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高二数学(文科)寒假作业及答案


.

高二数学(文科)寒假作业及答案 1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则离心率等于 2. P 是双曲线
x2 y2 ? ? 1 上任一点, F1 , F2 是它的左、右焦点,且 4 9

| PF1 |? 5, 则 | PF2 | =________

3.直线 y=x+1 被椭圆

/>x 2 y2 ? ? 1 所截得的弦的中点坐标是 4 2
5 4

4.虚轴长为 12,离心率为 的双曲线标准方程为 5. 点 P 是抛物线 y 2 =4x 上一动点,则点 P 到点 A(0,-1)的距离与 P 到 直线 x=-1 的距离和的最小值是 椭圆的离心率的取值范围为 7. 已知 A(1,0) 为椭圆 ,Q 的轨迹方程。
x2 ? y 2 ? 1 上任一点,求 AQ 的中点 M 4

x k b 1 .c o

m

6. 椭圆的左右焦点分别为 F1 , F2 ,椭圆上动点 A 满足 F1 A ? 2 F2 A ,则

8.过点 Q(4,1)作抛物线 y 2 ? 8x 的弦 AB,若 AB 恰被 Q 平分,求 AB 所在的直线方程.

x k b 1 .c o m

作业(11) 1 ( . ) A. D. y ? ?2 2.已知两点 F1 (?1,0) 、 F2 (1, 0) ,且 F1F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项,则动 点 P 的轨迹方程是 (
x2 y 2 A. ? ? 1 16 9
x? 1 32





线

1 y ? ? x2 8





线







B.

y?2

C.

y?

1 32


x2 y 2 C. ? ? 1 4 3 x2 y 2 D. ? ? 1 3 4

x2 y 2 B. ? ? 1 16 12

3.抛物线 y=x2 到直线 2x-y=4 距离最近的点的坐标是 ( A. ( , )
3 5 2 4

)

B.(1,1)

C. ( , )

3 9 2 4

D.(2,4)

4. 抛物线 y=ax 2 的准线方程为 y=1,则抛物线实数 a=

M 5. 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点, 1 、 2 是椭圆的两个焦点, F1MF2 ? 60? , F F ? 25 9

则 ?F1MF2 的面积等于



6.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米。当水 面升高 1 米后,水面宽度是________米。 7. 如果椭圆 程是 8. 双 曲 线 C 的 中 心 在 原 点 , 右 焦 点 为 F ? ?
y ? ? 3x .
?2 3 ? , 0? , 渐 近 线 方 程 为 ? 3 ? ?

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方 36 9

(1)求双曲线 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 交于 A 、
B 两点,问:当 k 为何值时,以 AB

为直径的圆过原点;

wwW.x kB 1. c Om

作业(12) 1.过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) 、B(x2,y2)两

点,如果 x1+x2=6,则|AB|的长是( C.6 D.4



A.10

B . 8

x2 y2 2.已知 F1、F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,M 为双曲线 a b

上的点,若 MF1⊥MF2,∠MF2F1 = 60°,则双曲线的离心率为( A. 3 ? 1 B.
6 2


3 ?1

C.

3 ?1 2

D.

3.抛物线 y=- x 2 的焦点坐标为 4. 过点 M(2,4)与抛物线只有一个公共点的直线有 条

5. 已知 B、 是两定点, BC =6, ?ABC 的周长为 16 则顶点 A 的轨 C 且 迹方程 6.与椭圆
x 2 y2 ? ? 1 有共同的焦点,且过点 15,4 的双曲线的方程为 27 36

?

?

7.一个动圆与已知圆 Q 1 : (x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 外切,与圆 Q2 : (x ? 3) 2 ? y 2 ? 81 内切,试求这个动圆圆心 M 的轨迹方程。

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8.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点在抛物线 y ? 2x 2 上,l 是 AB 的垂直平分线, (1)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你 的结论; (2)当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时,求直线 l 的方程.

