   0  
:0 . ?  

) = I n  一 ÷ n  一 2 x ( 0 < 0 ) ,  
且 函数  ) 存在单调 递减 区间.   ( 1 ) 求 a的取值范 围;   ( 2 ) 若 对满 足条 件 的 a的任 意值 , f (  )<b   在( O , 1 ] 上恒成立 , 求实数 b 的取值范 围.   六、 ( 2 0分 ) 设a 。 , a : , …, a   ( n∈ Z+ ) 均为正  实数. 证明:  
生  
口 l+ 口2 + …

: =—     一— 一  — — — — —   — — — — — 一 十 +   S i   l l   ‘ .   C O S 5 .1 .  

解法 1 注意到 ,  

上  故 


,   :  

J -  

( i 、  ∈{ 2 , 3 , 4 } ) .  


.  

. ( —A A 1 +  

+  

)  

Al Bl ? A   A1 +Al  l  +Al Bl ? B1 曰  =Al B1   =1 .  

<4 /   
+ 口  、 ’   口


.  
‘ 

解法 2 如图 4 , 对任意 i 、  ∈{ 1 , 2 , 3 , 4 } , 向  量A   B   上的投影均潮   B   , 故 
Al  l ? A   B  =1 .  

参 考 答 案 
第 一 试 




1 . 8 .  

由1 <l  一 2   I < 4 , 得 


2< 戈< 1 或 3<  < 6 .  

因为  ∈ Z, 所以 ,  =一 1 , 0 , 4 , 5 .  

故不等式所有整数解 的和为 8 .  

2 . 罢 .  
依题意设 
a   = k ( 2 n一 1 ) , b   : k ( 3 n +1 ) ,   其 中, 常数 k ≠0 .   则S 6 = 3 6 k ,   = 5 0 k .  


图 4  

l 9  
。  

从 而 ,   =  = 簧 .  

由题意 , 因为 a 、 b∈ { 1 , 2 , …, 6 } , 所以, 基本  事件总数为 6   = 3 6 .   又方程  +a x +b =0有 实根 的充 分必 要条  件是 A= a   一 4 b ≥O .   对口   、 4 b 的值及 口   一 4 b 的符号如表 1 .  

2 0 1 4年 第 6期 

4  8  

3 5  
1  
l 2   l 6   2 0   2 4  

当且仅当 口= 2 b = 3 c = 了 6 即 口=2 , 6=1 , c =  


时, 上式等号成立.  
l   4   9   O   +  +  

因此 , 。 6 c :   .  

l 6  

+  

+ 

+  

O  

8 ?  + 等 = 1 ( y ≠ 0 ) .  
+  
+  

2 5  
3 6  

+  
+  

+  
+ 

+  
+ 

+  
+  

+  
+  

解 法 1 设边 A B 、 A C上的 中线 C F 、 B E交 于  点G . 则 G为△ A B C的重心.  

由I   G B   J + I   G c I = ÷( I B E I +I   C F I )  
其中 , △=a   一 4 b的值 为 非 负 数 的 有 1 9种.  

故所求 概率为 P=   1 0  
. 

=  

×6 =4 >2   ,  

jD 

知点 G的轨迹是以 B 、 C为焦点 、 长轴 长为 4的椭 
7 .   .  

圆( 不包含长轴 的两个 端点 ) .   故此椭圆方程为  X 2 + y   =1 ( ) , ≠ 0 ) .  

解法 1 由题设得 
( 口   + 4 b   + 9 c   )一 4 ( a+ 2 b+ 3 c )=1 2— 4   x 6  

=  ( a 一 2 )  + 4 ( b 一 1 )  +( 3 c 一 2 )  = 0  
’ 6.1 ’ c =  

设 点   (   , y ) . 则 点 G ( },  ) .  
代入上式 , 化简得顶点 A的轨迹方程为  +9=1 ( ) , ≠ o ) .  

=  
.  

解 法 2 由题设得 
0 +2 b=6—3 c . 口  +4 b  =1 2—9 c   .  

