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高中数学


2.2 直接证明与间接证明 综合法和分析法 2.2.1 一、学习目标: 1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法; 2、理解分析法和综合法的思考过程、特点,会用分析法和综合法证明 学问题。 二、自学指导: 问题提出 1.合情推理的主要作用和思维过程是 什么? 作用:提出猜想,发现结论; 过程:从具体问题出发→观察、分析、 比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 2.演绎推理的一般模式是“三段论”, 三段论的基本含义如何? 大前提:已知的一般原理; 小前提:所研究的特殊情况; 结 论:根据一般原理,对特殊情况做 出判断. 3.合情推理所得结论的正确性是需要 证明的,演绎推理的实施也需要具体的 操作方法,因此,从理论上获取证明数 学命题的基本方法,是我们需要进一步 学习的内容. 探究(一):综合法 思考1:对于不等式 a(b + c ) + b(c + a ) ? 4abc 其左右两边的结构有什么特点? 右边是3个数a,b,c的乘积的4倍,左边 为两项之和,其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积. 2 2 2 2 思考2:利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系? 基本不等式 思考3:若已知a>0,b>0,如何利用不 等式性质证明 a(b + c ) + b(c + a ) ? 4abc 2 2 2 2 思考4:上述从已知条件,基本不等式, 不等式乘法和加法性质出发,推出所证 结论成立的证明方法叫做综合法,一般 地,综合法的基本含义是什么? 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理、性质、法则等,经过一系列的推 理论证,最后推导出所证结论成立. 思考5:综合法又叫“顺推证法”或“由 因导果法”,其基本思想是:由已知推 可知,逐步推出未知.若用P表示已知条 件和某些数学定义、公理、定理、性质、 法则等,Q表示所要证明的结论,则综合 法的推理过程用流程框图可怎样表示? P ? Q1 Q1 ? Q 2 Q2 ? Q 3 … Qn ? Q 借助于中间一些量、式子、已知的结论、定理、 公理最终转化到所要证明的结论! a+b ? 回顾基本不等式: 2 ab (a>0,b>0)的证明. 证明: 综合法: 因为;( a ? b ) ? 0 2 所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab a+b ? ab 成立 所以 2 探究(二):分析法 a+b ? 回顾基本不等式: 2 ab 分析法: (a>0,b>0)的证明. 证明: 综合法: 2 因为;( a ? b ) ? 0 所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab a+b ? ab 成立 所以 2 a+b ? ab 证明:要证; 2 只需证;a + b ? 2 ab 只需证;a + b ? 2 ab ? 0 只需证;( a ? b ) ? 0 2 因为;( a ? b )2 ? 0 成立 a+b 所以 ? 2 ab成立 思考(二):分析法 思考1:对于不等式 | 1 + a - 1 + b |< | a -b |(a≠b), 2 2 若证该不等式成立,只要证明什么? |a + b| 1+ a + 2 2 1+ b 2 2 <1 1 + a + 1 + b >| a + b | 思考2:若证不等式 1 + a + 1 + b > | a + b | 成立, 只需证明什么? | a| + | b| ≥ | a

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