作业(13) 1.抛物线 y 2 ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 交于 A 、 B 两点,其中点 A 的坐标为
(1, 2) ,设抛物线的焦点为 F ,则 | FA | ? | FB | 等于

( A.7 B. 3
2 2


5

C.6

D.5

2.直线 l 是双曲线 x2 ? y2
a b

? 1(a ? 0, b ? 0) 的右准线,以原点为圆心且过双

曲线的顶点的圆,被直线 l 分成弧长为 2 : 1 的两段圆弧,则该双曲线 的离心率是 A.2 B.
2



) C.
6 2

D.

5

3.已知曲线 y 2 ? ax 与其关于点 (1,1) 对称的曲线有两个不同的交点 A 和
B

,如果过这两个交点的直线的倾斜角是 45? ,则实数 a 的值是 ( )
3 2

A.1 4 . ( 方 ) 程

B.

C.2 所 表 示

D.3 的 C . 曲 线 是

x ? y ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2

A. 双曲线 D.不能确定

B. 抛物线

椭 圆

5. 对于曲线 C∶ _____________.

x2 y2 ? =1,下面正确命题的序号为 4 ? k k ?1

①由线 C 不可能表示椭圆;②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆;③ 若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴 上的椭圆,则 1<k< 新|课|标 | 第| 一|网 6. 已知椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆 a2 b2
5 2

上,且满足 PF1 ? PF2 ? 0 , tan?PF1 F2 ? 2 ,则该椭圆的离心率为
x2 y2 4 7.已知双曲线与椭圆 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲 3 49 24

线方程.

8.已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l:x=-1 相切,点 C 在 l 上.(1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (2)设过点 P,且斜率为- 3 的直线与曲线 M 相交于 A、B 两点。 问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明 理由。

作业(14)

1.若抛物线 y 2 ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点
P 的坐标为(


2 ) 4

A. ( , ?

1 4

B. ( , ?

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 2 ) 4 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4

2.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y 2 ? 2x 的焦点,点 M 在抛物线 上 移 动 时 , 使 MF ? MA 取 得 最 小 值 的 M 的 坐 标 为 ( ) A. ?0,0? B. ? ,1? ? ?
1 ?2 ?

C. ?1, 2 ?

D. ?2,2?

3. 直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点, k 的取 则 值范围是( A. ? ( )
15 15 ) , 3 3

B. 0, (

15 15 15 ) C. ? ( ( ,0 ) D. ? ,?1 ) 3 3 3

4.抛物线 y ? 2x 2 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称,
1 3 5 ) A. B.2 C. D.3 2 2 2 x 2 y2 5.椭圆 ? ? 1 的一个焦点为 F 1 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF 1 的中 12 3

且 x1 ? x 2 ? ? ,则 m 等于(

点 M 在 y 轴上,那么点 M 的纵坐标是 6.
x 2 y2 若点 O 和点 F 分别为椭圆 ? ? 1 中心和左焦点,点 P 为椭圆 4 3

上的任意一点, OP.FP 的最大值为 则

ww w.Xkb 1.coM

7.已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 它的一个顶点 B 恰好是 抛物线 y ? x 2 的焦点, 离心率等于
1 4

2 .直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点. 2

(1) 求椭圆 C 的方程; 椭圆 C 的右焦点 F 是否可以为 ?BMN 的垂 (2) 心?若可以,求出直线 l 的方程;若不可以,请说明理由.

作业(15) 1. 一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 2 其中 s 的单位是米, 的单位是秒, t 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是(
7 A. 米/秒 6 B. 米/秒


5 C. 米/秒 8 D.

米/秒 2.函数 y = x3 + x 的递增区间是( A . (0,??) D. (1,??) 3. f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于( A.
19 3

) C . (??,??)

B . (??,1)

) D.
10 3

B.

16 3

C.