解法 2 如图 5 , 过 点 A分 别作 中线 B E 、 C F   的平行线 , 分别 与  轴交于点 B   、 C   .  
  J 一  

由 (   ) 2 ≤   2  
/  

(   2   1 2 - 9 c 2 .  
( 3 c 一 2 )  ≤0  
3 c一2 =0   c=   .  

B|  

/ /   《   E 、 \ 、   、   \ 、  
、  
一  

\ 

B  o  

C  

Ct  

图 5  

从而 , 0+2 b =4 , 0  + 4 b  :8 .   又 8=0   +4 b   =( a+2 6 )  一 4 a b=1 6— 4 a b  

则l A B   l +I A C   I = 2 ( I B E I +l C F I ) = 1 2 > 6 √ 3.  
故点 A的轨迹是 以 B   ( 一 3   , 0 ) 和c   ( 3   , 0 )   为焦点 、 1 2为长 轴长 的椭 圆 ( 除去 长轴 的两个端 

因此 ,   =   .  

点) , 其方程为  +   =1 ( ) , ≠ 0 ) .  
9   .  

解法 3 由题设 及柯西不等式得 
3 6=( 口+ 2 6+ 3 c )  

≤( 1  + 1  + 1   ) ( a   + 4 b   + 9 c   )= 3 6 .  

解法 1   如图 6 , 联结 A O并 延长 与 B C交 于 

中 等 数 学 

点 M, 则 M 是边 B C的中点. 联结 P M.  

第 二 试 




( 1 ) 由 
:   B   c — o s — C  

=  

及正弦定理得 

A  





cos

s i n   2 B :s i n   2C .   s   n   n  

因为 A B< A C , 所 以,   C<   B . 于是 ,  
I 冬 I   6  

2   L  B+2   L  c=  

L  B+L  c=   2.  

在△ P B C中, 由中线长公式得 P M= 圭.  
√ 2  

故△ A   c为直 角三角形 , 且  A=   2.  

在△ P A M中, 由余弦定理得 
c 0 s   P A M :   .  

( 2 )  ̄ L B A M = o ( o <   <  则  
L   C A N = 詈 一 0 .  
于是 , 在R t   A  A M B中 , A B   1 ;  
在 R t /  ̄A NC , A C:  

2 4√ 6  

在△ P O A中 , 由余弦定理得 
P O:, hA  + A O  一 2 P A? A O c o s   P A M=   .  

解法2 设  : 口 , 商: 6 ,   : c .   则由商 一   :   , 得  ( b 一 口 )   : A - -  ̄ 2 : 3 2 .  
故口   +b  一 2 a? b= 3 2=  2 a? b= 一7 .  

s i n   0?  



龛 = c o s   0 + s i n   0 = 2 s i n (   十 詈 ) .  

同理 , 2 b ? c= 9 , 2 c ? a = 2 .  

从而 , 当  =   时,   +   取得最大值为  .   二、 ( 1 ) 由题意知 
( S   + 1 ) ( S   一 n   一 n ) = 0 .  
因为 a   > 0 , 所 以, S   > 0 ( n∈ Z+ ) .   从而 , S   = n   +n .  

又 0为正△ A B C的中心 , 于是 ,  
P O=   1( 口+ b+ c ) .  

故  = 告 ( 口 + 6 + c )  


吉 ( 口   + 西   + c   + 2 a ? b + 2 b ? c + 2 c ? 口 )  

当n ≥ 2时 ,  
a  =S  一S  l  


=6 .  

= n   + n一[ ( n 一1 )  +( n 一1 ) ]  


因此 , P O的长为  .  
1 0 .   而 .  

2 n .  

由9  一 3 0 I x ] + 2 0= 0  
3 0 I x ] = 9 x   + 2 0> 0   j [ 戈 ] > 0   又[   ] ≤   > 0 .   [  ]   ≤  , 则 

又a   = S 。 = 2也满足上式 , 因此 ,   a   = 2 n ( / 7 , ∈ Z+ ) .   ( 2 ) 由( 1 ) 知a   = 2 n .  
=   =  

1 ( 1   一   1 ) .  