13 3

4.函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f (x) 在这点取极值的 ( ) A.充分条件 充分条件 5.函数 y ? x 4 ? 4x ? 3 在区间 ??2,3? 上的最小值为_______________ 6.曲线 y ? x 3 ? 4x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________; B.必要条件 C.充要条件 D.必要非

7.曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的方程为_______________ 8.设函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? ax , g ( x) ? 2x 2 ? 4x ? c .(1)试问函数 f (x) 能 否在 x ? ?1 时取得极值?说明理由; (2)若 a ? ?1 ,当 x ? [?3,4] 时, f (x) 与 g (x) 的图象恰好有两个公共点,求 c 的取值范围.
1 3

作业(16) 1. 若函数 y ? 2 x ? 1 ,则
?y ? ?x

. .

2. 函数 y ? 2 x ? ln x 的递减区间是

3.曲线 y ? 4 x ? x3 在点(-1,-3)处的切线方程是 4.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f (x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a = 5.设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x), n∈N,则

f2013(x)= 6. 函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导 函数 f ?(x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则 函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点 个

y

y ? f ?(x)

b

a

O

x

7. 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关 于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为: y=
1 3 x 3 ? x ? 8 (0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 千米。 (1) 128000 80

当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少 升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最 少为多少升?

8.已知 a>0,函数 f(x)=lnx-ax2,x>0 (1)求 f(x)的单调区间;
?3? 1 (2)当 a=8时,证明:存在 x0∈(2,+∞),使 f(x0)=f?2?; ? ?

作业(17) 1. (
1 2

设 )





f



x



=

2 x

+lnx



A.x= 为 f(x)的极大值点 小值点 C.x=2 为 f(x)的极大值点 小值点 2. 函 数 ( ) (B) (0,1] y=
1 2

B.x= 为 f(x)的极

1 2

D.x=2 为 f(x)的极

x2 ? ㏑

x

的 单 调 递 减 区 间 为

(A) ? 1,1] ( (0,+∞) 3. 曲 线

(C.)[1,+∞)

(D)

y=x(3lnx+1) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程 为

ww w.Xk b1.coM 4. 曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的 面积为 .

5. 设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N, 则当|MN|达到最小时 t 的值为 6. 若 a>0,b>0,函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于

7.设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ax ? 的最小值;

1 ? b(a ? 0) ax

(1)求 f ( x)

(2)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ,求 a , b 的值。

3 2

8.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16 (1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x) 有极大值 28,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最 大值.

作业(18)

1. 若 ( )

f(x) = x2 - 2x - 4lnx , 则 B.(-1,0)∪(2,+∞) y = ex 在 点

f′(x)>0

的 解 集 为

A.(0,+∞) 2. 曲 线 ( ) A.1

C.(2,+∞) D.(-1,0)

A(0,1) 处 的 切 线 斜 率 为 1 D.e

B.2

C.e

3.曲线 y=x3 +11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 ( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15

4.设曲线 y ? ax2 在点(1,a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? A.1
1 2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?1

5.直线 y ? x ? b 是曲线 y ? ln x( x ? 0) 的一条切线,则实数 b ? 6. 如图,函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A,B,C 的坐标分别 A 为 (0,,,,, ,则 f ( f (0)) ? 4) (2 0) (6 4) ; f ?(1) ?
4 3 2 1 y C

ex 4 B 7.设 f(x)= O 1 2,其中 a 为正实数.(1)当 a= 时,求 f(x)的 2 3 1+ax

3 4 5 6

x

极值点;(2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.Xk b 1.Com

8.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千 克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= a +10(x-6)2,其 x-3

中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商 品 11 千克.(1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每 日销售该商品所获得的利润最大.

作业(10) 1.
2
3 2

2. 9

3.(- , )

2 1 3 3

4.

x 2 y2 y2 x 2 ? ? 1或 ? ?1 64 36 64 36

5.

6. [ ,1 )

1 3

1 7. ? x ? ? ? 4y 2 ? 1 ? ? ? 2?

2

8. 点差法:4x-y-15=0

作业(11) 1-3 BCB 4. 1 4

5. 3 3

6. 4 2

7. x ? 2 y ? 8 ? 0

8.解: (1)易知 双曲线的方程是 3x 2 ? y 2 ? 1. (2)① 由 ?
? y ? kx ? 1, ?3x ? y ? 1,
2 2

得 ?3 ? k 2 ?x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 ,

由 ? ? 0, 且3 ? k 2 ? 0 ,得 ? 6 ? k ? 6, 且 k ? ? 3 . 设 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? , 因 为 以 AB 为 直 径 的 圆 过 原 点 , 所 以

OA ? OB ,

所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

又 x1 ? x2 ?

?2k 2 , x1 x2 ? 2 , 2 k ?3 k ?3

所以 y1 y2 ? (kx1 ?1)(kx2 ?1) ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ?1 ? 1, 所以
2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 . k ?3
2

作业(12) 1.B 2. D 3. (0,- ) 7.
x 2 y2 ? ?1 25 16
y 2 1 4 1 8
1 4

4. 2

5.

x 2 y2 ? ? 1?y ? 0? 25 16

6.

y2 x 2 ? ?1 4 5

8 解: (1)∵抛物线 y ? 2x 2 ,即 x 2 ? ,? p ? ,∴焦点为 F (0, ) 直线 l 的斜率不存在时,显然有 x1 ? x2 ? 0 直线 l 的斜率存在时,设为 k,截距为 b,即直线 l :y=kx+b,由已 知得:
?y ? y ? ? 2 2 2 2 x1 ? x 2 ? b ? 1 ? k ? x1 x 2 ? b ? 2 x12 ? 2 x 2 ? ? x1 ? x 2 ? k ? ? k ? x1 x 2 ? b ? ? 2 ? 2 2 ?? 2 2 ? ? ?? 2 2 1 ?y y1 2 ? ? 1 ? ? ? 2 x1 ? 2 x 2 ? ? 1 x1 ? x 2 ? ? 2k ? ? ? ? k x1 ? x 2 x1 ? x 2 k ? ?

1 1 2 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? b ? 0 ? b ? 4 4

即 l 的斜率存在时,不可能经过焦点 F (0, ) . 所以当且仅当 x1 ? x2 =0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F. (2)当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时,直线 l 的斜率显然存在,设为 l :y=kx+b 则由(1)得:

1 8

? 2 2 x1 ? x 2 ? b ? x1 ? x 2 ? k ? ? 2 ? 1 ? x 1 ? x 2 ? ? 2k ? ?

? x1 ? x 2 ? b ? 10 ?k ? ? 2 ?? 1 ? ? ? ?2 ? 2k ?

1 ? ?k ? 4 ? ?? ?b ? 41 ? ? 4

所以,直线 l 的方程为 y ? x ?

1 4

41 ,即 x ? 4 y ? 41 ? 0 . 4

作业(13) 1-4 AACA 5.③④ 6.
5 3

7.

x 2 y2 ? ?1 9 16

8.解: (1) 依题意, 曲线 M 是以点 P 为焦点, 直线 l 为准线的抛物线, 所以曲线 M 的方程为 y2=4x. (2)由题意得,直线 AB 的方程为 y=- 3 (x-1).
1 ? 由 ? y ? ? 3 ( x ? 1), 消 y 得 3x2-10x+3=0,解得 x1= ,x2=3. ?
? y 2 ? 4 x. ?

3

所以 A 点坐标为( 1 , 2
3

3) ,B 3

点坐标为(3,-2 3 ) ,

|AB|=x1+x2+2=

16 .假设存在点 C(-1,y) ,使△ABC 为正三角 3

形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即
16 2 ? 2 2 ?(3 ? 1) ? ( y ? 2 3 ) ? ( 3 ) , ? ? ?( 1 ? 1) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? (16 ) 2 . ? 3 3 ? 3
① ②

由①-②得 42+(y+2 3 )2=( )2+(y- 2
3

4 3

2 3 ) ,解得

y=- 14
9

3.

但 y=-

14 3 不符合①,所以由①,②组成的方程组无解. 9

因此,直线 l 上不存在点 C,使得△ABC 是正三角形.