故  = b l + b 2 +b 3 + … + b  
:  一

9 I x ]  一 3 0 I x ]+ 2 0 ≤O  
( 3 [  ] 一 5 )   ≤5 .  

÷ ) + ( T 1 一 ÷ ) + ( ÷ 一  - + ( ÷ 一   】  

从而 , [  ] =1 或2 .   分别代人原方程解得 



亍  ̄ / , 而   

幺   2  亍 。  
.  



丢 (   + 丢 一  一  )   丢 ( - +   ) = 詈 .  

因此 , 集合 中所有元素的和为  。 + 戈 : =  

三、 如图7 , 联结 P Q 、 0 。 O 2 、 O 。 P 、 O   Q、 0   B .   则P p上 0 . 0 , .  

2 0 1 4年第 6期 

3 7  

像过定点 ( 0 , 一1 ) , 且对称轴  =一   1> 0
. 

于是 , △: 4+ 4 a1 >0   a≥ 一1 ?  

故 0的取值范 围为 [ 一1 , 0 ) .   ( 2 ) 由题意 , 知对任意 的 a∈[ 一1 , 0 ) 有 

6 > 1 n   一 丢 似  ) … ?  
注意到 , 函数 
h ( a ) = l n  一   一 2 x  

由  B A C= ÷  P 0 。 Q  
得 

P O l 0 2 ,  

在 a∈[ 一 1 , 0 ) 上单调递减 . 于是 ,  

A B O   =   p Q O   =   q P o 。 ,   B A C+   A B O l =   P O l   D 2 +   Q e O l = 9 0 。 .   于是 , B O 。 上A C .   同理 , C O   上A B .   从而, 0   为△ A B C的垂心.   四、 由题意设 

^ ( n )  =   ( 一 1 ) = {  - 2 x + I n   .  

故 6 > (  
)   2+   1=  

)  

令 (   )= -   一 2 x + I n  . 则 

l A M : y = , n (  + 1 ) ( , n ≠ 0 , ± 1 ) , 与   + , , 2 =1  
联立得 M、 I   1


丽 2 m ) .   由 c ( 0 , 1 ) , M ( 1 - m 2 。 ,   2 m   ) , Ⅳ (   , 0 ) 三 点  





因此 , 函数 (   ) 在( O , 1 ] 上单调 递增.  
故 (   )   =  ( 1 ) =一   3
. 

l十



m.

从 而 , 6 > 一   , 即 6 ∈ ( 一   3 , + ∞ ) 。  
六、 因为 a   > 0 ( i =1 , 2 , …,  ) , 所 以, 由柯西  不等式得 

共线知 
—   一  

一 0  
=  


0  

Ⅳ ( \   1 _m  , 0 ) 』   .  

( 奎
i =l  



i 2    ̄ ) ≥ ( 妻   )   =  

.  

又l B c :  + Y :1 , 与Y =m ( x+ 1 ) 联立得 

故   善 
≤ 4 吝 【   赛  

尸 (   ,  ) .  
兰   一 0  
=   =  
一  

又   【   砉 言 】  
一  



王 



 

2 m( 1一m、  


m 一1  

(  + 1 )  口 ‘  
< 

( 1 - m) 2 - — ( 1 + m) 2  丁

‘  

从而 , m一 2 n = 1 ( 定值 ) .  
五、 ( 1 ) 由题设知  (  ) =   1 口  一 2=一  


奢   专  
吝 ( i 1 一 丽 1  

=  

(  > o ) .  
=  

因为函数  (  ) 存 在单 调递减 区间 , 所 以, 不  等式,   (   ) ≤O , 即   + 2 x一1 ≥0在 ( 0 , +∞) 上 
有 解.   注意到 , 0< 0 , 函数 g ( x )= a x   + 2 x一1的 图  

1 ) 言 <   去 .  
提供 )  


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