作业(14) 1.B 点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 PO ? PF ,过点 P 所

作的高也是中线
1 2 1 2 ? Px ? ,代入到 y 2 ? x 得 Py ? ? ,? P( , ? ) 新 课标 第一网 8 4 8 4

2.D

MF 可以看做是点 M 到准线的距离,当点 M 运动到和点 A 一样高

时, MF ? MA 取得最小值,即 M y ? 2 ,代入 y 2 ? 2x 得 M x ? 2 3.D
? x2 ? y 2 ? 6 2 , x ? ( kx ? 2) 2 ? 6, (1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 10 ? 0 有两个不同的正根 ? ? y ? kx ? 2

? 2 ?? ? 40 ? 24k ? 0 ? 15 4k 2 则 ? x1 ? x2 ? ? k ? ?1 ? 0, 得 ? ? 2 3 1? k ? ?10 ? ? x1 x2 ? 1 ? k 2 ? 0 ?

4.A

k AB ?

x ?x y ?y y2 ? y1 1 ? ?1, 而y2 ? y1 ? 2( x2 2 ? x12 ), 得x2 ? x1 ? ? ,且( 2 1 , 2 1 ) 2 2 x2 ? x1 2

在直线 y ? x ? m 上,即

y2 ? y1 x2 ? x1 ? ? m, y2 ? y1 ? x2 ? x1 ? 2m 2 2 3 2

2( x2 2 ? x12 ) ? x2 ? x1 ? 2m, 2[( x2 ? x1 ) 2 ? 2 x2 x1 ] ? x2 ? x1 ? 2m, 2m ? 3, m ?

5. +

3 4

6. 6
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 b = a2 b2

7. 解: 1)设 C 方程为 ( 1.
a2 ? b2 2 ? .即a 2 ? 2. 2 2 a

x2 ? y 2 ? 1. ∴ 椭圆 C 的方程为 2

(2)假设存在直线 l ,使得点 F 是 ?BMN 的垂心.易知直线 BF 的斜率为

? 1 ,从而直线 l 的斜率为

1.设直线的方程为 y ? x ? m ,代入椭圆方程

并整理,可得
3x 2 ? 4bx ? 2(b 2 ? 1) ? 0 .
4 2m 2 ? 2 .Xk b 1.Com 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? m , x1 x2 ? 3

3

于是 NF ? BM ? (1 ? x2 ) x1 ? y2 ( y1 ? 1)
? x1 ? y 2 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 ? x 2 ? m ? x1 x 2 ? ( x1 ? m)(x 2 ? m) ? ?2 x1 x 2 ? (1 ? m)(x1 ? x 2 ) ? m ? m 2 ? ?2 ? 2m 2 ? 2 4m ? (1 ? m)(? ) ? m ? m2 ? 0 3 3

解之得 m ? 1 或 m ? ?4 / 3 . 当 m ? 1 时,点 B 即为直线 l 与椭圆的交点,不合题意. 当 m ? ? 时,经检验知 l 和椭圆相交,符合题意. 所以,当且仅当直线 l 的方程为 y ? x ? 时, 点 F 是 ?BMN 的垂心
4 3 4 3

作业(15) 1.C 2.C 3.D 4.D
s' (t ) ? 2t ?1, s' (3) ? 2 ? 3 ?1 ? 5 y ' = 3x2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立
f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ' ( ?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ? 10 3

对于 f ( x) ? x3 , f ' ( x) ? 3x2 , f ' (0) ? 0, 不能推出 f ( x) 在 x ? 0 取极值,

反之成立 5.0
y' ? 4x3 ? 4, 令y' ? 0, 4x3 ? 4 ? 0, x ? 1,当x ? 1时, y' ? 0;当x ? 1时, y' ? 0

得 y极小值 ? y |x?1 ? 0, 而端点的函数值 y |x??2 ? 27, y |x?3 ? 72 ,得 ymin ? 0 6. ?
3 4

3 ' y ' ? 3 x 2 ? 4 , k ? y ?1 ? ?1 ,? a n ? ? 1 , ? t ? ? x | 4

7. x ? ey ? 0 8.解:

y' ?

1 1 1 1 , k ? y ' |x ?e ? , y ? 1 ? ( x ? e), y ? x x e e e

h ' ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 , 令h ' ( x) ? 0 , x ? ?1 或 3

x
h ' ( x)

?3

(?3,?1)

?1

(?1,3)

3
0

(3,4)

4

正 单调递
?9

0

负 单调递 减

正 单调递 增
? 20 3

极大值
5 3

h(x)

极小值
?9



f (x) 与 g (x) 的图象恰好有两个公共点,等价于 y ? h(x) 的图象与直线
y ? c 恰好有两个交点

??

20 5 ? c ? 或 c ? ?9 3 3

作业(16) 1. 2 2.
1 (0, ) 2

3. y ? x ? 2

4. 3

5. cosx

6. 1
100 ? 2.5 小时, 40

7. 解: (1)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了

要耗油(

1 3 ? 40 3 ? ? 40 ? 8) 2.5 ? 17.5(升) . ? 128000 80

答: 当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油 17.5 升. (2)当速度为 x 千米/小时,汽车从甲地到乙地行驶了 油量为 h(x)升, h(x)=( h’(x)=
1 3 100 1 800 15 x3 ? x ? 8 )· ? x2 ? ? (0<x<120 ) , 128000 80 x 1280 x 4 100 小时, 设耗 x

x 800 x 3 ? 803 ? 2 ? , (0<x≤120 ) 新|课 |标 | 第|一|网 640 x 640x 2

令 h’(x)=0,得 x=80. 当 x∈(0,80)时,h’(x)<0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120)时,h’(x)>0,h(x)是增函数. ∴当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25. 因为 h(x)在(0,120)上只有一个极值,所以它是最小值. 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最 少,最少为 11.25 升. 1-2ax 1 8. 解:(1)f′(x)=x-2ax= x ,x∈(0,+∞).令 f′(x)=0,解得 x 2a = 2a .当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x)
? 2a? ?0, ? 2a ? ?
2

2a 2a 0 极大 值
? ?

? 2a ? ? ,+∞? ? 2a ?

+ ?

- ? 2a? ?,f(x)的单调递减区间是 2a ?

所以,f(x)的单调递增区间是?0,

? 2a ? ? ,+∞?. ? 2a ?

1 1 (2)证明:当 a=8时,f(x)=lnx-8x2.由(1)知 f(x)在(0,2)内单调递增,
?3? 在(2,+∞)内单调递减.令 g(x)=f(x)-f?2?.由于 f(x)在(0,2)内单调递 ? ? ?3? 增,故 f(2)>f?2?,即 g(2)>0. ? ?

41-9e 3 取 x′=2e>2,则 g(x′)= 32 <0. 所以存在 x0∈(2,x′),使 g(x0)=0,即存在 x0∈(2,+∞),使 f(x0)=
?3? f?2?. ? ?

2

(说明:x′的取法不惟一,只要满足 x′>2,且 g(x′)<0 即可.)

作业(17) 1. D ? f ( x) ? ? ln x,? f ' ( x) ? ?
2 x 2 1 ? ,令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? 2 , x2 x

当 0 ? x ? 2 时 f ' ( x) ? 0 ,当 x ? 2 时 f ' ( x) ? 0 ,所以 x ? 2 为 f (x) 极小值点, 故选 D 2. B ? y ? x 2 ? ln x,? y? ? x ? ,由y?≤0,解得-1≤x≤1,又x ? 0,? 0 ? x≤1, 3. y ? 4 x ? 3 函数的导数为 f ' ( x) ? 3 ln x ? 1 ? x ? ? 3 ln x ? 4 ,所以在 (1,1)
3 x

1 2

1 x

的 切 线 斜 率 为 k ? 4 , 所 以 切 线 方 程 为 y ? 1 ? 4( x ? 1) , 即
y ? 4 x ? 3 .wwW .x

kB 1.c Om 6. 9
1 1 ? b ? 2 ax? ? b ? b ? 2 , ax ax

4.

8 . 3

5.

2 2

7.解(1) f ( x) ? ax ?

当且仅当 ax ? 1( x ? ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 (2)由题意得: f (1) ? ? a ? ? b ? , ① ② 由①②得: a ? 2, b ? ?1 。 由于 f ( x) 在点 x ? 2 处
3 1 2 a 1 1 3 f ?( x) ? a ? 2 ? f ?(1) ? a ? ? , ax a 2 3 2

1 a

8.解(1)因 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax2 ? b 取得极值 故有 ?
? a ?1 ? ?b ? ?1 2 ? 12a ? b ? 0 ? f ?( 2 )? 0 即? ? f ( 2 )? c ? 1 6 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16

,化简得 ?

?12a ? b ? 0 解得 ?4a ? b ? ?8

(2)由(1)知 令 f ?( x) ? 0

f ( x)? 3 ? 1 2x? , f ?( x) ? 3x2 ?12 x c

, 得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时 , f ?( x )? 0故 f ( x) 在

(??, ?2) 上为增函数;当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为

减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2, ??) 上为增函数。 由此可知 f ( x) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c ,f ( x) 在 x2 ? 2 处 取得极小值 f (2) ? c ?16 由题设条件知16 ? c ? 28 得
c ? 12 此时 f (?3) ? 9 ? c ? 21, f (3) ? ?9 ? c ? 3 , f (2) ? c ? 16 ? ?4

因此 f ( x) 上 [?3,3] 的最小值为 f (2) ? ?4 x k b 作业(18) 1. C

1.c o m

4 2?x-2??x+1? 令 f′(x) = 2x - 2 - x = >0 , 又 ∵ f(x) 的 定 义 域 为 x

{x|x>0}, ∴(x-2)(x+1)>0(x>0),解得 x>2 2. A y′=ex,故所求切线斜率 k=ex|x=0=e0=1. 3. C 因为 y′=3x2,所以 k=y′|x=1=3,所以过点 P(1,12)的切线方程为

y-12=3(x-1),即 y=3x+9,所以与 y 轴交点的纵坐标为 9. 4. A
y'? 2ax ,于是切线的斜率 k ? y'
y? ? 1 2
x ?1

? 2a ,∴有 2a ? 2 ? a ? 1

5. b ? ln 2 ? 1

1 1 1 ,令 ? 得 x ? 2 ,故切点为 (2,ln 2) ,代入直线方 x x 2

程,得 ln 2 ? ? 2 ? b ,所以 b ? ln 2 ? 1 。 6. 2 -2
f( f(0)) f ?
x1+ax 2

? 4 ) f ?(2 ;? k AB ? ? 2 . ( 1)

7.解: f′(x)=e

-2ax .① ?1+ax22 ?

4 3 (1)当 a=3时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 解得 x1=2,x2 1 =2.结合①可知 x f′(x) f(x) 1? ? ?-∞, ? 2? ? + ? 单调递增 1 2 0 极大 值
?1 3? ? , ? ?2 2?

3 2 0 极小 值

?3 ? ? ,+∞? ?2 ?

- ? 单调递减

+ ? 单调递增

3 1 所以,x1=2是极小值点,x2=2是极大值点. (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与 条件 a>0,知 ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒成立,因此 Δ=4a2-4a=4a(a -1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1. a 8.解:(1)因为 x=5 时,y=11,所以2+10=11,a=2. x k b 1 .c o m (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= 2 +10(x-6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润 x-3
? ?

? 2 2? f(x)=(x-3)?x-3+10?x-6? ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.
2 从而 f′( x)=10[?x-6? +2?x-3??x-6?]=30(x-4)(x-6).

于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (3,4) + 单调递 增 4 0 极大值 42 (4,6) - 单调递 减

由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最 大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的 利润最大.


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